Комитет по делам образования города Челябинска МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ № 10 г. ЧЕЛЯБИНСКА»         Проектная работа «Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счёт без калькулятора»   Тип проекта: Информационно-позгавательнй     Выполнила: Сергеева Милослава Константиновна ученица 9 «а» класса Наставник: Тарасова Елена Алексеевна         Челябинск 2022г.

 

Содержание

 

Введение. 3

I. Теоретическая часть……………......………………….………...…..………….4

I.1 История возникновения счета. 4

II.Практическая часть………....…………………………………………………..6

II.1 Старинные способы быстрого счета. 6

II.2 Приемы удобного сложения и вычитания. 9

II.3 Приемы удобного умножения и деления. 11

Результаты анкетирования одноклассников. 14

Заключение. 17

Список литературы. 18

Приложение. Анкета для одноклассников. 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Математика – царица наук, так говорят нам с первого класса. Для кого-то математика кажется сложной, а для кого-то – такой простой. Но поспорить с тем, что она нужна нам постоянно – очень сложно.

Мы даже не задумываемся о том, что математика – одна из неотъемлемых и важнейших частей нашей жизни.

И говоря о математике, точно не задаешь себе вопрос «Да где мне это пригодится?», потому что понятно – математика, и особенно ее раздел – арифметика – нужны всем и каждому, поскольку мы постоянно что-то считаем.

Решать примеры, читать сдачу, считать шаги, вычислять возраст и т.д. – все это невозможно без умения вычислять в уме. Но все чаще сегодня для того, чтобы совершить арифметическое действие, мы используем калькулятор, но счет развивает логику и сообразительность, память, повышает гибкость ума. Быстро и правильно считать – один из важнейших навыков сегодня, вот почему тема моего проекта такая актуальная и важная.

Цель проекта:– собрать и обобщить сведения о примерах удобного счета.

Задачи проекта:

1)  изучить выбранную литературу;

2)  рассмотреть историю возникновения вычислений;

3)  провести анкетирование одноклассников и проанализировать полученные результаты;

4)  узнать о способах для легкого и быстрого сложения и вычитания, способах для легкого и быстрого умножения, способах для легкого и быстрого деления;

5)  подготовить проект по итогам проведенной работы.

 

 

I. Теоретическая часть

I.1История возникновения счета

 

Ученые полагают, что человек научился считать более 100 тыс. лет назад. Вычислительные операции применялись во время обмена продуктами питания и орудиями труда с другими племенами, для составления календарей миграции животных, на которых охотились древние люди, и для определения времени посадки растений.

Естественными «счетными устройствами» были пальцы рук и ног, которых древним людям вполне хватало для нехитрых расчетов. Результаты счета фиксировались с помощью узелков на веревках или зарубок на ветках деревьев и костях животных.

Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке.

Со временем стали появляться более сложные приборы для вычислений. Первым из них считается абак, придуманный в Вавилоне в III тыс. до н.э. Абак представлял собой дощечку с углублениями, по которым передвигали косточки или ракушки, имевшие определенное числовое значение. Такие счеты служили главным образом для выполнения действий сложения и вычитания.

В V в. до н.э. египтяне усовершенствовали конструкцию, начав использовать вместо линий и углублений проволоку с нанизанными камешками.

Абак завоевал популярность во всем мире, а в ходе продолжительной эволюции сформировались три основных вида абака – китайские, японские и русские счеты. Все они сохранили свое назначение и с успехом применяются до сих пор, к примеру, на занятиях по программе «Ментальная арифметика».

Китайский вариант абака под название суаньпань представлял собой деревянную рамку с рядами натянутых проволочек, на каждой из которых располагалось по 7 косточек. Это устройство для счета появилась в Китае в XII в. Китайцы разработали сложную технику работы на суаньпань, позволяющую складывать, вычитать, умножать, делить числа и даже вычислять квадратные и кубические корни.

