Мир искусства Мориса Эшера в математике

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение  «Средняя общеобразовательная школа № 4» Тема  «Мир искусства Мориса Эшера в математике» Выполнила  ученица 9 класса  Обвинцева Ксения Аркадьевна  Руководитель  учитель математики МКОУ  «Средняя общеобразовательная школа № 4»  Мехонцева Марина Григорьевна Шадринск 2015 Содержание Введение…………………………………………………………………………….2 Глава 1. Теоретические разработки проекта.. ………………………….….....4 § 1.1.  История возникновения невозможных фигур……………………….…….4 § 1.2. Определение невозможных фигур…………………………………….........6 § 1.3. Создание невозможных фигур………………………………………………7 § 1.4. Биография Мориса Эшера…………………………………………………...8 § 1.5. Первые работы……………………………………………………………….10 § 1.6. Мозаики………………………………………………………………….......11 § 1.7. Многогранники………………………………………………………….......13 § 1.8. Форма пространства…………………………………………………….......15 § 1.9. Логика пространства…………………………………………………….......16 § 1.10. Самовоспроизведение и информация……………………………….........18 § 1.11. Интересные факты………………………………………………….……...19 § 1.12. Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре……………………..20 Глава 2. Практическая разработка книги «Мир искусства в математике» ……………………………………………………………………………………….22 § 2.1. Практическая значимость проекта………………………………………….22 § 2.2. Перспективы проекта………………………………………………………..22 § 2.3. Идентифицированные риски проекта и пути по их предупреждению…..23 § 2.4. Оценка ресурсов, необходимых для реализации проекта………………..24 § 2.5. Оценка расходов на реализацию проекта………………………………….24 § 2.6. Проектное решение (план реализации проекта)…………………………..25 Заключение………………………………………………..……………………….27 Список использованных источников….……………………………………….28 2 Введение В мире существует огромное количество изображений, про которые можно сказать: «Что видим? Нечто странное». В них входят  и рисунки с искажённой перспективой, и невозможные в нашем трёхмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Такие странные рисунки и фотографии появились в начале XI века, а сегодня уже стали целым направлением искусства под   названием  имп­арт.  Человеком,   положившим   начало   этому  направлению, является Мауриц Корнелис Эшер. Невозможные фигуры уже многие столетия привлекают внимание людей. Изображения невозможных фигур в наше время всё чаще встречаются  в работах художников, архитектурных и дизайнерских проектах, логотипах. В мире появляется всё больше невозможных фигур и их классификаций. Популярность имп­арта растёт.  Все это позволяет говорить об актуальности изучаемой темы. Цель   проекта:   изучить   и   классифицировать   невозможные   фигуры   М. Эшера, создать книгу для использования на уроках математики и во внеклассной работе. Задачи проекта: 1.Изучить литературу по теме «Невозможные фигуры». 2.Определить области существования и применения невозможных фигур. 3.Составить классификацию невозможных фигур М. Эшера. 4. Выяснить какие математические факты использовал М.К. Эшер в своих работах. 5. Создать книгу, посвященную художнику М. Эшеру и его работам. Объект исследования: несуществующие фигуры. 3 Предмет исследования: свойства несуществующих объектов, возможность их существования и классификации. Гипотеза: Изучаемая тема по творчеству Эшера будет интересна многим и создаст условия для возникновения интереса к творчеству художника. Методы   исследования:  изучение     и   анализ   теоретических   сведений   по данному   вопросу,   наблюдение,   классификация,   сопоставление,   обобщение, разработка и создание альбома или книги.  Результаты   нашего   исследования  представляют   интерес   для   людей, интересующихся   математикой   и   живописью.     Мы   думаем,   что   наш   опыт исследования   пригодится   учащимся,   желающим   попробовать   свои   силы   и увлекающимся необычными явлениями и картинами. Типология проекта: ­  по   деятельности:  исследовательский,   нацеленный   на   дальнейшее теоретическое и практическое применение; ­  по   предметно­содержательной   области:  межпредметный,   т.   к. исследуется взаимосвязь математики и живописи; ­ по продолжительности: 5 месяцев. Обзор изученной литературы      В процессе работы над темой мы изучили весь материал, который есть по этой   теме   в   Интернете,   в   учебники   геометрии   для   9   класса   по   теме «Параллельный перенос» и «Поворот». Готовых книг с полным исследованием творчества Эшера и его работ мы не нашли. 