Нестандартные задачи для 5, 6 классов

Задачи для 5­6 классов Тема 2. Делимость и остатки  Задача 1. В стоклеточной таблице натуральных чисел закрасьте числа:         А) делящиеся на 3;     Б) делящиеся на 5;     В) делящиеся на 6. Задание 2. Рассмотрите следующие числа, если они не  простые, то назовите их делители: А) номер вашей школы; Б) номер вашего федерального округа (на гос. номерах автомобилей); В) год текущий и новый год;   Г) год твоего рождения; Д) год первого полета человека в космос.  Задача   3.    Три   поросенка   собирают   новогодние   подарки   для   детей.   У   Ниф­Нифа   есть   42 шоколадных  зайца, у Наф­Нафа – 63 апельсина, а у Нуф­Нуфа – 105 карамелек. Какое наибольшее число подарков они могут сделать, разложив все свои вкусности поровну в каждый подарок? Задача 4.  Кощей «чахнет над своим златом». Он достал сундук с монетами и решил разложить их поровну в несколько мешков, чтобы  спрятать в разных местах.  Когда он попытался разложить в 5 мешков, осталось 3 лишних монеты; когда в 9 мешков ­ 4 лишних монеты, и всегда в мешках было меньше 13 монет и больше 1 монеты. Подскажите Кощею, в какое количество мешков он может разложить поровну свои монеты, пока он совсем не зачах. Задача   5.  Мальвина   умножила   сумму   двух   чисел   на   их   произведение.   Какое   число   получила Мальвина: четное или нечетное? Задача 6. Незнайка умеет откладывать углы в 19o . Как ему отложить угол в 1o? Задача 7. Докажите, что полусумма любых двух последовательных нечетных чисел, не равных 1, составное число. Задача 8.  Докажите, что  авс  ­  сва  делится на 9. (a, b и c ­ цифры, а  авс  и  сва  ­ числа,  записываемые этими тремя цифрами). 1Домашнее задание для 5­6 классов Тема 2. Делимость и остатки Ответы и решения 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Задача 1.  А) делящиеся на 3      3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 Б) делящиеся на 5   1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92  В) делящиеся на 6 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 Задание 2. Рассмотрите следующие числа, если они не  простые, то назовите их делители: А) номер вашей школы; Б) номер вашего федерального округа (на гос. номерах автомобилей); В) год текущий и новый год: 2010 – составное, т.к. четное; 2011 – простое.  Г) год твоего рождения – см. таблицу. Д) год первого полета человека в космос: 1961 – составное, 37 ∙ 53 = 1961.  Приводим часть таблицы простых чисел: 1879 1933 1993 1889 1949 1997 1901 1951 1999 1907 1973 2003 1913 1979 2011 1931 1987 2017 Задача 3.   2Решение. Для решения достаточно найти НОД(42, 63, 105). Разложим эти числа на произведение простых множителей: 42 = 237; 63 = 337;   105 = 357.   НОД(42,63,105)= 37 =21. Значит, они могут сделать 21 подарок. Ответ: 21 подарок. Задача 4.   Решение.  Найдем число всех монет. Это число при делении на 5 дает в остатке 3,   а при делении на 9 – 4. Кроме того, это число меньше, чем 68 (513+3) и больше, чем 13 (91+4). Найдем все числа, которые меньше 68, больше 13, и  имеют вид 9х+4: 22, 31, 40, 49, 58, 67. Из них при делении на 5 дает в остатке 3 только число 58. Делителями числа 58 являются 1, 2, 29, 58. Тогда разложить поровну можно в 58 мешков (по 1 монете), в 29 мешков (по 2 монеты) или в 2 мешка (по 29 монет). Случай, когда все 58 монет ­ в один мешок не подходит, так как Кощей хотел разложить в несколько мешков. Ответ: 2 мешка, 29 мешков и 58 мешков. Задача 5. Решение.  Пусть одно число –  х,  а второе  у. Получаем выражение А = (х  +  у)ху. Возможно 4 случая:  1) х и у – четные, тогда значение выражения А   ­ четное;    2) х и у – нечетные, тогда сумма (х + у) – четная и, значит,  значение выражения А   ­ четное;      3) х – четное, а у – нечетное, тогда значение выражения А  снова четное; 4) х – нечетное, а у – четное, и в этом случае значение выражения А четное. Ответ: Четное число. Задача 6.  Решение. Если разделить 360 на 19, то получим 18 и в остатке 18. Значит, если Незнайка отложит, начиная от одной точки по кругу 19 раз подряд углы по 19o  , то получим угол в 361o, что на 1o больше полного оборота.  Задача 7.  Решение.  Составим   выражение   для   нахождения     полусуммы   любых   двух   последовательных нечетных чисел:  ((2n+1) + (2n+3))/2 = (4n+4)/2 =2n + 2, то есть, получаем обязательно четное число и не равное 2 (т.к. 2n+1 не равно 1), то есть, составное. Задача 8.   Решение  авс   = a100 +b10 +c,   сва  = c100+b10+a.   авс  ­  сва  = (a100 +b10 +c) ­ (c100+b10 +a) = 99а ­99с = 99 (а­ с) = 911(а­с), то есть, всегда  делится на 9. 3