Поделиться
13. Модели управления запасами_.pdf
Модели управления запасами
Пример решения
Динамическая задача управления производством и запасами
Рассматривается трёхэтапная система управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Заявки потребителей на продукцию на этапе j равны dj единиц (j = 1, 2, 3). К началу первого этапа на складе имеется только y1 единицы продукции. Затраты на хранение единицы продукции на этапе j равны hj. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией ϕj ( )x j =ax2j +bx cj + , j =1,2,3.
Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи управления производством и запасами и решить её методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса. Исходные данные приведены для каждого варианта в прил. 4.
d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1 3 1 2 4 1 2 6 3 5 0
Решение:
Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляемF1(ξ= y2), F2(ξ= y3), F3(ξ= y4) и соответственно находим x1*(ξ= y2), x2*(ξ= y3), x3*(ξ= y4).
1 этап.
Положим k = 1. Тогда по формуле F1(ξ= y2) = min{ax12 + + +bx c h y1 1 2} имеем:
x1
F1(ξ= y2) = min{4x12 + + +x1 2 6y2}.
x1
Параметр состояния y2 может принимать целые значения на отрезке от 0 до
d2 + d3 = 1+2 = 3, т.е. y2 = 0, 1, 2, 3.
Каждому значению параметра состояния должна отвечать определённая область изменения переменной х1, характеризуемая условием 0 ≤ ≤ +x1 d1 y2. На 1-м этапе получаем 0 ≤ ≤ +x1 3 y2. Однако на 1-м этапе объем производства х1 не может быть меньше трёх, так как спрос d1 =3, а исходный
запас у1= 0.
Из балансового уравнения x1 + − =y d1 1 y2 непосредственно следует, что объём производства связан со значением параметра состояния ξ = у2
соотношением x1 = + − = + − = +y2 d1 y1 y2 3 0 y2 3.
Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1, и потому F1(ξ= y2) =Ω1(x y1, 2). Придавая y2 различные целые значения от 0 до 3 и учитывая, что x1 = +y2 3, находим:
y2 = 0, х1 = 3, Ω1(3,0) = 4 3⋅ 2 + 3+ 2 +6 0⋅ = 41; y2 = 1, х1 = 4, Ω1(4,1) = 4 4⋅ 2 + 4+ 2 +6 1⋅ = 76; y2 = 2, х1 = 5, Ω1(5,2) = 4 5⋅ 2 +5+ 2 +6 2⋅ =119; y2 = 3, х1 = 6, Ω1(6,3) = 4 6⋅ 2 +6+ 2 +6 3⋅ =170.
Значения функции состояния F1( )ξ представлены в таблице:
|
ξ= y2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
F1(ξ= y2) |
41 |
76 |
119 |
170 |
|
x1*(ξ= y2) |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 этап. k = 2.
Табулируем функцию F2(ξ= y3):
F2(ξ= =y3) minΩ2(x y2, 3)=min{ax bx c h y F y22+ + +2 2 3+ 1( 2)}=min{4x x22+ + + +2 2 3y F y3 1( 2)}
x2 x2 x2
.
Переменная x2 может изменяться в пределах 0 ≤ ≤ + = +x2 d2 y3 1 y3, а y3 принимает значения в пределах 0 ≤ ≤ =y3 d3 2, т.е. y3 = 0, 1, 2.
Из балансового уравнения x2 + − =y d2 2 y3 следует, что y2 = + − = + −y d3 2 x2 y3 1 x2.
Придавая y3 различные целые значения от 0 до 2, будем последовательно вычислять Ω2(x2, )ξ , а затем определять F2( )ξ и xɶ2( )ξ .
