Содержание

Введение. 3

I. Уникальное свойство параболы.. 5

1.1.Парабола в древности и до наших дней. 5

1.2.Практическое применение параболы.. 6

1.3.Параболы в окружающем мире. 8

II.Изучение квадратичной функции. 10

2.1.Построение параболы. 10

2.2.Понятие квадратичной функции и ее свойства. 12

III. Исследование квадратичной функции. 14

3.1.Зависимость графика параболы от коэффициентов. 14

Список литературы.. 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Что чувство удивления – могучий источник желания знать:  от удивления к знаниям – один шаг»

В.А.Сухомлинский.

Введение

В 7 классе на уроке алгебры мы впервые встретились с квадратичной функцией. Мы считаем, что рассмотреть свойства этой функции и понять их с помощью графика легче.

Если рассмотреть, как абстрактные математические понятия встречаются в действительности, то предмет математики становится интересней, а наши знания более осмысленными и глубокими.

В настоящее время очень популярны нестандартные задачи, нестандартные решения и применения; мы считаем, что квадратичная функция и парабола относится к разряду таких применений; поэтому выбранная нами тема актуальна.

Цель исследования: изучение некоторых свойств квадратичной функции и особенностей ее графика.

Объект исследования: квадратичная функция и парабола.

Предмет исследования: влияние разных коэффициентов на внешнюю форму параболы.

Задачи исследования:

1.     Изучить роль математики в развитии цивилизации и культуры.

2.     Ознакомиться с оптическими свойствами параболы, рассмотреть их применение в технике, быту.

3.     Изучить некоторые свойства квадратичной функции.

4.     Исследовать квадратичную функцию и составить алгоритм построения графика квадратичной функции, основываясь на её свойствах.

В своей работе мы использовали следующие методы:

1) сбор и анализ литературы по теме;

2) сравнение;

3) обобщение;

4) работа с помощью программы Microsoft Office Excel.

Основными этапами исследования были:

·       постановка проблемы,

·       сбор материала,

·       овладение методикой построение графиков с помощью программы Microsoft Office Excel,

·       проведение опытов по построению квадратичной функции и параболы,

·       обобщение полученных данных и разработка алгоритма построения графика квадратичной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Уникальное свойство параболы

1.1.Парабола в древности и до наших дней

Согласно легенде, в 212 году до н.э., Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Этот день уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепляли, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим. Так для защиты своего города Архимед использовал оптическое свойство параболы (Приложение 1, рис.1).

Аполлоний Пергский (Перге, 262 до н.э. — 190 до н.э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э., он прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата (Приложение 1,рис. 2, 3).

«Парабола» означает «приложение или притча». Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция. Параболу можно встретить везде: камень, брошенный под углом к горизонту, снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы (Приложение 1,рис. 4). Когда мы бросаем мяч или ударяем по нему теннисной ракеткой, он описывает параболу точно так, как льющаяся из шланга вода (Приложение 1,рис. 5).

 

 

 

1.2.Практическое применение параболы

В технике

Параболоид вращения получается, если парабола вращается вокруг оси z -это бесконечная «чаша».

Параболоид обладает следующим свойством:

·        Все лучи, исходящие из особой точки – фокуса параболы (находящегося на оси z), после отражения от «стенок» параболоида образуют лучи, параллельные оси z.

·        Все лучи, параллельные оси z, после отражения от параболоида собираются в одной точке – фокусе параболоида. На этом свойстве основано конструирование автомобильных фар, прожекторов, параболических антенн и других устройств с отражающими поверхностями, имеющими формы параболоидов (Приложение 2,рис.1).

Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.

В нашей стране существуют прожекторные полки, предназначенные для обеспечения боевых действий частей истребительной авиации зоны ПВО. В 1932 году в Москве формируется первый территориальный прожекторный полк. Такой полк охранял воздушные рубежи над Москвой в первые дни войны, создавая световые поля в которые то и дело врывались вражеские самолеты. На подступах к Москве самолеты противника были встречены нашими ночными истребителями и организованным огнем зенитной артиллерии. В результате этого было сбито более 200 самолетов противника.  (Приложение 2,рис. 2).

Автомобильные фары- это тоже параболоид вращения.

(Приложение 2,рис.1).

Идя в ногу со временем, многие меняют телевизионную антенну. После того, как устанавливается новая параболическая, то убеждаются в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны (Приложение 2,рис.4). Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения, от которого направляется на основное зеркало.   (Приложение 2,рис.5).

