Об одном функциональном уравнений
Оценка 4.9

Об одном функциональном уравнений

Оценка 4.9
Исследовательские работы
doc
математика
Взрослым
12.06.2019
Об одном функциональном уравнений
Аннотация. В данной статье рассмотрено одно функциональное уравнение и показано как это уравнение может быть применено к теории распределения случайных событий. Показано решение и алгоритм, рассмотрены несколько примеров и пути их решения Ключевые слова: схема Бернулли, тождество, формула Бернулли, вероятность, событие.
статья.doc
Об одном функциональном уравнений Куттыбаева Торгын Жанатбековна  преподаватель колледжа экономики,  бизнеса  и права КЭУК Аннотация. В данной статье рассмотрено одно функциональное уравнение и показано как это уравнение может быть применено к теории распределения случайных событий. Ключевые слова: схема Бернулли, тождество, формула Бернулли, вероятность, событие. I. Одна из распространенных вероятностных моделей – это схема Бернулли. Под схемой Бернулли понимают конечную серию  n  повторных независимых испытаний с двумя исходами. , а не появления Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают   (неудачи) его  Бернулли установил, что вероятность ровно  m  успехов в серии из  n  повторных независимых испытаний APp   . 1 p  Bp q     вычисляется по следующей формуле:    CmP n  p m n m  q .mn Пример 1. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того что в партии из  десяти  выпущенных  на данном  станке  деталей  ровно   k   будет  без  брака.   Решить  задачу  для .10,1,0k Решение: По условию, нас интересует событие  A  выпуска изделий без брака, которое случается каждый  Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет  k раз с вероятностью  раз. Событию  A  противопоставляются событие «не  A », т.е. выпуск бракованного изделия. p 2,01 .8,0  Таким образом, имеем:  n  ;10 p  ;8,0 q  .2,0 Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные  0k , что только одна деталь без брака  1k , и что бракованных деталей нет вообще    0 P 10   1 P 10  qpC 0 10 0 10   91 qpC 1 10   10  P 10  qpC 10 10 10 0 : 0  10k !10  2,08,0  !10!0 !10  2,08,0  !9!1   8,0  !10  !0!10 10 9 1 10  10 7 ,  104 6 ,  2,0 0  .1,0 Пример 2. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: 1. герб выпадет три раза; 2. герб выпадет один раз; 3. герб выпадет не менее двух раз. Решение:  Итак,   нас   интересует   событие   A ,   когда   выпадет   герб.   Вероятность   этого   события   равна   Событию   A   противопоставляется   событие  «не   A »,   когда  выпадает   решка,   что   случается  с q 5,01  .5,0  Нужно определить вероятность того, что герб выпадет  k  раз. .5,0p вероятностью  Таким образом, имеем: ;5,0 Определим, вероятность того, что герб выпал три раза, т.е.  !6  !3!3 qpC  3 P 6   ;6 p n 3 6  3 3    .5,0 q :3k   3 5,05,0 3 Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е.    1 P 6  51 qpC 1 6   5 5,05,0  1 !6  !5!1  5 . 16 :1k 3  . 32 Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Получается, что нас устроит любое  k , кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы:  P 6 P 6  X 2     3  ... P 6  .6 Заметим, что эта сумма также равна: т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз ( вообще ( 1k )  или не выпал 0k Поскольку  ).   16P  нам уже известно, осталось найти  1    0  P 6  ,1 P 6   0 P 6  qpC 0 0 6 6  X  1   0  P 6 P 6   :06P !6  5,05,0  !6!0   1  1   0 1 64 3 32 6  , 1 64 57  64 . Далее рассмотрим одну вероятностную функцию.   xfRx  x     2 , f  x 3 . .1  3  xf II. Пусть  Тогда имеет место функциональное уравнение:   1 x 1) Доказательство:    x 131 x 3  .   f sin 1     f sin sin3      sin f 1 .   k 1 a x 3  sin sin63     af  13  3) 2) x      f f 2 2 2 k    sin3 1   sin3  631 x  3 x 2  33 x  31 x 2  3 x  .1 2   sin33   sin31 2   sin3   .1  af  1 f k  k 2    3 a   k a 3 a k 63 a k   1 3 a 2 k  33 a k  31 a 2 k  k 3 a  .1 Далее, покажем, что: 3 x  xf     1  1 f x  3  x   2 2 3 3 x x   3 3 x x   1 1  .1 Доказательство: Представим это уравнение в виде:  x  13  1  2  13 x      1 3 3 x x x  2 3 3  2 2 3 3 x x   3 3 x x   1 1  1   x  1                                     (1) Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства. Имеем, 3 2 x    Приведем подобные слагаемые и видим, что знаменатели стали одинаковыми: x 3 x 3   3 x x  2 33 x 31 x  3 31 x 2 x 3 x 3 3 x x 1 63   x    3 3 3 3  x x x x x          1 3 3 1 1 3 3 x x x x x   2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 x x   1 1  1   1 1  1 Далее, складываем их, и получаем, что левая часть стала такой же как и правая часть: 2 2 3 3 x x   3 3 x x   1 1  2 2 3 3 x x   3 3 x x   1 1  ,1 что и требовалось доказать. Функциональное уравнение (1) может быть применено к теории распределения случайных событий.  Именно, рассмотрим следующую задачу. Задача. В прямоугольник со сторонами   a прямоугольник, попадет также и в малый прямоугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в прямоугольник пропорциональна площади прямоугольника и не зависит от его расположения. .   Найти   вероятность   того,   что   точка,   наудачу   брошенная   в   большой  помещен меньший прямоугольник со сторонами 1b 1b 3x a  3 2 x 1 и     и  3 x   Решение:  Вероятность   события   A   «наудачу   брошенная   точка   попала   в   малый   прямоугольник» определяется равенством:  Ap   где  , s S s  ­ площадь малого прямоугольника, S  ­ площадь большого прямоугольника, Изобразим графически (рис. 1):                                                                B                                                                 C   1 + х 3 ­ 2 х 3 S  S                                                                   N                                                    х 3                                                               A                              1                                   D     Находим: 3 3 1 2 s S  x x    3 3 x Тогда вероятность события  A  равна:   Ap   Aq   3 x x 2  13  Рис. 1 ,   311 2 x  3 x  .1 3 x  ,  x 3 1    1 x   2  13 3 x .   x  1 1 qp  xf   3 x 2  3 x   13  1 1 q x  f 2  x   13   x  .1 1 Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах. – М.: Наука, 2007.­350 с. 2 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974.­120 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Об одном функциональном уравнений

Об одном функциональном уравнений

Об одном функциональном уравнений

Об одном функциональном уравнений

Об одном функциональном уравнений

Об одном функциональном уравнений
Скачать файл