Методика изучения теоремы о вписанной и описанной окружности
Оценка 4.6

Методика изучения теоремы о вписанной и описанной окружности

Оценка 4.6
Исследовательские работы +2
docx
математика
8 кл
25.12.2017
Методика изучения теоремы о вписанной и описанной окружности
Для того чтобы начать изучать нашу тему давайте подумаем, сможем ли мы решить нашу задачу, основываясь только на изученный материал? Нет, как вы можете видеть из условия задачи №1 старых знаний о касательной и секущей к окружности нам не достаточно, для этого мы с вами сегодня познакомимся с понятиям описанной окружности.Для того чтобы начать изучать нашу тему давайте подумаем, сможем ли мы решить нашу задачу, основываясь только на изученный материал? Нет, как вы можете видеть из условия задачи №1 старых знаний о касательной и секущей к окружности нам не достаточно, для этого мы с вами сегодня познакомимся с понятиям описанной окружности.
Теорема3 2017.docx

Методика изучения теоремы

Теорема «В любой треугольник можно вписать окружность».

«Около лебого треугольника можно описать окружность».

 

1. Подготовительный этап

1.1.               Мотивация изучения теоремы

Для того чтобы начать изучать нашу тему давайте подумаем, сможем ли мы решить нашу задачу, основываясь только на изученный материал?   Нет, как вы можете видеть из условия задачи №1 старых знаний о касательной и секущей к окружности  нам не достаточно, для этого мы с вами сегодня познакомимся с понятиям описанной окружности.

Задача 1

Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми? [5].

Ответ: Пусть А, В и С — точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек А, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО=ОВ и ВО=ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца — точку О — можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

1.2. Актуализация знаний и умений учащихся, необходимых для сознательного усвоения теоремы

Для того чтобы ученик полностью освоил тему и владел определениями и понятиями необходимо повторить ряд определений представленных в Табл. 1.

Таблица 1

То, что необходимо повторить

Задания для повторения

11

Окружность 

cirkulis.jpgНачертите окружность с радиусом 2 см ( рис. 1)

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

2

Диаметр

 

       О  R = 2
Определить на рис. 2 диаметр окружности, если известно, что радиус -  2 см.

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 2

 

Радиус

        
           О
16 см
    
Определите из рис. 3 радиус окружности, если известно, что диаметр 16 см.

 

 

 

 

 

 

 


            

Рис. 3

 

Сфера

Из рис. 4 сформулировать понятия сферы.

Похожее изображение

Рис. 4

 

1.3. Подведение учащихся к формулировке теоремы

Задача 2

 Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту км над Землей (радиус Земли примерно равен  км)? (рис. 5).

Решение: По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть 
.
Тогда по теореме Пифагора: ,

              

 

 

 

 

 

                               

  

Рис.5

 (км.)

Ответ: км.

Сделать вывод.

В любой треугольник можно вписать окружность, центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Около любого треугольника можно описать окружность, центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

 

2. Основной этап

2.1. Формулировка теоремы, овладение ее содержанием, структурой, назначением

Вписанная окружность

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.                                                                                Рис. 6

 

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность

Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.                                                                       

   Рис. 7

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность

 

2.2. Формирование ориентировочной схемы доказательства. Проведение доказательства

Вписанная окружность

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон (рис 8.).

В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Рис. 8

Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны:

AB + CD = BC + AD (рис.9)

Рис. 9

 

Пример 1.

По данным рисунка найдите радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Дано: DАВС – р/б;

АС – основ-е;

ВН – высота;

Окр. (О; r) – впис.;

АВ = 13 см;

АС = 10 см. (рис. 10)

Рис. 10

Найти: r - ?

 

Решение:

№ п/п

План доказательства теоремы

Проведение доказательства

1.

В первом действии объясним, что т. О - центр вписанной окружности принадлежит высоте ВН, проведённой к основанию равнобедренного треугольника АВС:

 

1) DАВС – р/б, АС – основание, ВН – высота  Þ ВН – биссектриса (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию)  Þ  О Î ВН (центр вписанной в треугольник окружности);

2.

