О некоторых методах решения геометрических задач на экстремумы

Содержание

1. Введение
2. Основные понятия.
3. Получить результат без производной.
4. Поиск эффективных методов
5. Заключение.
6. Литература
7. Приложения

1.Введение

Тема исследования: геометрические задачи на отыскание минимума и максимума. Объект и предмет исследования: неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трёх положительных величин. Рассматриваемая проблема: нахождение наибольших и наименьших значений объёмов тел с использованием свойств тригонометрических функций и неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим трёх положительных элементов. Результаты: решены геометрические задачи на максимум и минимум более эффективным и коротким путём по сравнению с традиционным с помощью нахождения производной функции. Новизна темы: проанализирован метод решения геометрических задач на минимум и максимум с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим трёх положительных величин. Актуальность темы: задачи на экстремум часто возникают в повседневной жизни, в технике, экономике, естествознании.

2.Основные понятия

Решение задачи № 3

Задача № 2 (продолжение)

Задача № 3 (продолжение)

При решении геометрических задач на экстремум независимую переменную часто можно выбрать разными способами. Но желательно это сделать так, чтобы более коротким путём получить выражение искомой функции, и чтобы это выражение было по возможности более простым. Иногда в качестве независимого переменного удобно взять величину некоторого угла и для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции пользоваться тригонометрическими формулами.

Задача № 5 (продолжение)

Задача № 6 (продолжение)

Задача № 6 (продолжение)

Задача № 7 (продолжение)

Задача № 7 (продолжение)

Задача № 8 (продолжение)

Задача № 8 (продолжение)

Выводы

Здесь метод, использующий неравенство (1), быстрее приводит к нахождению экстремума функции, чем метод, использующий производную.
Решив вышеперечисленные задачи, можно сделать вывод о том, что порою нахождение экстремума функции с помощью производной – это достаточно трудоёмкий и долгий процесс. Очевидно, что в некоторых геометрических задач на нахождение максимума и минимума гораздо эффективнее использовать другие методы, в частности методы, использующие неравенство (1) и свойства функций. Мы временами можем прийти к цели более быстрым и коротким путём, избегая дифференциальное исчисление. А порою решение одной и той же задачи несколькими способами позволяет проверить полученный результат.

Таким образом, мы увидели, что при решении различных задач приходится применять различные, подходящие для каждой задачи методы. В одних случаях быстрое и эффективное решение достигается с помощью дифференциального исчисления, в других случаях быстро и наглядно можно получить искомый результат с помощью известных свойств функции, а часто самый короткий и эффективный путь лежит через использование классических неравенств. В работе приведены решения примеров, демонстрирующих все эти подходы. Сравнение и анализ этих подходов показывает, что при решении этих и других задач на экстремумы следуетдержать в голове все эти методы и использовать в подходящих ситуациях. Зачастую заранее невозможно определить, какой из них будет лучшим, конкретизировать, в какой задаче подход более эффективен. Представленный в работе материал интересен и полезен для практического применения. Результаты этой исследовательской работы могут использоваться как справочный материал школьниками при решении задач. Естественно, что любая удобная для практического использования формула или подход даёт хороший опыт работы с заданиями творческого характера, и это интересно.

6. Литература