Межотраслевой баланс. Проверка продуктивности матрицы

Еще больше примеров задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное решение задач по математике, экономике

Тема: Межотраслевой баланс. Проверка продуктивности матрицы

ЗАДАНИЕ.  Придумать свою какую-нибудь продуктивную матрицу размера 2х2 и вычислить запас продуктивности двумя способами. 

РЕШЕНИЕ. Придумаем продуктивную матрицу (сумма элементов любого столбца матрицы меньше единицы): 

          0,1    0,2

A =                . 

          0,3    0,2

Число α называется запасом продуктивности продуктивной матрицы A, если все матрицы µA, где 1< < +µ α(1        ), продуктивные, а матрица (1+α)A - не продуктивная.

Вычислим запас продуктивности матрицы A.

1) Найдем (E A−µ )⁻¹. 

B E A= −( µ )=1 0−µ 0,1 0,2  = 1−0,1µ −0,2µ

                                  0    1       0,3        0,2  −0,3µ 1−0,2µ

Определитель:

1−0,1µ −0,2µ²

B E A= −µ == −(1   0,1µ)(1−0,2µ) (− −0,3µ µ)(−0,2 )= −1    0,3µ µ−0,04   . −0,3µ 1−0,2µ

Обратная матрица:

₋₁                         1 1−0,2µ µ0,3     ^T                                   1                 1−0,2µ µ0,2     

B =                                        ⁼ ₂                              

                    B  0,2µ 1−0,1µ           1−0,3µ µ−0,04       0,3µ 1−0,1µ

В соответствии  с теоремой 1 для продуктивности матрицы µA надо потребовать условие неотрицательности всех элементов матрицы B⁻¹.

1)                 Определитель меньше нуля, тогда все элементы матрицы должны быть тоже меньше нуля. 

Решаем уравнение 

1−0,3µ µ−0,04 ² = 0, 100−30µ µ−4 ² = 0, µ₁ = 2,5; µ₂ =−10.

Тогда при µ∈ −∞− ∪( ; 10) (2,5; ∞) определитель меньше нуля. Но при таких значениях, например, 1−0,2µ> 0, то есть данный случай не подходит. 

2)                 Определитель больше нуля, µ∈ −( 10;2,5), тогда все элементы матрицы должны быть тоже больше нуля.  Проверяем:

                                                                             1

Еще больше примеров задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное решение задач по математике, экономике

1−0,2µ> 0,



1−0,1µ> 0,

                    

0,2µ> 0,

^0,3µ> 0;

10 > 2µ, 

10 >µ,

^µ> 0;

5 >µ,

   

µ> 0.

Искомое решение на пересечении интервалов µ∈ −( 10;2,5)∩(0;5)=(0;2,5) .

Получаем, что 0 < <µ 2,5 = +1 1,5⇒α=1,5. Запас продуктивности α=1,5.

2) Найдем число Фробениуса матрицы µA. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

                            λ µ−0,1      −0,2µ

λ µE A−                                    = −(λ µλ µ0,1 )( −0,2 ) (− −0,3µ µ)(−0,2 )=

−0,3µ λ µ−0,2

= −λ λµ µ² 0,3 −0,04 ² = 0,  λ µλ₁ = 0,4 , ₂ =−0,1 .µ

Тогда число Фробениуса равно λ µ_A = 0,4 . По критерию продуктивности должно выполняться λ µ_A = 0,4 <1, ⇒µ< 2,5 = +1 1,5, ⇒α=1,5 . 

Пришли к тому же результату: запас продуктивности α=1,5.

                                                                             2