Во втором действии поясним, почему отрезки OH, OK, ON - радиусы вписанной окружности и сделаем вывод, что они равны:

 

2) Пусть ОН ^ АС, ОК, ON – радиусы вписанной окружности Þ ON ^ ВС, OK ^ АВ (радиусы, проведённые в точку касания, по свойству касательной), ОН = ON = OK;

3

В третьем действии найдём отрезки АН = НС (по свойству равнобедренного треугольника ВН высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой:

3) DАВС – р/б, АС – основание, ВН – высота Þ ВН – медиана (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию) Þ АН = НС = 5 см;

 

4

В четвёртом действии из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора найдём высоту ВН:

 

4) DАВН – прямоугольный, по теореме Пифагора: АВ2 = ВН2 + АН2;

169 = ВН2 + 25;

ВН = 12 (см).

5

В пятом действии используя свойство отрезков касательных (АК = АН), найдём отрезок ВК:

5) AK = AH = 5 см (свойство отрезков касательных) Þ ВК = 13 – 5 = 8 (см);

6

В шестом действии в прямоугольном ОВК используя равенство отрезков ОН и ОК, выразим ВО через ОК:

после чего по теореме Пифагора найдем ОК (радиус вписанной окружности):

 

6) DОВК – прямоугольный (OK ^ АВ), ОК = OH  Þ BO = BH – OH = 12–ОК;

По теореме Пифагора:

ВО2 = ОК2 + ВК2;

(12 – ОК)2 = ОК2 + 64;

144 – 24ОК + ОК2 = ОК2 + 64;

80 = 24ОК

ОК =  (см).

7

Теперь напишем ответ к задаче: 

радиус вписанной окружности -  см.

 

Пример 2.

 Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если боковая сторона трапеции 10 см, меньшее основание равно 4 см.

 

Дано: ABCD – р/б трап.;

BC, AD – основания;

Окр. (О; r) – впис.;

ВС = 4 см;

АВ = 10 см. (рис. 11.12)

                 

Рис. 11                                                                 Рис. 12

 

Найти: r - ?

 

 

Решение:

№ п/п

План доказательства теоремы

Проведение доказательства

1.

В первом действии используя условие, что ABCD - равнобедренная, окружность вписанная, поясним, что центра вписанной окружности принадлежит высоте, соединяющей середины оснований трапеции:

 

1) ABCD – р/б трап-я, ВС, AD – основания; Окр.(О; r) – впис-я Þ ОР = ОН = ОМ = ON = r, ОР ^ ВС, ОН ^ АD, ON^AB, OM^CD (по свойству касательной), РН – высота трапеции;

2.

Во втором действии используем свойство четырёхугольника, в который вписана окружность (сумма противоположных сторон равны), найдём основание AD:

2) Окр.(О, r) – вписанная Þ АВ + СD = BC + AD (свойство четырёхугольника, в который вписана окружность);

20 = 4 + AD; AD = 16.

3

В третьем действии проведём высоты трапеции ВК и СЕ, докажем равенство прямоугольных треугольников АВК и CDE, откуда сделаем вывод, что АК = ED:

 

После этого рассмотрим прямоугольник ВСЕК и найдём отрезок ЕК, после чего вычислим отрезок АК = ED:

 

Далее из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора вычислим высоту ВК:

 

3) Проведем ВК, СЕ – высоты трапеции. DАВК = DCDE (прямоугольные, по гипотенузе (АВ = CD) и острому углу (ÐА = ÐD)) Þ AK = ED.

ВСЕК – прямоугольник Þ ВС = ЕК = 4 (см);

АК = ED = (AD – EK) : 2 = (16 – 4) : 2 = 6 (см).

По теореме Пифагора (DАВК):

АВ2 = АК2 + ВК2;

100 = 36 + ВК2;

ВК2 = 64;

ВК = 8 (см).

 

4

В четвёртом действии вычислим радиус вписанной окружности (т.к. он равен половине РН, а РН = ВК):

4) ВК = РН = 8 см, ОР = ОН = 4 см.

 

5

Теперь напишем ответ к задаче: 

радиус вписанной окружности – 4 см.

 

 

Описанная окружность

Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности (рис. 13).

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рис. 13

Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны:

ÐA + ÐC = ÐB + ÐD. (рис. 14)

 

Рис. 14

 

Пример 3.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если его катеты равны 24 и 10 см.