4 Глава 1. Теоретические разработки проекта § 1.1. История возникновения невозможных фигур   Систематическое изучение невозможных фигур началось в середине   XX века,   хотя   известны   они   были   ещё   в   Средневековье.   Одними   из   создателей невозможных фигур являются Оскар Реутерсвард и Роджер Пенроуз.  Свою первую невозможную фигуру Оскар Реутерсвард создал случайно в 1934 году. Это был невозможный треугольник, составленный из девяти кубиков. Оскар   Реутерсвард   родился   в   1915   году   в   городе   Стокгольм,   Швеция. Рисованию   он   обучался   под   руководством   русского   иммигранта   профессора Академии Искусств в Санкт­Петербурге Михаила Каца и   создал более 2500 различных невозможных фигур.  Роджер   Пенроуз   после   лекции   М.К.   Эшера   в   1954   году   независимо   от Реутерсварда   снова   открывает   невозможный   треугольник,   но   в   отличие   от своего   предшественника   он   использует   линейную   перспективу   и   соединяет вершины   треугольника   сплошными   линиями,   этим   самым   усиливая   эффект. Роджер Перноуз родился 8 августа 1931 года в Англии. Он был выдающимся учёным своего времени. Активно работал в различных областях математики, общей теории и квантовой теории, является членом Лондонского королевского общества. У него очень много наград, таких как  премия Вольфа, медаль Дирака, премия Альберта Эйнштейна и медаль Королевского общества. Роджер Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом в 1958 году публикует статью в 5 Британском журнале по психологии, после этой статьи невозможными фигурами заинтересовываются не только математики.  Невозможные   объекты   использовались   ещё   до   появления   классической перспективы в дизайне древних общественных зданий. Наглядный пример­ это изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На фреске архангел Гавриил приносит весть Марии о будущем сыне. Обрамление фрески составляют две арки, поддерживаемые тремя колоннами. Однако   всё   не   так   просто   в   этом   изображении,   если   обратить   внимание   на среднюю   колонну,   то   можно   заметить,   что   она   исчезает   на   заднем   плане   за плитой.   Изображенная   художником   "невозможность",   позволяет   избежать разделения сцены на две половины. Ряд живописцев средних веков использовали в своих полотнах изображения невозможных   фигур.   На   полотне   «Сорока   на   виселице»,   созданном   Питером Брейгелем   в   1568   году,   изображена   виселица   невозможной   конструкции, которая   и   делает   эту   картину   эффектной.   Среди   изображений   невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец или по­ другому «чёртова вилка». Мы можем наблюдать конфликт переднего и заднего планов, то есть то, что было изначально на переднем плане, незаметно уходит на задний и наоборот. Также   здесь   присутствует   ещё   один   эффект   ­   плоские   грани   верхней   части трезубца становятся круглыми в нижней (рис.1). 6 Рис. 1. Трезубец   Эффект   невозможности   достигается   за   счет   того,   что   мы   пытаемся сравнить количество зубцов фигуры в верхней и нижней части рисунка, из­за чего возникает ощущение невозможности фигуры.  Невозможный     трезубец   встречается   в   различных   интерпретациях   в творчестве разных художников, например Шигео Фукуда изобразил его в виде колоннады (рис.2).  Рис. 2. Колоннада 7 § 1.2. Определение невозможных фигур До   настоящего   времени   учёные   не   нашли   чёткого   определения невозможным   фигурам.   Я   нашла   в   литературе   несколько   определений невозможных фигур. Невозможная   фигура   —   один   из   видов   оптических   иллюзий,   фигура, кажущаяся   на   первый   взгляд   проекцией   обычного   трёхмерного   объекта,   при внимательном   рассмотрении   которой   становятся   видны   противоречивые соединения элементов фигуры. Невозможные   фигуры  ­   это   геометрически   противоречивые   изображения   не   существующих   в   реальном   трёхмерном   пространстве. объектов, Невозможность   возникает   из   противоречия   между   подсознательно воспринимаемой   геометрией   изображённого   пространства   и   формально­ математической геометрией.  