МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ» по учебной дисциплине: ЕН.01 «Математика»

Министерство образования, науки  и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  Краснодарского края «АРМАВИРСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ» по учебной дисциплине: ЕН.01 «Математика» основной профессиональной образовательной программы  по специальности СПО  11.02.02   «Техническое   обслуживание   и   ремонт   радиоэлектронной   техники   (по отраслям)» 2 2017 3 ОДОБРЕНО цикловой методической комиссией «Математических дисциплин» Протокол № _____ от «____»________________ 20___ г. Председатель ЦМК _________________ Т.Ю.Беляева    УТВЕРЖДАЮ Зам. директора по УР _________________ Л.А.Тараненко «____» ________________ 20___ г. Методическое   пособие   составлено   в   соответствии   с   рабочей   программой ЕН.01   «Математика»   для   студентов,   обучающихся   по   специальности   11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)» Автор:    Рецензенты: _____________ _ В.Д. Харченко, преподаватель  математических дисциплин  ГБПОУ  КК  «АМТ». _____________ _ Т.Ю.Беляева, председатель ЦМК, преподаватель математических дисциплин  ГБПОУ КК «АМТ». _____________ _ О.Н. Воловликова,  преподаватель  математических дисциплин   ГБПОУ  КК  «АМТ».          4 Рецензия  на методическое пособие: «Сборник методических рекомендаций  для выполнения практических работ» по учебной дисциплине: ЕН.01 «Математика»,  для специальности 11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)»,  составленное  Харченко В.Д, преподавателем математических дисциплин  ГБПОУ КК «АМТ» В данном методическом пособие автор подготовил практические работы для аудиторных занятий по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика». Практические работы имеют подробное решения типовых заданий, что позволяет   осуществлять   успешную   подготовку   и   выполнить   студентам практическую работу.  Пособие позволяет студентам ознакомиться с теоретическими обоснованиями и   методическими   указаниями   по   выполнению   практического   занятия,   выделить По каждому практическому занятию сформулированы главное и второстепенное. четкие   критерии   оценивания.   Имеющийся   указатель   литературы   позволяет студентам быстро найти необходимый материал. С целью проверки полученных знаний по каждой теме предусмотрены задачи для самостоятельного решения. Данное методическое пособие будет полезно как для студентов, так и для преподавателей математики.  Рецензент: _______________    Т.Ю.Беляева, председатель ЦМК,                                                      преподаватель математических дисциплин                                                         ГБПОУ  КК «АМТ». 5 Рецензия  на методическое пособие: «Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ» для специальности 11.02.02   «Техническое   обслуживание   и   ремонт   радиоэлектронной   техники   (по отраслям)»,  по учебной дисциплине: ЕН.01 «Математика», Методическое пособие составлено:   Харченко В.Д, преподавателем математических дисциплин  ГБПОУ КК «АМТ» Пособие   составлено   в   соответствии   с   рабочей   программой   ЕН.01 «Математика»  для студентов 2 курса ГБПОУ КК «АМТ». Методическое пособие содержит теоретические обоснования и методические указания   по   выполнению   практического   занятия,   имеет   подробные   решения   с указаниями по каждой отдельно взятой теме, список литературы необходимый для выполнения практических работ, также предусмотрены вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Данное   методическое   пособие   может   быть   использовано   для   проведения практических работ на занятиях математики и самоподготовки студентов 2 курса по специальности «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)» Рецензент: _______________ О.Н. Воловликова,  преподаватель                                                        математических дисциплин,  ГБПОУ  КК                                                        «АМТ». 6 Содержание   Пояснительная записка                                                                   Инструкция для студента                                                                     Критерии оценивания                                                                     Практическое занятие №1. «Множества. Операции над множествами».  «Вычисление   неопределенных   интегралов Практическое   занятие   №2.   «Производные   и   дифференциалы   высших порядков». Практические занятия №№3, 5.  «Вычисление неопределенных интегралов методом   подстановки»;  «Вычисление   определенных   интегралов   методом подстановки». Практическое   занятие   №4. интегрированием  по частям». Практическое занятие №6. «Вычисление определенных интегралов метод интегрирования по частям». Практическое   занятие   №7.  «Дифференциальные   уравнения   первого порядка». Практическое   занятие   №8.  «Нахождение   общего   и   частного   решений дифференциальных уравнений второго порядка» Практическое   занятие   №9.  «Математическое   ожидание   и   дисперсия случайной величины». Практическое занятие №10  «Выборка,  построение  по   выборке   таблицы распределения, полигона и гистограммы». Список литературы и ссылки на Интернет­ресурсы Пояснительная записка Данное учебное пособие по предмету ЕН.01 «Математика» по теме  «Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ»   предназначено студентов Армавирского машиностроительного техникума, по  3 4 4 5 8 11 16 17 20 24 28 31 41 7 специальности 11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной  техники (по отраслям)»,  укрупненная группа специальностей – 11.00.00  «Электроника, радиотехника и системы связи». Настоящие материалы разработаны с учетом рабочей программы,  составленной   на   основе федерального государственного образовательного  стандарта (ФГОС) среднего профессионального образования. Дисциплина «Математика» в соответствии с рабочей программой рассчитана на 78 часов максимальной нагрузки, из них обязательная аудиторная учебная нагрузка ­ 52   ч     и   22   часа   отведено   на   проведение   практических   занятий.   Практические занятия направлены на проверку усвоения и закрепление материала, изученного на теоретических занятиях.  Сборник методических указаний содержит 10 практических занятий, в каждом из которых  имеются:  краткие теоретические сведения  образец решений задач   контрольные вопросы Методическая разработка рекомендуется для использования преподавателями,  задания для самостоятельного решения ведущими данный предмет в средних специальных учебных заведениях. Выполнение студентами практических занятий направлено на: — обобщение, систематизацию, углубление теоретических знаний; — формирование умений применять полученные знания в практической  деятельности;  — развитие аналитических, проектировочных, конструктивных умений;  — выработку самостоятельности, ответственности, точности и творческой  инициативы. Данное пособие позволит преподавателю организовать индивидуальные и  дифференцированные формы работы, и использовать для:   изучения темы,  8 закрепления алгоритма выполнения  заданий, самостоятельного изучения темы,  подготовке к экзаменам, контроля знаний двух уровней сложности. К каждому заданию предложен образец   решения, который включает в себя этапы выполнения задания и служит образцом  при оформлении письменных работ.  Инструкция для студента 1 Выберете раздел,  который  хотите изучить (повторить). 2 Найдите   образец   решения   задания,   по   которому   вы   будете     выполнить задание. 3 Внимательно прочитайте и разберите ход решения. 4 Для   закрепления   (повторения)   темы   сначала   необходимо   решить   задания первого уровня, и только потом второго. 5 Выполняйте решение согласно алгоритму, прописывая  названия этапов.  6 Для получения отметки необходимо уметь решать любые  заданий  из данной подтемы. Критерии оценивания: Отметка «удовлетворительно» ­ выполнение 50% заданий практической работы; Отметка «хорошо» ­ выполнение  до 75% заданий практической работы;  Отметка  «отлично» ­ все задания без недочетов. 7 Подойдите к преподаватель и сдайте тетрадь на проверку, получите отметку. Практическое занятие №1. «Множества. Операции над множествами». Методические указания к практическому занятию  Тема:  Множества. Операции над множествами. Количество часов: 1 часа. 9 Цель:  задавать   элементы   множества;   различать   и   классифицировать   множества, выполнять операции над множествами. Типовые задания: Задание 1. Укажите, какое из утверждений правильное: а) - 0,7 ϵ Q; б) ; в) 4 ϵ N. R17 Задание   2.  Выпишите   все   элементы   каждого   множества:   А   –   множество   дней недели; В – множество цветов светофора; С – множество цифр. Задание 3. Выпишите все элементы множества  F, если  F  – это множество корней уравнения x2  + 4x – 5 = 0. Задание 4. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если: А={1; 3; 5; 7; 9} В={2; 4; 6; 8}. Задание   5.  Множество   А   состоит   из   всех   чисел   открытого   интервала  (1;3), множество В состоит из всех чисел интервала [2;6]. Найти объединение множеств А и В. Решение типового задания 1: Для   выполнения   первого   задания   необходимо   вспомнить   определения натуральных, целых, рациональных и действительных чисел: Натуральные числа (N) ­ это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д. Ноль не является натуральным. Целые числа (Z) – это натуральные числа, противоположные им и число ноль.  Рациональные числа (Q) – это конечные   дроби и бесконечные периодические дроби.   Например,  ; 2  5 4,0 1  6 )6(1,0 Все целые числа являются рациональными. Действительные числа (R) ­ множество всех рациональных и всех иррациональных чисел. 10 Решение типового задания 2: Перечислим   дни   недели:   понедельник,   вторник,   среда,   четверг,   пятница, суббота, воскресенье. Значит А = {понедельник; вторник; среда; четверг; пятница; суббота; воскресенье}.  Аналогично составим множества В и С: В = {красный; желтый; зеленый}, С = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Решение типового задания 3: Множество F задается следующим образом: F={x: x2 + 4x ­ 5=0}. Чтобы записать элементы этого множества, необходимо решить уравнение x2 + 4x – 5 = 0, т. е. найти его корни: x2 + 4x – 5 = 0 D  = 16 ­ 4 ∙ (­5) = 16 + 20 = 36 = 62;              x 1  64 2  ;1 2 2 x 2   64 2   10 2  .5 Ответ:  F={­5; 1}. Решение типового задания 4: Множество   А   состоит   из   нечетных   чисел   первого   десятка.   Множество   В состоит из четных чисел первого десятка. Объединением будут все числа первого десятка:    АUВ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } . Пересечением   множеств   А   и   В   является   пустое   множество,   т.   к.   общих элементов у этих множеств нет.  Ответ: А В={Ø}. ∩ Решение типового задания 5: Объединением АUВ будут все числа принадлежащие сразу двум интервалам. На интервале от двух до трех, множества содержат одинаковые числа. Тогда объединение можно записать в виде: Ответ: АUВ = (1;6] Контрольные вопросы : 1) Какие   числа   называют   натуральными,   целыми,   рациональными, 11 действительными? Сформулируйте определения. 2) Что называют множеством?  3) Что такое элемент множества? 4) Что   называют   объединением   множеств?   Что   называют   пересечением множеств? 5) Какое множество называют пустым? Выполните   задания   согласно   своему   варианту.   Работу   оформите   по   схеме решения типовых заданий. 12 Практическое занятие №2. «Производные и дифференциалы высших порядков». 13 ЦЕЛЬ: научиться вычислять производные и дифференциалы высших  порядков Способствовать развитию навыков решения задач. Закрепить и  систематизировать знания по теме. Методические указания к практическому занятию              Величина u называется функцией нескольких переменных величин x, y,  если каждой совокупности этих величин соответствует одно определенное  значение величины u: u=f(x, y).              Частная производная функции u=f(x, y) нескольких переменных по  аргументу х – это предел отношения соответствующего частного приращения  функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при  условии, что последнее приращение стремится к нулю, обозначают:  u  x  u x lim  x 0 ( xf   ,( yxf ) . , yx )  x              Приращение получает только один аргумент х. Остальные аргументы  фиксируются. Таким образом, частная производная функции   u     =   f  (  x  ,   y  )   по   х    –      это обыкновенная производная функции одной переменной      х   при  фиксированном значении переменной     производные трех и более переменных.  у0. Аналогично определяются частные               Частный дифференциал функции – это произведение частной  производной по одной из независимых переменных на дифференциал этой  переменной, обозначают:                                                       ud x   u  y dy ; ud y   u  y dy ; ud z   u  z . dz Полный дифференциал du – это сумма частных дифференциалов функции   u=f(x, y),вычисляется по формуле:                                       du   u  x dx   u  y dy 14 Частные производные первого порядка от функции двух и боле  переменных  также представляют собой функции нескольких переменных и их также  можно продифференцировать.  