Нахождение площадей разными способами.

Городская научно­практическая конференция юных исследователей «Будущее Петрозаводска» Секция: Юниоры «НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУР» Пустошкин НиколайАлександрович тел.+7963­74­53­358 МОУ «Средняя школа №9» 5 «а» класс, г. Петрозаводск Руководитель: Гапонова Марина Александровна, учитель математики МОУ «Средняя школа №9» Е­mail: marina  ­  tovkun      @   mail  .  ru; тел. +7(911)403­80­65   г.Петрозаводск 2015­2016 2 Содержание: ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………3 ГЛАВА I. ………………………………………………………………………………4 1.1.Известные формулы и свойства площадей………………………………….4 1.2 Нахождение площади фигуры разными способами………………………...4 1.3.Методы нахождения площадей………….………………………...................6        1.4.Примеры задач экзаменационной работы.……………………......................7 ГЛАВА II         2.1.Задачи на нахождение площади в повседневной жизни..…………………...9 ГЛАВА III       3.1.Проведение исследования решения задач в классе….……………………….9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………….…..10 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ..……………………………….…10 ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………………………...11 3 4 ВВЕДЕНИЕ        На уроке математики нам нужно было найти площадь многоугольника, не зная формулы. Мне стало интересно, как это сделать, и я начал исследовательскую работу «Нахождение площади фигур». Цель: исследование методов нахождения площади многоугольников. Гипотеза:  1. Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площади многоугольников. 2. Тема площади очень важная в повседневной жизни. Задачи: 1. Изучить   литературу   по   выбранной   теме,   определить   наиболее   интересные   методы нахождения площади многоугольника. 2. Проанализировать полученные результаты и систематизировать их. 3. Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами.    Методы исследования: Изучение   литературы   по   выбранной   теме,   анализ   полученных   результатов,   проведение анкетирования одноклассников до изучения формулы Пика и после её изучения.      Актуальность проблемы:  В   курсе   математики   не   редко   встречаются   задачи   на   нахождение   площади произвольного многоугольника.  Такие задачи включены в банк заданий ОГЭ и ЕГЭ, т. е. умение решать такие задачи необходимо для успешной сдачи экзаменов. Для нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в углах клеток, не всегда требуется знание формул площадей простых фигур. Необходимость применения данных знаний в повседневной жизни. Новизна проекта: метод нахождения площади многоугольника с помощью формулы Пика не рассматривается в школьных учебниках  математики. Практическая значимость: Задачи на бумаге в клетку помогают   формировать геометрические представления об окружающем мире. Владение разными методами нахождения площади позволяют в каждом случае решить задачу рациональным способом и проверить полученный результат. 5 Глава I.   1.1.Известные формулы и свойства площадей. Нам известны формулы для вычисления площади прямоугольника  S=ab, квадрата S=a2, прямоугольного треугольника S=(ab):2 . С помощью этих формул мы можем находить и площади других фигур,  если обратиться к свойствам площади, то  1)Площадь фигуры равна сумме площадей, составляющих её частей. 2)Площади равных фигур равны. 3)Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Значит,   если   фигуру   разбить   на   известные   нам   фигуры   (прямоугольные   треугольники, квадраты и прямоугольники, то мы можем вычислить и площадь данной фигуры).    1.2.Нахождение площади фигуры разными способами. Например:  Задание № 5319. (ЕГЭ  http://math.reshuege.ru/) 1 способ. 1)Разобьём фигуру на 6 одинаковых треугольников и квадрат. Sквадрата=a2; S=32=9 ед 2 Sтреугольника=a2:2=9:2=4,5 ед2 2)Найдём сумму всех этих фигур. Sфигуры=9+ 6 Sтреугольника=9+27=36 ед2 2 способ. 6 1)Достроим  фигуру  до  квадрата,  чтоб  её  вершины  лежали  на  сторонах полученного квадрата. Sквадрата=92=81 ед2      2)Выполним   вычитание:   из   площади   квадрата   ­   сумму   площадей   треугольников, дополняющих прямоугольник до квадрата.   