Многие считают, что невозможные фигуры действительно  невозможны в реальном мире. Я попытаюсь доказать обратное. Из школьного курса геометрии нам   известно,   что   чертеж,   изображенный   на   листе   бумаги   ­   это   проекция трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на   листе   бумаги   должна   существовать   и   в   нашем   трехмерном   пространстве. Причем   трехмерных   объектов   может   быть   бесконечное   множество.   Это   же относится и к невозможным фигурам. Можно выделить следующую классификацию невозможных фигур: 1. в основе построения фигур кубические формы; 2. в основе построения фигур планки. Также можно выделить: 1. невозможные животные и растения; 2. фигуры с нарушениями перспективы; 3. фигуры с невозможными соединениями. 8 § 1.3. Создание невозможных фигур Конечно,   ни   одну   из   невозможных   фигур   нельзя   создать,   действуя прямолинейно. Например, если мы возьмём три одинаковых бруска, то, как бы мы не пытались совместить их вместе, у нас никогда не получится невозможный треугольник.   Однако   при   проецировании   трехмерной   фигуры   на   плоскость некоторые   линии   могут   становиться   невидимыми,   перекрывать   друг   друга, стыковаться друг с другом и т.п.  Русский художник и конструктор Вячеслав Клейчук предложил один из способов создания невозможного треугольника. Все рёбра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнутыми, хотя на фронтальном виде этой   изогнутости   не  видно.  Такая   модель   была   создана   им  из  дерева,  а  сам способ опубликован в журнале «Техническая эстетика» №9 (1974).   Существует   и   еще   один   способ,   при   помощи   которого   можно   увидеть невозможную   фигуру,   причем   двумя   глазами   сразу.   Для   его   осуществления необходимо   создать   огромную   фигуру   высотой   с   многоэтажный   дом,   и разместить её на огромном открытом пространстве. Смотреть на такую фигуру нужно с большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт.   Таким   образом,   невозможные   фигуры   приобретают   все   большую популярность.   И   самым   известным   поклонником   и   создателем   невозможных фигур был Морис Корнелис Эшер. § 1.4. Биография Мориса Эшера Мауриц (Морис) Корнелис Эшер ­ нидерландский художник­график. 9 Стал известен, прежде всего, своими литографиями, гравюрами на дереве и металле,   в   которых   он   мастерски   исследовал   пластические   аспекты понятий бесконечности и симметрии,   а   также   особенности   психологического восприятия   сложных трёхмерных объектов,   самый   яркий   представитель имп­ арта. Морис   Корнелиус   Эшер   родился   17   июня   1898   года   в   Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей. Голландский   мальчик   –   Морис   с   детства   был   немного   странным. Бесцветный, замкнутый и заикающийся, он плохо учился и был подвержен двум маниям.   Первую   можно   назвать   «тягой   к   падению»   –   все   вертикальные, устремляющиеся   ввысь   формы,   пугали   и   одновременно   с   этим   притягивали парня. Вторую манию можно назвать построением «безупречного бутерброда». С 9 лет Морис учится плотницкому делу и игре на пианино. Оценки по всем предметам в школе у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом   линолеуме   –   портрет   своего   отца   Г. А. Эшера.   С   19   лет   Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера. В 1918­1919 годах Эшер   посещает   Технический   колледж   в   голландском   городке   Дельфт.   Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из­за плохого здоровья Морис не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, Эшер так и не получил высшее образование. Все еще в надежде получить диплом архитектора в 1919­1922 годах юный Эшер  учится  в  Школе  архитектуры  и орнамента  в  городе  Гаарлеме.  Там  он берет   уроки   рисования   у   Самюэля   Джесерена   де   Месквита,   оказавшего формирующее влияние на жизнь и творчество Эшера. 10 В   1921   году   семья   Эшера   посетила   Ривьеру   и   Италию.   Очарованный растительностью   и   цветами   средиземноморского   климата,   Морис   сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ. В 1922 году, проучившись в училище два года, Эшер переезжает в Италию, где проживет 13 лет. Каждое   лето   он   путешествует   по   Южной   Италии   или   Испании.   