Нахождение определенного интеграла
Оценка 5

Нахождение определенного интеграла

Оценка 5
Презентации учебные
pptx
математика
11 кл +1
22.10.2021
Нахождение определенного интеграла
В презентации приведены примеры вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Материал рассчитан на студентов 2 курса СПО
Нахождение определенного интеграла.pptx

Нахождение определенного интеграла

Нахождение определенного интеграла

Для нахождения определенного интеграла необходимо знать формулу

Для нахождения определенного интеграла необходимо знать формулу

Для нахождения определенного интеграла необходимо знать
формулу Ньютона- Лейбница

Свойства определенного интеграла

1. 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂; 𝒅𝒅𝒙𝒙=𝒃𝒃−𝒂𝒂; 𝒂 𝒃 𝒅𝒙=𝒃−𝒂;

2. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒄𝒄 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒄𝒄 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒃𝒃 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒄𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂𝒂;𝒃𝒃 𝒂;𝒃 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, 𝒄∈ 𝒂;𝒃 ;

3. 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒇 𝟏 𝒇𝒇 𝒇 𝟏 𝟏𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒇𝒇 𝒇 𝟐 𝟐𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒇 𝟏 𝒇𝒇 𝒇 𝟏 𝟏𝟏 𝒇 𝟏 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒂 𝒃 𝒇 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙+ 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒇 𝟐 𝒇𝒇 𝒇 𝟐 𝟐𝟐 𝒇 𝟐 𝒂 𝒃 𝒇 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙;

4. 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 𝑪𝑪∙𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝑪∙𝒇 𝒙 dx=𝑪𝑪∙ 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙; 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙; 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙;

5. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒃𝒃 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂𝒂 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙. 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=− 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙.

Методы нахождения первообразной такие же как и для неопределенного интеграла

Методы нахождения первообразной такие же как и для неопределенного интеграла

Методы нахождения первообразной такие же как и
для неопределенного интеграла.

Повторим нахождение определенных интегралов

ПРИМЕР 1 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐𝟐− 𝒙 𝒙…

ПРИМЕР 1 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐𝟐− 𝒙 𝒙…

ПРИМЕР 1

𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟐𝟐− 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐− 𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝟐− 𝒙 𝒙 𝐝𝐝𝐱𝐱= 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐𝟐 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙=𝟐𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝒅𝒙=𝟐 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟐𝟐∙𝟐𝟐 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 −𝒙𝒙 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒙= 𝟐∙𝟐 𝒙 −𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 =

= 𝟒 𝒙 −𝒙 𝟒𝟒 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 −𝒙𝒙 𝟒 𝒙 −𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 = 𝟒 𝟏 −𝟏 𝟒𝟒 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏𝟏 𝟒 𝟏 −𝟏 𝟒 𝟎 −𝟎 𝟒𝟒 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 −𝟎𝟎 𝟒 𝟎 −𝟎 =𝟒𝟒−𝟏𝟏=𝟑𝟑

Сначала в
первообразную
подставили
верхний предел

Затем в
первообразную
вместо х подставляют
нижний предел

F(b)

F(a)

Между ними
Всегда разность

ПРИМЕР 2 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝝅𝝅 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐…

ПРИМЕР 2 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝝅𝝅 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐…

ПРИМЕР 2

𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝝅𝝅 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙=− 𝟏 𝟐 ∙𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬𝟐𝟐𝐱𝐱 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 𝝅𝝅 𝝅 𝟎 𝟎𝟎 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 =− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬𝟐𝟐𝝅𝝅− − 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟎 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝟎𝟎 − 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟎 =− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝟏𝟏+ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝟏𝟏=𝟎𝟎

Не забываем про свойство: 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 𝒇𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒃𝒃 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝒂 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝒂 𝟏 𝒂 𝒇 𝒂𝒙+𝒃 𝒅𝒙= 𝟏 𝒂 ∙𝐅𝐅 𝒂𝒙+𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒃𝒃 𝒂𝒙+𝒃 +𝐂𝐂

ПРИМЕР 3

𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟏𝟔𝒙 𝟐 = 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟒𝒙 𝟒𝟒𝒙𝒙 𝟒𝒙 𝟒𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 𝟎 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 𝟏+ 𝟒𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟒𝟒𝐱𝐱 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟎 = 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠(𝟒𝟒∙ 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 )− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠(𝟒𝟒∙𝟎𝟎)=