В Японии на основе суаньпань сконструировали соробан. Прямоугольная рамка, поделенная по горизонтали планкой, содержит от 23 до 27 вертикальных палочек, на каждую из которых нанизано по 5 косточек: одна, равная пяти, в верхней части и четыре для обозначения единиц в нижней. Благодаря такой разбивке сумма косточек на каждой палочке может составлять все числа от 0 до 9.

Соробан признан самым оптимальным и быстрым механическим счетным устройством, поскольку позволяет отображать каждое число только одним способом, что исключает путаницу при вычислениях. В Японии соробан не только активно используется в качестве учебного пособия в школах, но и популярен как вид спорта и развлечения.

Русским счетам, появившимся в допетровские времена, потребовалось 200 лет, чтобы обрести привычный нам внешний вид. Сначала русская модификация римского абака состояла из четырех полей, которые умещались в два складных ящичка. Русские счеты, основанные на десятичной системе счисления, позволяют оперировать не только целыми числами, но и четвертями, десятыми и сотыми дробными долями. Это простейшее счетное устройство использовалось российскими продавцами вплоть до конца XX века.

Не смотря на то, что сегодня для расчетов мы все чаще используем калькуляторы, быстро сосчитать что-то в уме – обязательное умение для каждого человека.

 

 

II. Практическая часть

II.1 Старинные способы быстрого счета

 

Рассмотрим, какие способы счета существовали у наших предков, которые не знали, что такое калькулятор.

1.   Русский крестьянский способ умножения – это способ позволяет умножать любые числа, умея лишь делить и умножать на 2, а также складывать числа.

Рассмотрим на примере умножения числа 19 на 17. Расчеты приведены ниже на рисунке 1.

Рисунок 1 – Русский крестьянский способ умножения

Расчет ведется в 2 столбика. Слева делим на 2, справа умножаем на 2. При этом при делении на 2 отбрасываем дробную часть. В результате в первом столбике получаем числа 19, 9, 4, 2, 1. Во втором – 17, 34, 68, 136, 272.

Следующий шаг – вычеркиваем строки, в которых слева стоят нечетные числа. Затем справа складываем невычеркнуые числа: 17 + 34 + 272 =323. Можно проверить, что действительно 17 х 19 = 323.

При этом можете убедиться, что также получается, что 17 х 19 = 323.

2.   Метод «решетки» – этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения – в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку».

В качестве примера вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, – по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально – число 73 (рисунок 2).

Рисунок 2 – Метод «решетки»

Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах.

При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608.

Получаемый ответ является верным, потому что в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

3.   Палочки Непера – прибор, изобретенный Джоном Непером, шотландским бароном и любителем математики.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней – число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению. Пример прибора представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Палочки Непера

Палочки Непера применялись и для более сложных операций – деления и извлечения квадратного корня.

Можно сказать, что для того, чтобы освоить вычисление, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. А вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

II.2 Приемы удобного сложения и вычитания

 

Существуют приемы устного счета – простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма.

1)  прибавляем числа 7,8,9: для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д. Примеры:

56 + 7 = 56 + 10 – 3 = 63; 47 + 8 = 47 + 10 – 2 = 55; 73 + 9 = 73 + 10 – 1 = 82.

2)  быстро складываем двузначные числа: если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку». Примеры:

54 + 39 = 54 + 40 – 1 = 93; 26 + 38 = 26 + 40 – 2 = 64.

3)  если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем – единицы. Пример:

57 + 32 = 57 + 30 + 2 = 89.

4)  если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3. Пример:

32 + 57 = 32 + 60 – 3 = 89.

5)  складываем в уме трехзначные числа: чтобы быстро сложить в уме трехзначные числа, надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать. Примеры:

249 + 533 = (200 + 500) + (40 + 30) + (9 + 3) = 782.

6)  особенности вычитания: приведение к круглым числам: вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика. Примеры:

67 – 9 = 67 – 10 + 1 = 58; 576 – 88 = 576 – 100 + 12 = 488.