Летние впечатления служат материалом для гравюр, над которыми он работает зимой. С 1941 года Эшер постоянно живет в Голландии. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах. В   1954   году   в   Амстердаме   состоялась   большая   выставка   Эшера, приуроченная   к   Международному   математическому   конгрессу.   Математики сразу признали художника «своим»; с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико­математических изданий. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. Однажды известный геометр Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную   математическому   содержанию   его   гравюр   и   литографий.   К взаимному   разочарованию,   Эшер   не   понял   почти   ни   слова   из   того,   о   чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником.   И   вот   теперь   математики   используют   мои   рисунки   для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня  в свою  компанию  как  потерянного и  вновь обретенного  брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен». Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу «Мир М. К. Эшера», переведенную   на   английский   язык,   и   остался   ею   очень   доволен.  Слава   мало 11 изменила   образ   жизни   художника,   который   продолжал   упорно   работать. Последняя работа, законченная Эшером – «Змеи». Умер он 27 марта 1972 года.  § 1.5. Первые работы  "Если   бы   вы   только   знали,   какие   видения   посещают   меня   в   ночной тьме... Иногда моя неспособность сделать их зримыми буквально сводит меня с ума. По сравнению с этими мыслями каждая отдельная гравюра или рисунок   ­   это   полная   неудача,   только   мельчайшая   частица   необъятного целого". (М.К.Эшер) По   окончании   учебы   Эшер   отправляется   путешествовать   по   Италии   и Испании, чтобы познакомиться с работами великих мастеров. Кстати, первые гравюры Эшера были вполне натуралистичны, но и они полны гармонической красотой и настоящей магией ("Три мира", "Капля росы", "Лужица" и др.) (рис. 3, 4)                               Рис. 3. «Три мира»                              12 Рис. 4. «Капля росы»  "Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением. Они словно сами избирают, в каком виде им появиться... Линия, разделяющая две смежные фигуры, выполняет двоякую функцию, и провести такую линию чрезвычайно сложно. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении. Но ни человеческий глаз, ни человеческий разум   не   могут   одновременно   созерцать   две   вещи,   поэтому   происходит быстрое и непрерывное переключение внимания с того, что находится по одну сторону линии, на то, что находится по другую сторону от нее. Но, вероятно, именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства". (М.К.Эшер) § 1.6.  Мозаики «Мозаикой»   называется   регулярное   разбитие   плоскости,   набор   фигур, которыми заполняется плоскость без пересечений и щелей. Обычно в качестве   квадраты   или фигуры   используются   многоугольники, прямоугольники.   Эшер   был   заинтересован   абсолютно   всеми   видами   мозаик,   например, такими   как   регулярные   и   нерегулярные.   На   этом   он   не   остановился   и   ввёл собственный   вид   мозаик,   называемые   «метаморфозами».   В   «метаморфозах» фигуры   могут   изменятся   и   взаимодействовать   друг   с   другом,   изменять плоскость. Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: 13 «В   математических   работах   регулярное   разбиение   плоскости рассматривается   теоретически...   Значит   ли   это,   что   данный   вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».(М.К.Эшер) Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Эшер   использовал   эти   знания,   трансформировал   фигуры   при   помощи симметрии, отражения, смещения и прочего, таким образом, из базовых фигур получились   животные,  змеи,  птицы,  ящерицы   и  др.  Эти   искаженные  образцы мозаик имели трех­, четырех ­ и шести направленную симметрию и заполняли плоскость без перекрытия и щелей (рис.5)   Рис. 5. «Всё меньше и меньше». 1956 § 1.7. Многогранники 14 Правильные многогранники всегда более других фигур очаровывали Эшера. Он   использовал   многогранники   в   качестве   главных   фигур   во   многих   своих работах,   ещё   в   большем   количестве   они   встречаются   в   качестве вспомогательных   и   второстепенных   элементов.   