Sквадрата­ 2 Sбольших треугольника­2 S маленьких треугольника=Sпервоначальной фигуры 81­18*2­4.5*2=81­36­9=36 ед2. 3 способ. Формула Пика.  М – количество узлов на границе многоугольника (на сторонах и вершинах) N – количество узлов внутри  многоугольника. *Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Исторические сведения Автор   формулы   августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик,   родился   в   еврейской   семье.   Георг   был   Александр   Пик (10   ­   Георг 7 одарённым ребёнком, он в 16 лет окончил школу и поступил в Венский университет. В 20  лет  получил  право  преподавать физику  и  математику.  В 1880 году Пик  защитил докторскую   диссертацию.   В   1900—1901   годах   занимал   пост   декана   философского факультета. С его именем связаны: матрица Пика, лемма Шварца — Пика.  Но     больше   всего   он   известен   своей   теоремой   Пика,   которая   появилась   в   его восьмистраничной работе 1899 года Geometrisches zur Zahlenlehre. Найдём площадь многоугольника по формуле Пика: М=18; N=28 ; S=28+18:2­1=36ед2      Мы видим, что все методы решения привели к одному результату.    1.3.Методы нахождения площадей. Изучив литературу, я выяснил несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного   на   клетчатой   бумаге   так,   что   все   его   вершины   находятся   в   узлах пересечения клеток.  1. Метод применения формул.       Просмотрев материал учебников по математике 5­8 классы,   я   выяснил, что по формулам   можно   вычислить   площади   квадрата,   прямоугольника,   треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Нахождение площади сводится к вычислению длин нужных   элементов   фигуры   (сторон,   высот,   диагоналей)   и   выполнению   расчетов   по формуле. 2. Метод сложения площадей. Данная   фигура   разбивается   на   части   с   помощью   вертикальных   и   горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники   и   прямоугольные   треугольники.   Сумма   всех   площадей   фигур, полученных в результате такого разбиения, равна площади данного многоугольника. 8      3.Метод вычитания площадей. Вокруг   данного  многоугольника   строится   четырехугольник   так,     чтобы   его  стороны содержали   максимальное   количество   вершин   многоугольника   и   были   либо горизонтальны,   либо   вертикальны.     Находится   площадь   этого   прямоугольника   и площади фигур, являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника.  Затем нужно   вычесть   площади   дополнительных   фигур   и   вычесть   их   из   площади прямоугольника. 4.Метод вычисления по формуле Пика. Площади   многоугольников,   вершины   которых     расположены   в   узлах   сетки,   можно вычислять по формуле Пика.  Метод не изучается в школьном курсе математики, но имеет широкое применение. Применение формулы Пика позволяет быстро и точно найти площадь любого многоугольника,   построенного   на   клетчатой   бумаге   с   вершинами   в   узлах клеток. 1.4.Примеры задач из экзамена. Задачи из ЕГЭ. http://math.reshuege.ru/ Задание 1.Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с разме­ ром клетки 1 см     1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение(по образцу из банка заданий ЕГЭ) Площадь квадрата равна разности площади прямоугольника и четырех равных пря­ моугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного квадра­ та. Поэтому  см2. Решение по формуле Пика. 4 0 + 4 : 2 ­ 1 = 4 1 . О т в е т : 41. Задание 2 № 244983.  Найдите площадь ромба, изображенного на клетча­ 9 той бумаге с размером клетки 1 см  метрах.Решение.  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных санти­ Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадра­ та, двух маленьких квадратов и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы ко­ торых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому     .  Примечание. Наш четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагона­ лей. Поэтому она равна 3. Решение по формуле Пика. 2+4:2­1=3 . Задание 3 № 5083. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.    