= 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟏𝟏− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝟎𝟎= 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝝅 𝟒 𝝅𝝅 𝝅 𝟒 𝟒𝟒 𝝅 𝟒 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝟎𝟎= 𝝅 𝟏𝟔 𝝅𝝅 𝝅 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝝅 𝟏𝟔

Рассмотрим метод замены переменной для определенного интеграла

Рассмотрим метод замены переменной для определенного интеграла

Рассмотрим метод замены переменной
для определенного интеграла

ПРИМЕР 4

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной
не обязательно возвращаться к переменной х.
Достаточно изменить пределы интегрирования

𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑 𝐱𝐱𝐝𝐝𝐱𝐱= 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕=𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑𝟑− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 𝟑− 𝒙 𝟐 / / 𝟑− 𝒙 𝟐 / 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 −𝒅𝒕 𝟐 −𝒅𝒅𝒕𝒕 −𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕=−𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝟑𝟑− 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 =𝟑𝟑−𝟒𝟒=−𝟏𝟏 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝟑𝟑−𝟏𝟏=𝟐𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟐 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟐 / −𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=−𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝟑− 𝟐 𝟐 =𝟑−𝟒=−𝟏 𝒕 н =𝟑−𝟏=𝟐 = 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏 − 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝐝𝐝𝐭𝐭=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒕 𝟒 𝟒 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 =

=− 𝒕 𝟒 𝟖 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝒕 𝟒 𝟖 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 =− −𝟏 𝟒 𝟖 −𝟏 𝟒 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟒 𝟒𝟒 −𝟏 𝟒 −𝟏 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 −𝟏 𝟒 𝟖 − 𝟐 𝟒 𝟖 − 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐𝟐 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝟐 𝟒 𝟖 − 𝟐 𝟒 𝟖 =− 𝟏 𝟖 𝟏𝟏 𝟏 𝟖 𝟖𝟖 𝟏 𝟖 + 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟖 = 𝟏𝟓 𝟖 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟓 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟓 𝟖 =𝟏𝟏 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖

В замену подставили
верхний предел

В замену подставили
нижний предел

замена

ПРИМЕР 5 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎𝟎…

ПРИМЕР 5 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎𝟎…

ПРИМЕР 5

𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕𝒕=𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 =𝟏𝟏 , 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟎𝟎=𝟎𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 𝟎 𝝅 𝟐 𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒕 в =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 =𝟏 , 𝒕 н =𝒔𝒊𝒏𝟎=𝟎 = 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝒆 𝒕 𝒆𝒆 𝒆 𝒕 𝒕𝒕 𝒆 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒕 𝒆𝒆 𝒆 𝒕 𝒕𝒕 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕= 𝒆 𝒕 𝟏 𝟎 = 𝒆 𝟏 𝒆𝒆 𝒆 𝟏 𝟏𝟏 𝒆 𝟏 𝒆 𝟎 𝒆𝒆 𝒆 𝟎 𝟎𝟎 𝒆 𝟎 =𝐞𝐞−𝟏𝟏

ПРИМЕР 6

𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕𝒕=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕 в 𝒕𝒕 𝒕 в в 𝒕 в =𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 , 𝒕 н 𝒕𝒕 𝒕 н н 𝒕 н =𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟏𝟏= 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙, 𝒅𝒕= 𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒕 в =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟐 = 𝝅 𝟑 , 𝒕 н =𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟏= 𝝅 𝟐 = 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕= 𝒕𝒕𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝒕𝒅𝒕=

= 𝒕 𝟐 𝟐 𝒕 𝟐 𝒕𝒕 𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝒕 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝝅 𝟑 𝟐 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅𝝅 𝝅 𝟑 𝟑𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝝅 𝟐 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟐 = 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟏𝟖𝟖 𝝅 𝟐 𝟏𝟖 𝝅 𝟐 𝟖 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝟖 𝟖𝟖 𝝅 𝟐 𝟖 = 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟒𝟒 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 −𝟗𝟗 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟒 𝝅 𝟐 −𝟗 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 =− 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟓𝟓 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟓 𝝅 𝟐 𝟕𝟐

Нахождение определенного интеграла

Нахождение определенного интеграла
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.