Всего   существует   пять правильных   многогранников,   то   есть   фигур,   все   грани   которых   состоят   из одинаковых   правильных   многоугольников.   Это   ­   тетраэдр,   куб,   октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Также их ещё называют телами Платона.  Пересечение   основных   правильных   многогранников   Эшер   изобразил   на гравюре «Четыре тела». Фигуры расположены на одной оси симметрии, также они полупрозрачны, что создаёт особый эффект, так как через одну фигуру можно увидеть все остальные.  И многоугольники, и сферы Эшер использовал в своих работах с целью создания перспективы. Литография «Гравитация»­ это последняя литография Эшера на тему многоугольников. На ней изображен додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звездами. Рис. 6. Гравитация 15 Наиболее интересной работой М.К. Эшера является гравюра «Звезды». На ней   изображены   не   просто   правильные   многоугольники,   а   тела,   полученные путём объединения тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты   многогранников, мы никогда бы не узнали   о   ней.   Но   по   какой­   то   причине   Эшер   поместил   внутрь   центральной фигуры хамелеонов, именно они усложняют восприятие всей фигуры в целом. Таким   образом,   для   того   чтобы   представить   картину   целиком,   нам   нужно отвлечься от её привычного восприятия и взглянуть на неё свежим взглядом. Это ещё один повод для восхищения данной картиной. Рис. 7. Звезды Гравюра   «Двойной   астероид».   На   ней   изображены   два   тетраэдра, пронизывающих друг друга. Фигуры плывут в пространстве, как астероид. Один тетраэдр населён людьми, которые превратили его в город с домами, улицами и дорогами.   Второй   тетраэдр   сохранил   свою   изначальную   растительность, доисторических животных и всю красоту природы. Эта гравюра имеет глубокий 16 смысл, так как говорит нам о том, что человек сам губит и уничтожает всё живое   вокруг   себя.   Итак,   два   небесных   тела   составляют   единое   целое,   но представляют собой два абсолютно разных мира. Рис. 8. Двойной астероид  § 1.8. Формы пространства С математической точки зрения наиболее важными работами М.К. Эшера являются   работы,   в   которых   показывается   природа   самого   пространства. Наиболее   удачный   пример   для   начала   обзора   таких   картин   является Литография "Три пересекающиеся плоскости.   Эшера волновали особенности перехода от плоскости к пространству, взаимодействие имеющих определённую форму двухмерных фигур и трёхмерных существ, способных передвигаться в пространстве. В работах художника просматривается динамика пространства, словно художника удивляет тот факт, что несколько проведенных на плоскости линий могут восприниматься как объёмная фигура.  17 Помимо   этого,   Эшер   работал   над   заполнением   пространства.   «Предел круга» на его взгляд самая удачная работа на эту тему. На ней изображены рыбоподобные фигуры, которые уменьшаются при отдалении от цента круга, при этом они плотно заполняют пространство. Эта картина демонстрирует один из   видов   неевклидового   пространства,   так   как   уменьшение   может   быть бесконечным.   О   таком   пространстве   писал   Анри   Пуанкаре:   «Теоретически находящийся   в   этом   пространстве   человек   не   будет   чувствовать   ничего необычного,   но   не   сможет   нарисовать   фигуры   с   четырьмя   прямыми   углами, соединёнными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников». Работа  «Змеи»  является   ещё  более  странной   и  парадоксальной,  так   как пространство на ней уходит в бесконечность и в сторону края окружности в сторону её центра.  Другая интересная литография называется "Картинная галерея", в которой изменены   одновременно   и   топология   и   логика   пространства.   Мы   видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином  на  берегу, а в  магазине  ­  картинная  галерея, а в  галерее  стоит мальчик,   который   смотрит   на   картину,   на   которой   нарисован   приморский город... стоп! Что­то не так... § 1.9. Логика пространства Под   "логикой"   пространства   мы   понимаем   те   отношения   между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые оптическими иллюзиями. Проблемы   перспективы   затрагивались   в   работах   Эшера   ещё   в   ранних гравюрах. Позже Эшер работал с перспективой ради создания полу абсурдных произведений, изображение на которых можно рассматривать с разных точек. 