Дано: DАВС – п/уг.;

АВ – гипотенуза;

АС = 24 см;

ВС = 10 см;

Окр. (О; r) – опис-я. (рис. 15)

Рис. 15

Найти: r - ?

 

Решение:

№ п/п

План доказательства теоремы

Проведение доказательства

1.

В первом действии определим, что в прямоугольном треугольнике АВС радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (используя следствие из теоремы о вписанной окружности)::

 

1) Если ÐС – прямой, т. С лежит на окружности (треугольник вписанный) Þ ÐАСВ – вписанный, опирается на полуокружность АВ (Следствие 2 из теоремы о вписанном угле) Þ АВ (гипотенуза) – диаметр описанной окружности Þ О Î АВ, радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы;

 

2.

Во втором действии в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С по теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:

 

2) DАВС – прямоугольный, ÐС – прямой, по теореме Пифагора:

АВ2 = АС2 + ВС2 = 576 + 100 = 676;

АВ = 26 (см);

 

3

В третьем действии вычислим радиус описанной окружности:

 

3) r = AB = 13 (см).

 

4

 Теперь напишем ответ к задаче

r = 13 см.

 

 

Пример 3.

Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием АВ = 6, если расстояние от центра описанной окружности до АВ равно 4.

Дано: DАВС – р/б;

АВ – основ-е;

CD – высота;

Окр. (О; r) – опис-я.;

АВ = 6;

OD = 4. (рис. 16. 17)

                    

Рис. 16                                                   Рис. 17

Найти: SABC - ?

Решение:

№ п/п

План доказательства теоремы

Проведение доказательства

1.

В первом действии покажем, что О - центр описанной окружности, принадлежит СD - высоте равнобедренного треугольника, проведённой к его основанию:

1) СD – высота, проведённая к основанию равнобедренного DАВС  Þ  СD – серединный перпендикуляр к АВ  Þ  О Î CD;

 

2.

Во втором действии сделаем вывод, что АО = СО = ВО как радиусы описанной окружности:

 

2) О – центр описанной около равнобедренного DАВС окружности  Þ  АО = СО = ВО – радиусы описанной окружности;

3

В третьем действии в прямоугольном треугольнике АОD с высотой CD, которая является одновременно медианой (по свойству высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника) сначала найдём АD, а потом по теореме Пифагора найдём радиус АО:

3) DAOD – прямоугольный (CD – высота), AD = . По теореме Пифагора:

АО2 = AD2 + DO2 = 9 + 16 = 25;

AO = 5;

 

4

В четвёртом действии вычислим высоту CD

4) СD = OD + CO = 4 + 5 = 9;

 

5

В пятом действии найдём площадь треугольника АВС по формуле площади треугольника:

5) .

6

Теперь напишем ответ к задаче: 

Ответ: .

 

3. Заключительный этап

 

Вопросы для закрепления теоремы.

1.     Можно ли в параллелограмм вписать окружность? ( Не всегда, надо чтобы суммы противоположных сторон были равны)

2.     А описать около него окружность? ( Нет, не всегда, сумма противоположных углов должна быть 180)

Закончите предложение:

3.     Центр вписанной в треугольник окружности –точка пересечения его ...(биссектрис)

4.     Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от его...(сторон)

5.     Многоугольник называется вписанным в окружность, если  все его ...(вершины лежат на окружности)

6.     Окружность вписана в многоугольник, если ...(все его  стороны касаются окружности)

7.     Вписанные углы равны, если они...(опираются на одну дугу)

8.     Центр описанной около треугольника окружности  равноудален от его ...(вершина)

 

Рассмотрение обратных, противоположных утверждений, связанных с теоремой.

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника.

 Задачи базового, основного и продвинутого уровня сложности (по 2 задачи каждого уровня).

В окружающем нас мире существует множества предметов которые имеют форму окружности или ее элементы и в связи с этим мы можем решить ряд практических задач.

Приведем примеры в табл. 2.

Таблица 2

Базовый уровень

(2-3 балла)

Основной уровень

(4 балла)

Уровень повышенной сложности

(5 баллов)

Задача 1.1

Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рис. 18, составлена цепь. Какова длина цепи?