7)  вычитаем в уме трехзначные числа: если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы. Пример:

843 – 596 = 843 – 500 – 90 – 6 = 343 – 90 – 6 = 253 – 6 = 247.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.3 Приемы удобного умножения и деления

 

Рассмотрим простые способы облегчить себе умножение:

1)  умножение на 1,5: чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например:

24 х 1,5 = 24 + 12 = 36; 129 х 1,5 = 129 + 64,5 = 193,5;

2)  умножение и деление на 4: чтобы число умножить на 4 его дважды удваивают. Например:

213 х 4 = (213 х 4) х 2 = 426 х 2 = 852.

В свою очередь, чтобы число разделить на 4, его дважды делят на два. Например:

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 31;

3)  умножение и деление на 5, 50, 500…

Чтобы число умножить на 5, 50, 500, нужно умножить его на 10, 100, 1 000 и разделить на 2. Например:

138 х 5 = (138 х 10) : 2 = 1 380 : 2 = 690.

Чтобы разделить число на 5, 50, 500, нужно разделить его на 10, 100, 1 000 и умножить на 2. Например:

10 800 : 50 = 10 800 : 100 х 2 = 216;

4)  умножение на 9: чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например:

241 х 9 = 2 410 – 241 = 2 169.

Также существует еще один способ: чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, нужно посмотреть на руки. Следует загнуть палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

5)  умножение чисел от 10 до 20: чтобы проще было умножать такие числа, нужно к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например:

16 х 18= (16 + 8) х 10 + 6 х 8 = 288;

17 х 17 = (17 + 7) х 10 + 7 х 7 = 289;

6)  умножение на 11: чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 х 11 = 470 + 47 = 517;

241 х 11 = 2 410 + 241 = 2 651.

Чтобы двузначное число умножить на 11, сумма цифр которого не превышает 10, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Например:

72 х 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 х 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Например:

94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1 034;

73 х 11 = 7 (7 + 3) 3 = 7 (10) 3 = (7 + 1) 03 = 803;

7)  умножение на 22, 33, ..., 99: чтобы двузначное число умножить на эти числа, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, (например, 44 = 4 х 11). Затем произведение первых чисел умножить на 11. Примеры:

24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528;

23 х 33 = 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759.

8)  умножение и деление на 25, 250, 2 500…

Чтобы число умножить на 25, 250, 2 500, нужно умножить его на 100, 1 000, 10 000, и полученный результат разделить на 4 (на 4 делятся только те числа, у которых две последние цифры представляют собой число, делящееся на 4). Например:

124 х 25 = 124 : 4 х 100 = 3 100;

1 716 х 25 = 1 716 ; 4 х 100 = 42 900;

Чтобы выполнить деление числа на 25, 250, 2 500 и т.д. это число надо разделить на 100, 1 000, 10 000 и т.д. и умножить на 4. Например:

31 200 : 25 = 31 200 : 100 х 4 = 1 248.

9)  умножение двухзначного числа на 111: чтобы умножить любое двузначное число на 111, необходимо мысленно раздвинуть цифры первого сомножителя, предварительно найдя сумму его цифр, и два раза вставить полученную сумму.

Например, умножим 42 на 111. Сумма цифр 4 + 2 = 6. Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя 4 …. 2 и получаем:

4 … 2 = 4 662, повторяем еще раз и получаем:

10)  умножение и деление на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число умножить на 125, 1 250, 12 500 и т.д., надо это число разделить на 8 и умножить на 1 000. На 8 делятся только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8. Например:

32 х 125 = 32 : 8 х 1 000 = 4 000;

3 168 х 125 = 3 168 : 8 х 1 000 = 396 000.

Чтобы число разделить на 125, 1 250, 12 500 и т.д., надо это число разделить на 1 000 и умножить на 8. Например:

4 000 : 125 = 4 000 : 1 000 х 8 = 32;

9 000 : 125 = 9 000 : 1 000 х 8 = 72;

Любой человек может умножать, делить и производить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами – достаточно использовать простые приемы, созданные математиками.