18 Ему удалось создать картины, изображение на которых меняется в зависимости от местоположения зрителя. На картине «Cверху и cнизу» изображено сразу пять точек исчезновения, в результате чего, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то кажется то мы смотрим вверх, и наоборот. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции. Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»;   Эшер изображал их как   отдельно,   так   и   в   сюжетных   литографиях   и   гравюрах.   Самой примечательной из них является,  вероятно, «Водопад».  Водопад играет  роль вечного двигателя, а башни кажутся одинаковой высоты, хотя в одой из них на этаж меньше, чем в соседней. Рис. 9 «Бельведер» 19 «Бельведер,   (рис.   9).   Сидящий   на   скамейке   юноша   держит   в   руках   и рассматривает  невозможное подобие  куба и даже не подозревает, что за его спиной бельведер выстроен в том же абсурдном стиле. Парочка, поднимающаяся по   лестнице,   ещё   не   знает,   что,   когда   они   поднимутся   по   ней,   они   снова окажутся снаружи, под открытым небом, и им снова придётся подниматься по лестнице бельведера.  Удивительно ли что никому из присутствующих нет дела до заключенного, который просовывает голову между прутьями тюремной решетки и оплакивает свою судьбу? § 1.10. Самовоспроизведение и информация Наиболее   видима   тема   самовоспроизведения   в   литографии   «Рисующие руки» (рис.10).  Рис. 10. «Рисующие руки» На ней изображены хорошо прорисованные кисти рук, каждая из которых рисует манжет другой руки. Так возникает странная петля. Центральная идея самовоспроизведения,   взятая   на   вооружение   Эшером,   обращается   к   загадке человеческого   сознания   и   способности   человеческого   мозга   обрабатывать 20 информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение   является   направленным   действием.   Руки   рисуют   друг друга,   создавая   самих   себя.   При   этом   сами   руки   и   процесс   их самовоспроизведения   неразделимы.   В   работе   "Рыбы   и   чешуйки"   (рис.   11) концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. Рис. 11. «Рыбы и чешуйки» §. 1.11.  Интересные факты ­Эшер был левшой. ­В честь Эшера назван открытый в 1985 году астероид. ­Образ литографии «Относительность» регулярно   используется   в художественных   произведениях:   он   присутствует   в   одной   из   комнат   Города Гоблинов в фильме  «Лабиринт», персонажи  мультсериала «Футурама»  в серии «I, Roommate»  во время поисков квартиры одному из героев посещают в том 21 числе «эшеровский» дом, образ присутствует в  клипе Red Hot Chili Peppers на песню Otherside. ­Французская автомобильная компания Renault, в 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник. Позже в 1992 году невозможная фигура изменилась,   она   стала   немного   проще.   Этот   же   символ   был   взят   за   основу мексиканским математическим сайтом. ­16   июня   2003     году   поисковая   система   Google   в   честь   дня   рождения М.К.Эшера изменила свой логотип на один день, взяв за основу работу М. К. Эшера «Рисующие руки» 1948 года.  Многие современные фирмы также берут за основу   для   своих   логотипов   невозможные   фигуры.   Особой   популярностью пользуются невозможный треугольник и четырёхугольник. § 1.12. Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник. Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии (рис. 12).  Рис. 12. Треугольник Пенроуза Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру. Но стоит подойти с другой стороны, и тогда невозможная фигура станет совсем реальным сооружением. В качестве примера невозможных 22 фигур в архитектуре можно привести так называемые Кубические дома (рис. 13).  Рис. 13. Кубические дома Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором Пиетом Бломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов, соединенных друг с другом. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. На первом этаже ­ вход, на втором ­ кухня и гостиная, на третьем ­ спальня и ванная комната, на четвертом   этаже   часто   устраивают   оранжерею.   