Нахождение определенного интеграла

В презентации приведены примеры вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Материал рассчитан на студентов 2 курса СПО

Нахождение определенного интеграла

Для нахождения определенного интеграла необходимо знать формулу

Для нахождения определенного интеграла необходимо знать
формулу Ньютона- Лейбница
Свойства определенного интеграла
1. 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒅𝒅𝒙𝒙=𝒃𝒃−𝒂𝒂; 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂;

2. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒄𝒄 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒄𝒄 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒃𝒃 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒄𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂;𝒃𝒃 𝒂;𝒃 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 ;

3. 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒇 𝟏 𝒇𝒇 𝒇 𝟏 𝟏𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒇𝒇 𝒇 𝟐 𝟐𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒇 𝟏 𝒇𝒇 𝒇 𝟏 𝟏𝟏 𝒇 𝟏 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙+ 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒇 𝟐 𝒇𝒇 𝒇 𝟐 𝟐𝟐 𝒇 𝟐 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙;

4. 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝑪𝑪∙𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 dx=𝑪𝑪∙ 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙; 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙;

5. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒃𝒃 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂𝒂 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙. 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙.

Методы нахождения первообразной такие же как и для неопределенного интеграла

Методы нахождения первообразной такие же как и
для неопределенного интеграла.

Повторим нахождение определенных интегралов

ПРИМЕР 1 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐𝟐− 𝒙 𝒙…

ПРИМЕР 1
𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐𝟐− 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝐝𝐝𝐱𝐱= 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐𝟐 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙=𝟐𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 − 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟐𝟐∙𝟐𝟐 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 −𝒙𝒙 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 =
= 𝟒 𝒙 −𝒙 𝟒𝟒 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 −𝒙𝒙 𝟒 𝒙 −𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 = 𝟒 𝟏 −𝟏 𝟒𝟒 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏𝟏 𝟒 𝟏 −𝟏 − 𝟒 𝟎 −𝟎 𝟒𝟒 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 −𝟎𝟎 𝟒 𝟎 −𝟎 =𝟒𝟒−𝟏𝟏=𝟑𝟑

Сначала в
первообразную
подставили
верхний предел

Затем в
первообразную
вместо х подставляют
нижний предел

F(b)
F(a)

Между ними
Всегда разность

ПРИМЕР 2 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝝅𝝅 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐…

ПРИМЕР 2
𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝝅𝝅 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 ∙𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬𝟐𝟐𝐱𝐱 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝝅𝝅 𝝅 𝟎 𝟎𝟎 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 =− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬𝟐𝟐𝝅𝝅− − 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟎 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝟎𝟎 − 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟎 =− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝟏𝟏+ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝟏𝟏=𝟎𝟎

Не забываем про свойство: 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒃𝒃 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝒂 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝒂 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 ∙𝐅𝐅 𝒂𝒙+𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒃𝒃 𝒂𝒙+𝒃 +𝐂𝐂

ПРИМЕР 3
𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 = 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟒𝒙 𝟒𝟒𝒙𝒙 𝟒𝒙 𝟒𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟒𝟒𝐱𝐱 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 = 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠(𝟒𝟒∙ 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 )− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠(𝟒𝟒∙𝟎𝟎)=
= 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟏𝟏− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟎𝟎= 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙ 𝝅 𝟒 𝝅𝝅 𝝅 𝟒 𝟒𝟒 𝝅 𝟒 − 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝟎𝟎= 𝝅 𝟏𝟔 𝝅𝝅 𝝅 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝝅 𝟏𝟔

Рассмотрим метод замены переменной для определенного интеграла

Рассмотрим метод замены переменной
для определенного интеграла

ПРИМЕР 4

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной
не обязательно возвращаться к переменной х.
Достаточно изменить пределы интегрирования

𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝐱𝐱𝐝𝐝𝐱𝐱= 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕=𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 / / 𝟑− 𝒙 𝟐 / 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 −𝒅𝒕 𝟐 −𝒅𝒅𝒕𝒕 −𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕=−𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝟑𝟑− 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 =𝟑𝟑−𝟒𝟒=−𝟏𝟏 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝟑𝟑−𝟏𝟏=𝟐𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 = 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝐝𝐝𝐭𝐭=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟒 𝟒 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 =
=− 𝒕 𝟒 𝟖 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝒕 𝟒 𝟖 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 =− −𝟏 𝟒 𝟖 −𝟏 𝟒 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟒 𝟒𝟒 −𝟏 𝟒 −𝟏 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 −𝟏 𝟒 𝟖 − − 𝟐 𝟒 𝟖 − 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐𝟐 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝟐 𝟒 𝟖 − 𝟐 𝟒 𝟖 =− 𝟏 𝟖 𝟏𝟏 𝟏 𝟖 𝟖𝟖 𝟏 𝟖 + 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟖 = 𝟏𝟓 𝟖 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟓 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟓 𝟖 =𝟏𝟏 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖

В замену подставили
верхний предел

В замену подставили
нижний предел

замена

ПРИМЕР 5 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎𝟎…

ПРИМЕР 5
𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕𝒕=𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 =𝟏𝟏 , 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟎𝟎=𝟎𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 = 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝒆 𝒕 𝒆𝒆 𝒆 𝒕 𝒕𝒕 𝒆 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒕 𝒆𝒆 𝒆 𝒕 𝒕𝒕 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 = 𝒆 𝟏 𝒆𝒆 𝒆 𝟏 𝟏𝟏 𝒆 𝟏 − 𝒆 𝟎 𝒆𝒆 𝒆 𝟎 𝟎𝟎 𝒆 𝟎 =𝐞𝐞−𝟏𝟏
ПРИМЕР 6
𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕𝒕=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 , 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟏𝟏= 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 = 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝒕𝒕𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕=
= 𝒕 𝟐 𝟐 𝒕 𝟐 𝒕𝒕 𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝒕 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝝅 𝟑 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝝅 𝟐 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟐 = 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟏𝟖𝟖 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 − 𝝅 𝟐 𝟖 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟖 𝟖𝟖 𝝅 𝟐 𝟖 = 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟒𝟒 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 −𝟗𝟗 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 =− 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟓𝟓 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐

Нахождение определенного интеграла

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

22.10.2021