 

 

 

 

 

 

Результаты анкетирования одноклассников

 

Для того, чтобы установить, знают ли мои одноклассники о приемах быстрого счета, мною было проведено анкетирование класса. В анкету, которая представлена в приложении А, были включены 3 вопроса.

Проанализируем ответы, которые дали одноклассники.

На рисунке 4 представлены ответы на вопрос «Как часто тебе приходится считать в уме?».

 

 

 

Рисунок 4 – Ответы на вопрос «Как часто тебе приходится считать в уме?»

Как видно из представленных на диаграмме данных, большая часть одноклассников использует счет в уме каждый день, при этом 36% – не менее 1 раза в день, а 29% – 2-3 раза в день. Можно сделать вывод, что большинству одноклассников необходимы навыки быстрого счета.

На рисунке 5 представлено распределение собственных навыков устного счета одноклассников по их мнению.

Рисунок 5 – Распределение собственных навыков устного счета одноклассников по их мнению

Можно сделать вывод, что для 70% опрошенных одноклассников устный счет дается легко, они не испытывают существенных трудностей с ним. Но для 30% устный счет сложен, возникают проблемы.

На рисунке 6 представлено распределение ответов одноклассников на вопрос «Известны ли тебе какие-то лайфхаки для того, чтобы облегчить устный счет?»

Рисунок 6 – Ответы на вопрос «Известны ли тебе какие-то лайфхаки для того, чтобы облегчить устный счет?»

Можно сделать вывод, что большая часть одноклассников не знают лайфахаков, только 3% ответили, что знают, и написали лайфхаки, связанные с умножением числа на 10, на 4, на 50.

Проведенное анкетирование показало, что одноклассники не знакомы с приемами быстрого счета, лайфхаками для счета в уме без калькулятора. Однако большая часть уверена, что у них нет сложностей с устным счетом, причем он используется часто. Благодаря проведению этого анкетирования было получено представление об уровне знаний, и на этом основании собраны наиболее полезные лайфхаки, которые существенно облегчат счет в уме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Не смотря на то, что математика является сложным предметом, и все мы трудимся, решая задачи и стараясь понять их смысл, она нужна. Без математики и арифметики, без чисел и их счета, без сложения и вычитания, умножения и деления невозможно представить наш мир.

Работа над проектом показала, что и в такой непростой науке, как математика, есть уловки, зная которые, можно легко и быстро считать даже самые трудные примеры.

По итогам информации, которая была найдена в ходе работы над проектом, можно сделать следующие выводы.

Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» – упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Конечно, посчитать пример на калькуляторе – просто, но не всегда можно это сделать. Например, когда едешь в автобусе, и кондуктор сдает сдачу, когда сдают сдачу в магазине – странно будет доставать калькулятор. Поэтому и нужен устный счет.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.   1001 задача для умственного счета в школе С.А. Рачинского / под ред. С. Цыганкова. – М.: Белый город, 2017. – 144 с.

2.   Бенджамин, А. Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы / А. Бенджамин, М. Шермер. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2015. – 320 с.

3.   Кессельман, В.С. Удивительная история математики / В.С. Кессельман. – М.: ЭНАС-КНИГА, 2013. – 187 с.

4.   Перельман, Я.И. Занимательная энциклопедия эрудита. Что? Зачем? Почему? Занимательная физика, механика, астрономия, математика, природа / Я.И. Перельман. – М.: АСТ, 2015. – 240 с.

5.   Приемы, облегчающие устный счет и запоминание таблицы умножения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.calculator888.ru/blog/matematika/ustnyi-schet.html

6.   Решетчатое умножение [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.nkj.ru/archive/articles/19204/

7.   Русский способ умножения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://habr.com/sandbox/32380/

8.   Устный счет: техника быстрого счета в уме [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://myintelligentkids.com/ustnyj-schet-texnika-bystrogo-scheta-v-ume

9.   Шалаева, Г.П. Занимательная математика / Г.П. Шалаева. – М.: АСТ, 2009. – 160 с.

 

 

 

 

 

Приложение. Анкета для одноклассников

Скачано с www.znanio.ru