В космосе

Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости, имеют траекторию движения в форме параболы. Скорость примерно равна 11,2 км/с и называется параболической или космической скоростью. Масса таких тел мала, а скорость велика. Поэтому они не захватываются гравитационным полем планет (звезд) и продолжают свободный полет. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.

А для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли (Приложение 2,рис.6,7).

В медицине.

В медицине используется параболическое устройство, за счет которого удается разрушить камень в почках. Человека помещают на кресло, и подают электричество на параболическое устройство. Все лучи концентрируются в одной точке (фокус), фокус рассчитан на особое местонахождение (заранее). В данном случае это будет сам камень в почке (Приложение 2, рис.8).

1.3.Параболы в окружающем мире

В природе

Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях (Приложение 3, рис.1,2).

В архитектуре

Параболические формы можно встретить в архитектурных сооружениях.

·Использование математического знания о геометрии конических сечений наблюдается с древнейших времен. Вполне вероятно, что строители в прошлом пользовались в этой области знания интуитивно (Приложение 3,рис.3).

·Золотые ворота — один из немногих памятников оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого (Приложение 3,рис.4).

·Мост Золотые Ворота — висячий мост через пролив Золотые Ворота. Он соединяет город Сан-Франциско на севере полуострова Сан-Франциско и южную часть округа Марин, рядом с пригородом Саусалито. Мост Золотые Ворота был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года (Приложение 3,рис.5).

· Благодаря своей отражающей способности параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. (Приложение 3,рис.6).

·Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки (Приложение 3,рис.7).

· Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне (Приложение 3,рис.8).

·Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня, символ торжества металла в конце XIX века. Башня с удивительной легкостью вздымает на 300 с лишним метров 7 тысяч тонн металлических конструкций, словно сплетенных в удивительное кружево. Эйфелева башня - не только украшение Парижа, но и телевизионная вышка.   (Приложение 3,рис.9).

·«Киевская» - станция Кольцевой линии Московского метрополитена. Открыта 14 марта 1954 года (Приложение 3,рис. 10).

· Стадион Фишт. На нем будет открытие и закрытие Олимпиады. А так же игры Чемпионата мира по футболу 2018г. (Приложение 3,рис.11).

II.Изучение квадратичной функции

2.1.Построение параболы.

Первый способ.

Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большой стороны точку F. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой D на большой стороне, и на бумаге образовалась линия сгиба a. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FD и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку F с другой точкой большой стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы (Приложение 4, рис. 1).

Второй способ.

На листе бумаги нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке , которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и, прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки , т.е. параболу (Приложение 4, рис. 2). Оказывается, что парабола график квадратичной функции — обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую — ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.

Третий способ.

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

1.     Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

2.     Через точку K  перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD₁;

3.     Отрезок KF делят пополам, получают вершину 0 параболы;

4.     От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

5.     Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

6.     На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

7.     Полученные точки соединяют плавной кривой (Приложение 4, рис. 3).

 

2.2.Понятие квадратичной функции и ее свойства

Функция

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя не будет голодать; чем сильнее натянуть тетиву лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет пещера. Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций у= 1/х, у=х², у=х³, у=х²+х³. Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650г.г.). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.

Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665г.г.). Он был советником Тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее, Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики. Термин функция начал применять в конце 18 века Лейбниц (1646-1716г.г.) и его ученики. Определение функции, приближённое к современному, дал Иоганн Бернулли: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». (Приложение 5 рис.1)

С квадратичной функцией мы уже имели дело при работе с некоторыми формулами на уроках геометрии и физики. Например, формула S=πr² задаёт площадь круга как квадратичную функцию его радиуса r. Формула S=a² задаёт площадь квадрата как квадратичную функцию его стороны.

Квадратичная функция

Функция y=ax2+bx+c, где a, b, c заданные числа, a#0, x - действительная переменная, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с - свободный член.

 

III. Исследование квадратичной функции

3.1.Зависимость графика параболы от коэффициентов

Известно, что компьютер – инструмент, который работает с конкретными математическими моделями, поэтому мы создали математическую модель квадратичной функции у=а(х+m)² + n.

Для построения графика функций мы использовали программу Microsoft Office Excel.

Необходимо выяснить как коэффициенты а, m, n влияют на внешнюю форму графика функции.

Исследование 1. Сравним графики функции при положительном и отрицательном значении коэффициента a. Примем а=1 и построим графики функций у = х²  и у =- х². (Приложение 5, рис. 2)

Оказалось, что парабола у = x² обладает следующими основными свойствами:

1)  График функции  целиком в верхней полуплоскости, принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика.