Для функции двух переменных u=f(x, y)   возможны четыре вида частных производных второго порядка, которые  находят по формулам: 2  u  2 x    x     u  x   ;  2  u  xy    y   u  dx    ;  2  u  yx    x     u  y    ; 2  u  2 y    y     u  y               Образец решения задач Задание 1 Найти производную сложной функции   y  tg 2 ( 2 x  )1 Решение: Здесь функция  y  tg 2 ( 2 x  )1 ­ сложная.  Пусть y  2 , uu  tg ( ), vv 2  x согласно  1 формуле нахождения производной сложной функции имеем:  )( xy vuuy )(  )( xv )( 2 ( u  ( tg ) ))( v  ( x 2  )1 По таблице производных найдём производную каждой функции  )(xy  2 u 1 cos Подставим исходные значения    2 x v  )( xy (2 tg x 2  )1 cos 1 ( x 2 2  )1  2 x 2  ( 4 tgx x 2 2 cos x (  )1  )1 Примечание: разумеется, нет необходимости в таких подробных  записях. Обычно результат 15 следует писать сразу. Представляя последовательно в уме  промежуточные аргументы Задание 2  Найти дифференциал второго порядка для функции y 3  х  sin x  2              Решение:  по формуле 2 yd  dxy 2 . Используя формулы производной произведения найдём сначала  :  dxy dy  dxy dy   3 х sin x  2  dx    3 ( x   ) sin x   2 (sin x  x )2 3  dx   2 3 x   sin x   2 cos  xx 3 dx Дифференцируем второй раз, дважды используя формулы производной  произведения:    dxy 2 yd 2dx y  2 2 3 2 cos  xx   2  dx     sin x   3 x  2  x 3           6 6 x x     sin x   2  sin x  2 3  2 x   cos x   x 3  3 x    cos x 2 dx     sin x   2 cos x 2  3 x  sin 2 x  cos  dxx 2  3 sin x   2 sin 3  xx 6 x 2 3  xx  dxx  cos 2 Задание 3 Найти частные производные первого порядка и полный  дифференциал функции  u  sin  2 3 x  2 xy .               Решение: Находим частную производную учитывая что  функция u сложная  , считая   xu ,  y  const  u  x 16   u x  3 sin 2 x  2 xy   x  cos  2 3 x  2 xy    2 3 x  2 xy  cos    x 2 3 x  2 xy    6 x  2 y    u  x Находим частную производную , считая   yu  u  y , получим:   x  const  u  y  yu  sin  2 3 x  2 xy   y   cos 2 3 x  2 xy    2 3 x  2 xy  cos    y 2 3 x  2 xy    x 2 Полный дифференциал найдем по формуле  du   u  x dx   u  y dy :    du  cos 2 3 x  2 xy    6 x  2 dxy  cos  2 3 x  2 xy ,    2 xdy du cos  2 3 x  2 xy    6 xdx  2 ydx  2 xdy  Задание 4  Для функции  u  5 x 8  2 3 y  4 x  2 xy  10 y  5  найти частные  производные второго порядка.            Решение: Сначала находим частные производные первого порядка:  u x y const    7 7 2 8  240 y  00 40 x  2 y   3 y  4 x  2 xy  10 y   40 x  5 x  5 x yu   x const    8 5 x  2 3 y  4 x  2 xy  10 y   y  5  60 y  20 x  10  0 2 x  6 y  10 4 17 Находим частные производные второго порядка:      x u u   xx 6 7 x x 280 x 40 x 2 y   6  x  280  4 00  4 2  020 002 10  y x 2 2 x  6 y  10   060 y 6 xyu  yxu  yyu     xu y  40 7 x  2 y 2 x  6 y  x    yu    yu y     Практические   занятия   №№3,  5.    «Вычисление   неопределенных интегралов   методом   подстановки»;  «Вычисление   определенных   интегралов методом подстановки».        Цель занятий:  освоение знаний формул  и методов интегрирования  функций, умений вычислять  неопределённые и определённые интегралы  методом непосредственного интегрирования, интегрирования подстановкой  и методом интегрирования по частям. Методические указания к практическому занятию              Первообразная – это такая функция  F(x)  для функции  y= f(x), что  имеет место равенство:   )( xF )( xf .  Понятие первообразной возникает из  задачи математического анализа, в которой по данной функции  f(x)  необходимо найти такую функцию F(x), производная которой равна функции   f(x).  Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на  постоянную величину. Другими словами, если F(x) – первообразная для  функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число,  также первообразная для функции f(x), потому что  ( CxF )(   ) ( xf ).              Неопределенный интеграл   функции  y= f(x)  – это совокупность всех  первообразных функций F(x)+C для функции  f(x). Неопределенный интеграл  обозначается символом   )( dxxf  CxF )(  – знак интеграла;  f(x)  –   где ,  подынтегральное выражение;  х – переменная интегрирования;  С –  постоянная интегрирования,  способная принимать любое значение.   Интегрирование – это отыскание первообразной функции  по ее производной,  действие обратное дифференцированию.   