Процесс табулирования приведён в таблице:
|
ξ= y3 |
0 ≤ ≤ +x2 1 y3 |
x2 |
y2 = + −y3 1 x2 |
Ω2(x y2 3, ) 4= x22+x2+ +2 3y3+F y1( 2) |
|
|
|
y3 = 0 |
0 ≤ ≤x2 1 |
0 |
y2=0+1–0=1 |
Ω2(0,0)=4∙02+0+2+3∙0+F1(1)=2+76=78 |
|
|
|
|
|
1 |
y2=0+1–1=0 |
Ω2(1,0)= 4∙12+1+2+3∙0+F1(0)=7+41=48* |
|
|
|
y3 = 1 |
0 ≤ ≤x2 2 |
0 |
y2=1+1–0=2 |
Ω2(0,1)= 4∙02+0+2+3∙1+F1(2)=5+119=124 |
|
|
|
|
|
1 |
y2=1+1–1=1 |
Ω2(1,1)= 4∙12+1+2+3∙1+F1(1)=10+76=86 |
|
|
|
|
|
2 |
y2=1+1–2=0 |
Ω2(2,1)= |
|
|
|
|
|
|
|
4∙22+2+2+3∙1+F1(0)=30+41=71* |
||
|
y3 = 2 |
0 ≤ ≤x2 3 |
0 |
y2=2+1–0=3 |
Ω2(0,2)= 4∙02+0+2+3∙2+F1(3)=8+170=178 |
||
|
|
|
1 |
y2=2+1–1=2 |
Ω2(1,2)= 4∙12+1+2+3∙2+F1(2)=13+119=132 |
||
|
|
|
2 |
y2=2+1–2=1 |
Ω2(2,2)= 4∙22+2+2+3∙2+F1(1)=26+76=102 |
||
|
|
|
3 |
y2=2+1–3=0 |
Ω2(3,2)= 4∙32+3+2+3∙2+F1(0)=47+41=88* |
||
Наименьшие из полученных значений Ω2 в таблице выделены.
Имеем: F2(0) = Ω2(1,0)= 48, F2(1) = Ω2(2,1)= 71, F2(2) = Ω2(3,2)= 88.
3 этап. k = 3.
Табулируем функцию F3(ξ= y4 ):
F3(ξ= =y4 ) minΩ2 (x y3, 4 )=min{ax bx c h y F y32 + + +3 3 4 + 2 ( 3)}=min{4x x32 + + + +3 2 3y F y4 2 ( 3)}
x3 x3 x3
.
Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента ξ= y4 =0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. Процесс вычислений приведён в таблице:
|
ξ= y4
|
0 ≤ ≤ +x3 d3 y4
|
x 3 |
y3 = + −y4 d3 x3
|
Ω3(x y3 4, ) 4= x32+x3+ +2 h y3 4+F2(y3)
|
|
y4 = 0 |
0 ≤ ≤x3 2 |
0 |
y3=0+2–0=2 |
Ω2(0,0)=4∙02+0+2+5∙0+F2(2)=2+88=90 |
|
|
|
1 |
y3=0+2–1=1 |
Ω2(1,0)= 4∙12+1+2+5∙0+F2(1)=7+71=78 |
|
|
|
2 |
y3=0+2–2=0 |
Ω2(2,0)= 4∙22+2+2+5∙0+F2(0)=20+48=68* |
Наименьшее из полученных значений F3(ξ= =y4) minΩ2(x y3, 4) 68= , причём
x3
минимум достигается при значении x3, равномx3*(ξ= y4 = 0) = 2.
Получили, что на последнем этапе необходимо выпускать 2 единицы продукции: x3* = 2.
Находим предпоследнюю компоненту оптимального плана: y3 = + − = + − =y4 d3 x3 0 2 2 0. В первой части таблицы предыдущего этапа находим выделенную строку для y3 = 0. Имеем: x2* = x2*(ξ= y3 = 0) =1.
Находим x1*, учитывая, что y2 = + − = + − =y3 1 x2 0 1 1 0.
Имеем: x1* = x1*(ξ= y2 = 0) = 3.
Таким образом, оптимальный план производства имеет вид:
x1* = 3, x2* =1, x3* = 2.
Минимальные общие затраты составляют 68 единиц.
Самопроверка результатов
|
Этап |
1 |
2 |
3 |
Итого за 3 этапа |
|
Имеем продукции к началу месяца, шт. |
y1=0 |
y2=0 |
y3=0 |
|
|
Производим в течение месяца, шт. |
х1 =3 |
х2 =1 |
х3 =2 |
х1 + х2 + х3= 6 |
|
Отпускаем заказчикам, шт. |
d1 =3 |
d2 =1 |
d3 =2 |
d1 + d2 + d3 = 6 |
|
Остаток к концу месяца (храним в течение текущего месяца), шт. |
y2=0 |
y3=0 |
y4=0 |
|
|
Затраты на производство, руб. |
φ(х1)=41 |
φ(х2)=7 |
φ(х3)=20 |
φ(х1)+φ(х2)+φ(х3)=68 |
|
Затраты на хранение, руб. |
h1y2=0 |
h2y3=0 |
0 |
h1y2+ h2y3=0 |
Видим, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются:
y1 + х1 ≥ d1, y2 + х2 ≥ d2, y3 + х3 ≥ d3,
0 + 3 = 3, 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2.
Суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности:
y1+ х1 + х2 + х3= 6 и d1 + d2 + d3 = 6.
При таком плане хранение продукции в течение всего периода не требуется,
т.к. минимальные общие затраты получились при условии, что всё, что производится, сразу же потребляется.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