2) Парабола симметрична относительно оси ординат. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x² не меняет своих значений при изменении знака у аргумента: (— x)² = x². Такие функции называются чётными.

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Вывод: график функции у =- х² можно получить из графика у = х² с помощью симметрии относительно оси Х.

Исследование 2. Сравним графики функции при различных целых значениях коэффициента ça ç>1. Построим графики функций у = х²  и у = 2х^2. (Приложение 5, рис. 3).

Мы заметили что, график стал уже. Из построенного графика мы видим, что парабола растягивается относительно оси абсцисс. А такое преобразование на математическом языке называется - растяжением.

Исследование 3. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента 0 < a < 1. Построим графики функций у = х²  и у = 1/2 х²

График функции у = 1/2х² стал шире по отношению с основным графиком. А такое преобразование на математическом языке называется - сжатием графика (Приложение 5 рис. 4).

Исследование 4. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента n. Построим графики функций у = х² +2  и у = х² – 2. (Приложение 5, рис. 5)

Любая точка графика y = х² +2 с абсциссой X находится на 2 единицы “выше”, чем точка графика y = х² с той же самой абсциссой; а график функции y= х² + 2 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вверх”.

Любая точка графика y = х² – 2 находится на 3 единицы “ниже”, чем точка графика y = х² с той же самой абсциссой; а график функции y= х² – 2 можно получить из графика y = х² параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вниз”.

Вывод: График функции y₁= f(x)+n, а0 можно получить из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на |n| единиц “вниз”, если n<0, и на |n| единиц “вверх”, если n>0.

Исследование 5. Сравним графики функции  y = f(x) и y = f(x-m) при различных значениях коэффициента m,  где m – произвольное число. Построим графики функций: y = (x-3)², y = (x+3)². (Приложение 5, рис. 6)

Любая точка графика y = (x+3)² с абсциссой х находится на 3 единицы «левее», чем точка графика y= х² с абсциссой х, а график функции y = (x+3)² можно получить из графика y = х², “сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс.

Любая точка графика y=(х-3)² находится на 3 единицы “правее”, чем точка графика y =х², а график функции y= (x-3)² можно получить из графика функции y =х² “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Вывод: график функции y= f(x+m) можно получить из графика функции y = f(x), “сдвинув” его на |m| единиц вправо вдоль оси абсцисс, если m<0, и на|m| единиц влево вдоль оси абсцисс, если m>0.

С помощью электронных таблиц мы построили графики функций, пронаблюдали за последовательностью построения графиков и составили алгоритм построения графиков функций данной модели.

3.2.Алгоритм построения графика функции у=а(х+m)² + n

 

 

 

 

 

Используя алгоритм, мы определили вид графика функции

у = -0,5(x-4)² + 7:

1.     График симметричен графику функции у=х² относительно оси ОХ Ветви направлены вниз.

2.     Сжатие графика в 2 раза

3.     График сдвинут на 4 единицы вправо.

4.     График сдвинут на 7 единиц вверх. (Приложение 5, рис. 7)

 

Заключение

В процессе нашей работе мы познакомились с историей открытия параболы, углубили свои знания о различных её свойствах, о способах построения параболы; выяснили как коэффициенты влияют на внешнюю форму графика функции; составили алгоритм построения графиков функций модели у=а(х+m)² + n.

Изучили значимость творческого опыта в области алгебры на примерах практического применения свойств данной кривой в различных сферах деятельности человека.

Для многих людей математика является  трудной и непонятной, но мы считаем, что если подробнее изучить математические понятия и применение их в жизни, то математика становится интересной, а наши знания более осмысленными и глубокими.

На первый взгляд, понятие не ново,

И не всегда подумаешь о том,

Как важно будет в жизни это слово

И сколько смысла будет в слове том!

По-разному с годами толковали.

Сам Лобачевский руку приложил,

Чтоб слово «функция» и в средней школе знали,

Чтоб каждый ученик им дорожил.

Список литературы

Интернет ресурсы:

1.   http://otvet.mail.ru/question/13815477

2.   http://www.mathmath.ru/node30-1.php

3.   http://flatik.ru/issledovanie-opticheskih-svojstv-paraboli-primenenie-optichesk

4.   http://otvet.mail.ru/question/39894556

5.   https://ru.wikipedia.org/wiki/Парабола

6.   http://www.megaslov.ru/html/p/parabola.html

7.   http://tolkslovar.ru/p943.html-%20понятия%20слова%20парабола%20в%20толковых%20словарях

8.   http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/118405/Парабола

9.   http://www.astro.websib.ru/slovar

http://project.1september.ru/subjects/8/94

Скачано с www.znanio.ru