Крыши   домов,  окрашенные   в белый и серый цвета, при взгляде сбоку напоминают горные пики, покрытые снегом. Этот комплекс зданий обладает еще одним интересным свойством. С высоты   птичьего   полета   здания   образуют   конструкцию,   выглядящую   как невозможная фигура.  23 Глава 2. Практическая разработка книги  «Мир искусства в математике» § 2.1. Практическая значимость проекта Практическая   часть   включает   в   себя   подготовку   материала   и   издание книги, посвященной творчеству Мориса Эшера. В ходе изучения теоретического материала по данной проблеме мы не смогли найти книгу с этими работами, на различных   сайтах   интернета   размещены   фотографии   литографий   и   гравюр Эшера, есть факты его биографии, но нет сайта, где бы эти сведения были очень хорошо   систематизированы.   В   рамках   школьной   программы   эти   работы, конечно, не изучаются, хотя с математической точки зрения они представляют интерес. Поэтому мы решили создать книгу, в которой максимально поместить факты биографии, работы и творчества этого необычного художника, а также систематизировать его работы и привести их описание. Как нам думается, у нас это   получилось.   Данная   книга   будет   интересна   учителям   математики 24 изобразительного искусства и ученикам, увлеченным живописью. Работы из нее можно   применять   на   уроках   рисования,   на   уроках   ИВМ   при   изучении   тем, выходящих за рамки школьного курса математики, на уроках геометрии в 9 классе при изучении тем «Параллельный перенос», «Поворот», «Движение».   § 2.2. Перспективы проекта Оскар   Рутесвард   рассказывает   в   книге   "Omojliga   figurer"   (есть   русский перевод) об использовании рисунков имп­арта для психотерапии. Он пишет, что картины   своими   парадоксами   вызывают   удивление,   заостряют   внимание   и желание   расшифровать.   В   Швеции   их   применяют   в   зубоврачебной   практике: рассматривая   картины   в   приемной,   пациенты   отвлекаются   от   неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать   приема   в   различного   рода   российских   бюрократических   и   иных заведениях,   можно   предположить,   что   невозможные   картины   на   стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей, и тем самым, снижать социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись. Мы хотели бы провести исследование, как может влиять творчество Эшера на психологическое состояние учеников в школе. При изучении теоретического материала   нам   встретилось   упоминание   о   применении   картин   в   школе   и   о снижении психического напряжения учеников во время перемены. Более того, многие   психологи   считают,   что   рассматривание   картин   с   невозможными фигурами отвлекает внимание человека от неприятных мыслей. А развешивание таких   изображений   в   коридорах   учебных   заведений   благотворно   влияет   на возбужденную   психику   учащихся,   так   как   перед   уроками,   утверждают психологи, учащиеся пребывают в состоянии стресса.  25 В   дальнейшем   хотелось   бы   научиться   собирать   невозможные   фигуры   в реальности.  Думаем,  что  у   нашего   проекта   есть  очень  хорошие  перспективы дальнейшего развития и применения. § 2. 3. Идентифицированные риски проекта и пути их предупреждения № Риски проекта 1 Наличие недостаточного  теоретического материала и  иллюстративного материала 2 Отсутствие достаточного  количества книг для  использования всеми  учениками на уроках ИЗО и  математики Возможное отсутствие  заинтересованности у  большинства обучающихся 3 Мероприятия по снижению рисков Поиск и изучение всей литературы по теме  проекта, которая может быть в библиотеках  города и в сети Интернет Привлечение спонсорских средств для  издания дополнительных экземпляров книг,  применение множительной техники для  получения ксерокопии материалов Применение красочного иллюстративного  материала, создание презентаций, применение  видеороликов о направлении имп­арта. § 2.4. Оценка ресурсов, необходимых для реализации проекта Финансовые результаты внедрения проекта До разработки проекта После создания  проекта По смете По отчету По смете По отчету 0 0 0 0 500 руб 400 руб 400 руб. 400 руб Показатели Приобретение и изучение  литературы по теме  исследования Приобретение  материалов,  необходимых для  создания проекта 26 § 2.5. Оценка расходов на реализацию проекта № Материалы и оборудование, необходимое для реализации проекта Стоимость  единицы,  Кол­во  единиц,  Общая сумма, руб.  