Ответ: 12х50 + 3х2 = 606 мм

Рис. 18

 

Задача 1.2

Поезд едет со скоростью км/ч. Диаметр его колеса равен  см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда? ( Примите ) (Рис. 21).

 

Рис. 21

Решение: Длина окружности колеса, если принять , примерно равна  см. За одну минуту поезд проходит  метров. Следовательно, за одну минуту колесо делает  (оборотов).

Ответ:  оборотов.

Задача 2

Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндрическую катушку с желобками (см. рис. 19), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

Рис. 19

При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t, исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t=13,6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

Ответ: Требуется найти диаметр окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной ап t. По известной формуле получаем:

 

Задача 3

Чугунная труба имеет длину м и внешний диаметр  см.

 Толщина стенок трубы равна  см. Найдите вес трубы, если удельный вес чугуна примерно равен г/см3. Ответ дайте в килограммах. (Примите ) (Рис. 20).

      Рис. 20

Решение: Площадь поперечного сечения стенок трубы равна  (см2). Объем трубы равен (см3).

Вес трубы равен (г) .

Ответ: .

 

   

 

Прикладные задачи с решениями.

Для закрепления теоретического материала необходимо решить ряд прикладных задач. Задачи такого типа, разбитые на уровни представлены в табл. 3.

Таблица 3

Базовый уровень

(2-3 балла)

Основной уровень

(4 балла)

Уровень повышенной сложности

(5 баллов)

Задача 1

Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами.

Длина беговой дорожки вокруг поля равна  метров.

Длина каждого из двух прямолинейных участков дорожки равна  метров. Найдите ширину  поля стадиона. В ответе укажите  (Рис. 21).

   Рис. 21

Решение: Суммарная длина двух криволинейных участков беговой дорожки равна  длине окружности и равна  метров.

Диаметр этой окружности равен ширине  поля стадиона и равен . Следовательно, .

Ответ: метров.

 

 

Задача 2.1[

Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте км, если расстояние между ними по прямой равно   км?

Радиус Земли равен км  (рис. 22).

Рис. 22

Решение: Чтобы космонавты, находящиеся в точках  и , могли видеть друг друга, надо, чтобы высота  треугольника  была больше радиуса Земли.

Треугольник  – равнобедренный,  – высота, тогда, и медиана треугольника,а значит,

         Высота больше радиуса Земли, значит, космонавты могут увидеть друг друга.

Ответ: Могут.

 

Задача 2.2

Угол 1,5˚ рассматривают в лупу, увеличивающую в четыре раза. Какой величины покажется угол?

Ответ: Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиной в 1,5˚х4 =6˚, то дали промах.

Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу.

Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения.

Задача 3

Телевизионные радио-

сигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны.

Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20 м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Ответ: На рис. 23 видно, что вершина в принимающей антенны за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности.

 

Рис. 23

 В этом случае  где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то , а потому . Полагая в этой формуле  получаем

.

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s

(в м):

 s

 

 

Включение теоремы в систему знаний

Решение задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника.

Задача1 .

Найдите радиус R описанной окружности  для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. (рис. 24).

 Сначала  выясним, где находится центр описанной окружности – от этого зависит рисунок к задаче. Здесь 10² меньше 13² + 13², значит, угол при вершине этого равнобедренного треугольника острый. Центр описанной окружности находится во внутренней области  равнобедренного треугольника.

http://festival.1september.ru/articles/567755/img7.gif

Рис. 24

Первый способ

Проведя серединный перпендикуляр  КО, получим точку  О – центр описанной окружности  (КО + ВС и ВК = КС = 6,5см). ОВ = ОС = R.   OD = BD – OB = 12 – R. Из ODC по теореме Пифагора  OD2  = ОС2 – DC2 = R2 – 52. R2  –  52   = (12 – R)2. Решив это уравнение, получим   R = 169/24  см.

Ответ: R = 169/24  см.

Второй способ

Из подобия треугольников  OBK  и  CBD  имеем ОВ/СВ = BK/BD, т.е. R/13 = 6,5/12 и  получаем.

 Ответ: R = 169/24 см

Третий способ

Продолжив BD до пересечения с описанной окружностью, получим прямоугольный треугольник ВСЕ, откуда ВС² = BD • BE, 132 = 12 • 2R, и

 R = 169/24см.