1 см Решение.Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому  см2.Решение по формуле Пика:5+10:2­1=9.О т в е т : 9. Задачи из ОГЭ. 10 Задание  1. № 311388.   На   клетчатой   бумаге   с   размером   клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных санти­ метрах. Решение(Из банка заданий к экзамену). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким об­ разом, Решение по формуле Пика. 7+8:2­1=10.  О т в е т :  10. Задание 2 № 323750.   Площадь одной клетки равна 1. Найдите пло­ щадь фигуры, изображённой на рисунке. Решение (Из банка заданий).Впервые нам встретилось решение по формуле Пика. Найдём площадь данной фигуры по формуле Пика:  S = В + Г/2 − 1,  где В — число узлов сетки внутри фигуры, Г — число узлов сетки на границе фигуры, включая вершины. Получаем:  S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5. О т в е т :  20,5.   Другое решение: Площадь данной фигуры равна разности площади квадрата и двух треугольников:          2.1.Задачи на нахождение площади в повседневной жизни. Умение решать задачи на нахождение площади требуется нам и в повседневной жизни и  экзамене. Например: Задание 17№333017 из Банка заданий ОГЭ: Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4м и 10 м., требуется  покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см. и 20 см. Сколько  таких дощечек необходимо купить? 11 Решение: 1)4м=400см2; 10м=1000см2; Sкомнаты = 400*1000=400 000см2. 2) Sдощечки=5*20=100см2 3)400 000:100=4000 штук.Ответ:4000. И таких заданий очень много.      3.1.Исследование, проведённое в классе. Я решил провести эксперимент в своём классе. Одноклассникам нужно было   найти площадь двух данных фигур на клетчатой решетке. Первый   раз   справились   с   заданием   всего   6   человек,   хотя   фигура   было   проще,   чем вторая.(Они делили фигуру на части и складывали полученные площади). Затем я рассказал о Формуле Пика, как можно посчитать площадь с помощью узлов. Из 24человек 22 справились с заданием! Приложение 1,2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.       В ходе исследования я получил подтверждение своей гипотезы. Выяснил, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, что тема площади очень важна в повседневной жизни и на предстоящих экзаменах.        Я провёл практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами, узнал, что можно использовать разные способы вычисления площади, но лучше выбирать рациональные для каждой конкретной задачи.               Провёл   анкетирование   одноклассников   до   изучения   формулы   Пика   и   после   её изучения.   Оказалось,   что   знание   формулы   полезно   и   способствует   лучшему   усвоению данной темы.  Формула Пика является универсальной для нахождения площадей любых многоугольников на квадратной решётке.   В своей исследовательской работой мне хотелось показать, что нахождение площади многоугольника может стать интересным занятием, совсем не таким сложным, как кажется на первый взгляд. 12 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: 1.Математика 5 класс. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд. / М.: Просвещение, 2012.  2.Жарковская   Н.М., Пика//Математика,2009№17,с.24­25.   Рисс   Е.А.Геометрия   клетчатой   бумаги.   Формула 3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014­2015 г. 4.Вавилов В.В, Устинов А.В.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006. РЕСУРСЫ ИНТЕРНЕТ: http://www.uchportal.ru/publ/15­1­0­350 http://matematikalegko.ru/formuli/ploshhad­figury­na­liste­v­kletku­formula­pika.html http://hijos.ru/2011/09/14/formula­pika/ http://contest.miroznai.ru/?p=5&mid=3204&item=2 http://festival.1september.ru/articles/653294/ http://infourok.ru/issledovatelskaya­rabota­uchaschegosya­po­matematike­na­temu­ nahozhdenie­ploschadi­mnogougolnika­384475.html http://nsportal.ru/ap/library/nauchno­tekhnicheskoe­tvorchestvo/2015/02/22/vychislenie­ ploshchadey­figur­na­liste­v 13  ПРИЛОЖЕНИЯ:  Приложение1. Результат решения задачи до объяснения формулы Пика. 14 Приложение2. Результат решения задачи после объяснения формулы Пика. Презентация.