Нестандартные задачи для 5, 6 классов

Задачи для 5­6 классов Тема 2. Делимость и остатки  Задача 1. В стоклеточной таблице натуральных чисел закрасьте числа:         А) делящиеся на 3;     Б) делящиеся на 5;     В) делящиеся на 6. Задание 2. Рассмотрите следующие числа, если они не  простые, то назовите их делители: А) номер вашей школы; Б) номер вашего федерального округа (на гос. номерах автомобилей); В) год текущий и новый год;   Г) год твоего рождения; Д) год первого полета человека в космос.  Задача   3.    Три   поросенка   собирают   новогодние   подарки   для   детей.   У   Ниф­Нифа   есть   42 шоколадных  зайца, у Наф­Нафа – 63 апельсина, а у Нуф­Нуфа – 105 карамелек. Какое наибольшее число подарков они могут сделать, разложив все свои вкусности поровну в каждый подарок? Задача 4.  Кощей «чахнет над своим златом». Он достал сундук с монетами и решил разложить их поровну в несколько мешков, чтобы  спрятать в разных местах.  Когда он попытался разложить в 5 мешков, осталось 3 лишних монеты; когда в 9 мешков ­ 4 лишних монеты, и всегда в мешках было меньше 13 монет и больше 1 монеты. Подскажите Кощею, в какое количество мешков он может разложить поровну свои монеты, пока он совсем не зачах. Задача   5.  Мальвина   умножила   сумму   двух   чисел   на   их   произведение.   Какое   число   получила Мальвина: четное или нечетное? Задача 6. Незнайка умеет откладывать углы в 19o . Как ему отложить угол в 1o? Задача 7. Докажите, что полусумма любых двух последовательных нечетных чисел, не равных 1, составное число. Задача 8.  Докажите, что  авс  ­  сва  делится на 9. (a, b и c ­ цифры, а  авс  и  сва  ­ числа,  записываемые этими тремя цифрами). 1 Домашнее задание для 5­6 классов Тема 2. Делимость и остатки Ответы и решения 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Задача 1.  А) делящиеся на 3      3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 Б) делящиеся на 5   1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92  В) делящиеся на 6 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 Задание 2. Рассмотрите следующие числа, если они не  простые, то назовите их делители: А) номер вашей школы; Б) номер вашего федерального округа (на гос. номерах автомобилей); В) год текущий и новый год: 2010 – составное, т.к. четное; 2011 – простое.  Г) год твоего рождения – см. таблицу. Д) год первого полета человека в космос: 1961 – составное, 37 ∙ 53 = 1961.  Приводим часть таблицы простых чисел: 1879 1933 1993 1889 1949 1997 1901 1951 1999 1907 1973 2003 1913 1979 2011 1931 1987 2017 Задача 3.   2 Решение. Для решения достаточно найти НОД(42, 63, 105). Разложим эти числа на произведение простых множителей: 42 = 237; 63 = 337;   105 = 357.   НОД(42,63,105)= 37 =21. Значит, они могут сделать 21 подарок. Ответ: 21 подарок. Задача 4.   Решение.  Найдем число всех монет. Это число при делении на 5 дает в остатке 3,   а при делении на 9 – 4. Кроме того, это число меньше, чем 68 (513+3) и больше, чем 13 (91+4). Найдем все числа, которые меньше 68, больше 13, и  имеют вид 9х+4: 22, 31, 40, 49, 58, 67. Из них при делении на 5 дает в остатке 3 только число 58. Делителями числа 58 являются 1, 2, 29, 58. Тогда разложить поровну можно в 58 мешков (по 1 монете), в 29 мешков (по 2 монеты) или в 2 мешка (по 29 монет). Случай, когда все 58 монет ­ в один мешок не подходит, так как Кощей хотел разложить в несколько мешков. Ответ: 2 мешка, 29 мешков и 58 мешков. Задача 5. Решение.  Пусть одно число –  х,  а второе  у. Получаем выражение А = (х  +  у)ху. Возможно 4 случая:  1) х и у – четные, тогда значение выражения А   ­ четное;    2) х и у – нечетные, тогда сумма (х + у) – четная и, значит,  значение выражения А   ­ четное;      3) х – четное, а у – нечетное, тогда значение выражения А  снова четное; 4) х – нечетное, а у – четное, и в этом случае значение выражения А четное. Ответ: Четное число. Задача 6.  Решение. Если разделить 360 на 19, то получим 18 и в остатке 18. Значит, если Незнайка отложит, начиная от одной точки по кругу 19 раз подряд углы по 19o  , то получим угол в 361o, что на 1o больше полного оборота.  Задача 7.  Решение.  Составим   выражение   для   нахождения     полусуммы   любых   двух   последовательных нечетных чисел:  ((2n+1) + (2n+3))/2 = (4n+4)/2 =2n + 2, то есть, получаем обязательно четное число и не равное 2 (т.к. 2n+1 не равно 1), то есть, составное. Задача 8.   Решение  авс   = a100 +b10 +c,   сва  = c100+b10+a.   авс  ­  сва  = (a100 +b10 +c) ­ (c100+b10 +a) = 99а ­99с = 99 (а­ с) = 911(а­с), то есть, всегда  делится на 9. 3