Основные свойства неопределенного интеграла 18  Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:  dF x )(  CxF )(   Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному  выражению  dxxfd   )( dxxf  Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:   dxxf )(    )( xf  Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен сумме  интегралов этих  функций:   ( xf )(  xg ( )) dx   dxxf )(  dxxg )(  Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за  знак интеграла:   dxxfa )(     a dxxf )( Методы интегрирования            Метод непосредственного интегрирования. Метод непосредственного  интегрирования заключается либо в прямом использовании таблиц  интегралов, либо сначала применяются  основные свойства неопределенного  интеграла, а также производятся элементарные тождественные  преобразования, а затем данный интеграл приводится к одному или  нескольким табличным интегралам . 1. 2.  0  dx c  dx  c x 8.  e x dx x  e c 9.  x dxa  a ln x a  c 15.  dx 2 sin 16.  1 dx  x x 2  ctgx  c  arctgx  c 19 3. 4. 5. 6.  xdx  2 x 2 c  cxdx  2 cx 2  c 1  x n dx  x n n  1  1  c dx  x  2 x  c 7. dx  ln x x  c 10 . 11 . 12 . 13 . 14 .  sin xdx  cos x  c 17.  a 2 dx  2 x  1 a arctg x a  c  cos xdx  sin x  c 18. dx  a 2 2 x  1 a 2 ln a a   x x  c  tgxdx  ln cos x  c 19.  dx  x 1 2  arcsin x  c  ctgxdx  ln sin x  c 20.  dx  2 a 2 x  arcsin x a  c dx  2 cos x  tgx c 21.  dx  2 a 2 x  ln x  2 x 2  a c           Метод интегрирования подстановкой. Метод подстановки  заключается  в том, что интеграл вида    dxxf )(  приводится к интегралу вида ,   dt tg )( который в свою очередь решается непосредственным интегрированием. Для  этого в функции   xf  некоторое выражение,  содержащее переменную  х   заменяют на  t,  т.е.  , затем находят  t   xh   dxxh dt Образец решения задач            Вычислить неопределённые интегралы, используя подходящие методы  интегрирования  Задание 1  7( 2 e x  sin5 x 2  6 x  )9 dx Решение: используя свойства интегралов (интеграл суммы равен сумме  интегралов, постоянный множитель выносится за знак интеграла) данный  интеграл представим в виде  20  7( 2 e x  sin5 x 2  6 x  )9 dx  7  dx e x2  5 sin x 2  6 xdx  9 dx dx далее используем свойства дифференциала для первого и второго слагаемого  и таблицу интегралов  dx e x2  7 )2( x 7 d 1 2 2 x  e 1  2 7  e z dz  7 2 z e  7 2 2 x e  5 sin x 2 dx  5  sin тогда   7( 2 e x  sin5 x 2 x 2 Задание 2 2 d    x 2   25   sin ydy  10 cos y  10 cos  6 x  )9 dx  2 e x  10 cos 7 2  6 x 2 2 x 2  9 x  c x 2    cos 2 dx   56  x Решение: Используя метод интегрирования подстановкой, сделаем замену t 56  x , тогда  dt  dxt 56  , откуда   dx  x dx 5 dx  dt 5 . Подставим  найденные значения в исходный интеграл, получим  , вынесем  dt   5 2 cos t постоянный множитель за скобки и найдём табличный интеграл , вернёмся к замене   tg 56   Cx   1 5  1 5 dt  2 cos t  1 5 tgt Задание 3 21  x 3 1  4 x dx Решение: используем метод интегрирования подстановкой 3  x 1  4 x dx   1 t  dt dx 4 3 x x 4 dt  4 3 x dx    t dt  4  1 2  t 1 4 dt  t 1 34 3 2 2  1 6 3 t  1 6  1  34  x  C  Задание 4  dx xe x2 Решение: используем метод интегрирования подстановкой  x t  dt 2 2  xe 2 x dx  xdx dt 2 xdx   Задание 5 1 2    e x 2 0  t  e dt 2 1  2  t dte  1 2 t e  1 2 2 x e  C 3 dx Решение: имеем определённый интеграл, используем метод подстановки и  формулу Ньютона­ Лейбница:    2 t  dt  3 dx x 2 dt  2  2 x  3 dx dx  1 2  e 0 2  e 3 t dt  2  1 2  2  t dte 3 2 1 2  3 2 верх .  3302 . нижн t t Задание 6 3 e  2 e   1  2 22 . x sin cos xdx  6  e 0 Решение:  найдём определённый интеграл, используем метод подстановки и  формулу Ньютона­Лейбница:  6  e 0  sin x t  dt cos  sin верх . xdx  6 0sin sin x cos xdx  t t  нижн . 1 2 0  t dte  1 2 0   t  e 1 2 0 1 2  е 0 е  е 1 23 Практическое занятие №4.  «Вычисление неопределенных интегралов интегрированием  по частям». ЦЕЛЬ:   научиться   вычислять     неопределенные   интегралы интегрированием     по   частям.   Способствовать   развитию   навыков   решения   задач. Закрепить и систематизировать знания по теме. Методические указания к практическому занятию  Метод интегрирования по частям. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемы. Так как производная произведения двух  функций вычисляется по формуле:  , то интегрируя обе части   uv  uv vu  этого равенства    uv   u dx vdx    dxvu  получим формулу:           udv  uv  vdu .             Самое трудное в интегрирование по частям – это выбрать сомножитель dv в подынтегральном выражении: интеграл в правой части формулы    vdu должен быть проще исходного. Чаще всего формула (4.1) применяется к  интегралам вида:    x exP )( dx ,  xP sin)(  xdx ,  xP )( cos  xdx , где Р(х) – многочлен, 24