Инвестиционные расходы 1 Канцелярские и оформительские  расходы ИТОГО руб. шт.  370 0,6 1 50 370 30 400 27 Цели Этапы Содержание Результат § 2.6. Проектное решение (план реализации проекта) Нормативно­ правовое  обеспечение Сайты   Интернет. Исполнители Сроки  исполнения сети Мехонцева М.  Г., Обвинцева  К. Декабрь 2013 –  январь  2014 г. й ы н ь л е т и в о т о г д о п – п а т э       1 й о н в о н с о   ­   п а т э   2 Изучить  Изучить  1. литературу по теме  проекта 2. материалы сайтов сети  Интернет по  художественному  направлению имп­арта. Подобрать  3. иллюстративный  материал по творчеству  М. Эшера 1. Изучение имеющейся  литературы по теме проекта. 2. Изучение материалов  сайтов сети Интернет по  художественному  направлению имп­арта. 3. иллюстративного материала  по творчеству М. Эшера. Подбор  Просмотрен  Изучена имеющаяся 1. литература. 2. интерактивный и  иллюстративный материал  сайтов сети Интернет. 3. Выбран  необходимый  теоретический и  практический материал  для создания проекта. Разработать  1. содержание проекта. 2. Собрать и  распечатать  иллюстративный  материал для проекта. 1.Разработка содержания  проекта, работа в  соответствии с планом. 2. Сбор и распечатка  иллюстративного материала  для проекта. 1. Разработано содержание проекта, выполняется  созданный план. 2. Собран и распечатан  иллюстративный материал  для проекта. Сайты сети  Интернет. Мехонцева М.  Г., Обвинцева  К. Февраль –  март 2014 г. 28 1. Собрать  теоретический материал  по проекту. 2. Распечатать  1. Сбор теоретического  материала по проекту. 2. Распечатка  теоретического материала. й ы н ь л е т и ч ю л к а з     – п а т э   3 теоретический материал. 3. Классифицировать творчество Эшера по  направлениям. 4. Создать  теоретическую и  практическую часть  проекта. 5. Распечатать в  типографии книгу о  творчестве М. Эшера. 6. Подготовить весь  материал для защиты на  школьной конференции. 3. Проведение  классификации творчества  Эшера по направлениям. 4. Создание  теоретической и  практической части  проекта. 5. Распечатка в  типографии книга о  творчестве М. Эшера. 6. Подготовка всего  материала для защиты на  школьной конференции. Сайты сети  Интернет. Мехонцева М.  Г., Обвинцева  К. Апрель – май 2014 г. 1. Собран  теоретический материал  по проекту. 2. Распечатан  теоретический материал. 3. Классифицировано  творчество Эшера по  направлениям. 4. Создана  теоретическая и  практическая часть  проекта. 5. Распечатана в  типографии книга о  творчестве М. Эшера. 6. Подготовлен весь  материал для защиты на  школьной конференции. 29 Заключение Невозможные   фигуры,   пожалуй,   самые   завораживающие   из   всех существующих оптических иллюзий. Те фокусы, которые они проделывают с нашим воображением, и та игривость, с которой они смущают человеческую душу, делают их особенно увлекательными.    Невозможные фигуры встречаются как в древности, так и в наше время. Сейчас   невозможные   фигуры   широко   используются   в   различных   рекламных плакатах, марках, баннерах. Невозможным фигурам ставят памятники и строят в их честь здания. Всё это позволяет говорить об актуальности рассмотренной темы. В данной работе приведены классификации невозможных фигур, описаны их основные виды. Работая   над   проектом,   мы   узнали   много   интересных   фактов   о   жизни   и творчестве М.К.Эшера и об особенностях невозможных фигур. Кроме того, мы выяснили, что проект может иметь дальнейшее развитие и применение, и эту работу мы будем продолжать.  Высказанная нами гипотеза о том, что изучаемая тема по творчеству Эшера будет   интересна   многим,   и   создаст   условия   для   возникновения   интереса   к творчеству художника, подтвердилась. Мы провели уроки по этому материалу в 8х   и   9х   классах   нашей   школы   и   убедились   в   том,   что   творчество   этого удивительного   художника   действительно   заинтересовало   учеников   и   они   с удовольствием рассматривали эти необычные и такие интересные картины. 30 Список используемых источников 1. Журнал «Наука и жизнь» 2005, № 9 1. Н. Лэнгдон, Ч. Снейт «С математикой в путь» М: «Педагогика», 1987 2. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm 3. http://www.impworld.narod.ru/. 4. http://www.simplex.t.u­tokyo.ac.jp/~sugihara/hobby/hobbye.html 31