Четвёртый способ

По свойству хорд, пересекающихся внутри круга BD • DE = AD • DC; 12 • (2R –12) = 5 • 5.

Ответ: R = 169/24  см.

Пятый способ

По формуле  R = abc/(4S ),  где a,  b,  c – стороны треугольника, S – его площадь, которую мы вычислим без труда.

Шестой способ

И ещё один метод решения задачи – метод координат, который является универсальным методом геометрии.

Главное при решении задачи этим методом удачный выбор системы координат(основание треугольника лежит на оси абсцисс, а ось ординат проходит через высоту, проведённую к основанию .Вершины треугольника равноудалены от центра окружности).                                                

http://festival.1september.ru/articles/600830/3.gifОА=ОВ

http://festival.1september.ru/articles/600830/f_clip_image029.gif

http://festival.1september.ru/articles/600830/f_clip_image031.gif

http://festival.1september.ru/articles/600830/f_clip_image033.gif

http://festival.1september.ru/articles/600830/f_clip_image035.gif

 

                     Рис. 25          

 

Задача2.

 Найдите радиус r вписанной окружности  для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. (рис. 26)

Рис. 4

Рис. 26

Первый способ

Из http://festival.1september.ru/articles/567755/img1.gifBNO1  следует, что O1N = r = BO1 • sinhttp://festival.1september.ru/articles/567755/img3.gif, т.е. r = (12 – r) · 5/13   и 

 r = 10/3см.

Ответ: r = 10/3см 

Второй способ

О1 – центр вписанной окружности, O1N = r.  DC = CN = 5 см  по свойству касательных, проведённых из одной точки к одной  окружности.  

BN =13 – 5 = 8 (см).  ВО1 = 12 – r. Из http://festival.1september.ru/articles/567755/img1.gifBNO1 по теореме Пифагора

r2 = (12 – r)2 – 82,  откуда  r = 10/3см.

Третий способ

r = 2S/(a + b + c), r = 2 • 60/(13 + 10 + 13), тогда  r = 10/3см.

Четвёртый способ

Из подобия   http://festival.1september.ru/articles/567755/img1.gifO1NB и  http://festival.1september.ru/articles/567755/img1.gifCDB следует, что   ВО1/BC = BN/BD, 

(12 – r)/13 = 8/12  и   r = 10/3см.

Пятый способ

По свойству  биссектрисы  http://festival.1september.ru/articles/567755/img1.gifCBD,  имеем CD/CB = DO1/BO1, 

5/13 = r/(12 – r), а тогда из этой пропорции получим r = 10/3см.

Шестой способ.

 По свойству  касательной и секущей, проведёнными из одной точки к одной окружности, мы решили эту задачу так:

 BN2 = BD • BM, т.е. 82 = 12 • (12 – 2r), откуда r = 10/3см.

 


 

Методика изучения теоремы Теорема «

Методика изучения теоремы Теорема «

То, что необходимо повторитьЗадания для повторения 11Окружность

То, что необходимо повторитьЗадания для повторения 11Окружность

Сфера Из рис. 4 сформулировать понятия сферы

Сфера Из рис. 4 сформулировать понятия сферы

Около любого треугольника можно описать окружность, центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров

Около любого треугольника можно описать окружность, центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность 2

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность 2

OH, OK, ON - радиусы вписанной окружности и сделаем вывод, что они равны: 2)

OH, OK, ON - радиусы вписанной окружности и сделаем вывод, что они равны: 2)

В первом действии используя условие, что

В первом действии используя условие, что

Рис. 14 Пример 3

Рис. 14 Пример 3

Дано: D АВС – р/б; АВ – основ-е;

Дано: D АВС – р/б; АВ – основ-е;

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от его

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от его

Задача 1.1 Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рис

Задача 1.1 Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рис

За одну минуту поезд проходит метров

За одну минуту поезд проходит метров

Задача 1 Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами

Задача 1 Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами

Включение теоремы в систему знаний

Включение теоремы в систему знаний

Четвёртый способ По свойству хорд, пересекающихся внутри круга

Четвёртый способ По свойству хорд, пересекающихся внутри круга

Рис. 26 Первый способ Из BNO1 следует, что

Рис. 26 Первый способ Из BNO1 следует, что
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
25.12.2017