Аннотация. В данной статье рассмотрено одно функциональное уравнение и показано как это уравнение может быть применено к теории распределения случайных событий. Показано решение и алгоритм, рассмотрены несколько примеров и пути их решения
Ключевые слова: схема Бернулли, тождество, формула Бернулли, вероятность, событие.
статья.doc
Об одном функциональном уравнений
Куттыбаева Торгын Жанатбековна преподаватель колледжа экономики,
бизнеса и права КЭУК
Аннотация. В данной статье рассмотрено одно функциональное уравнение и показано как это уравнение
может быть применено к теории распределения случайных событий.
Ключевые слова: схема Бернулли, тождество, формула Бернулли, вероятность, событие.
I. Одна из распространенных вероятностных моделей – это схема Бернулли.
Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами.
, а не появления
Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают
(неудачи) его
Бернулли установил, что вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний
APp
.
1 p
Bp
q
вычисляется по следующей формуле:
CmP
n
p
m
n
m
q
.mn
Пример 1. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того что
в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будет без брака. Решить задачу для
.10,1,0k
Решение: По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый
Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k
раз с вероятностью
раз. Событию A противопоставляются событие «не A », т.е. выпуск бракованного изделия.
p
2,01
.8,0
Таким образом, имеем:
n
;10
p
;8,0
q
.2,0
Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные
0k
, что только одна деталь без
брака
1k
, и что бракованных деталей нет вообще
0
P
10
1
P
10
qpC
0
10
0
10
91
qpC
1
10
10
P
10
qpC
10
10
10
0
:
0
10k
!10
2,08,0
!10!0
!10
2,08,0
!9!1
8,0
!10
!0!10
10
9
1
10
10
7
,
104
6
,
2,0
0
.1,0
Пример 2. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:
1. герб выпадет три раза;
2. герб выпадет один раз;
3. герб выпадет не менее двух раз.
Решение: Итак, нас интересует событие A , когда выпадет герб. Вероятность этого события равна
Событию A противопоставляется событие «не A », когда выпадает решка, что случается с
q
5,01
.5,0
Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.
.5,0p
вероятностью
Таким образом, имеем:
;5,0
Определим, вероятность того, что герб выпал три раза, т.е.
!6
!3!3
qpC
3
P
6
;6
p
n
3
6
3
3
.5,0
q
:3k
3
5,05,0
3
Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е.
1
P
6
51
qpC
1
6
5
5,05,0
1
!6
!5!1
5
.
16
:1k
3
.
32
Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Получается, что нас устроит
любое k , кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы:
P
6
P
6
X
2
3
...
P
6
.6
Заметим, что эта сумма также равна: т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (
вообще (
1k
) или не выпал
0k
Поскольку
).
16P
нам уже известно, осталось найти
1
0
P
6
,1
P
6
0
P
6
qpC
0
0
6
6
X
1
0
P
6
P
6
:06P
!6
5,05,0
!6!0
1
1
0
1
64
3
32
6
,
1
64
57
64
.
Далее рассмотрим одну вероятностную функцию.
xfRx
x
2
,
f
x
3
.
.1
3
xf
II.
Пусть
Тогда имеет место функциональное уравнение:
1 x
1)
Доказательство:
x
131
x
3
.
f
sin
1
f
sin
sin3
sin
f
1
.
k
1
a
x
3
sin
sin63
af
13
3)
2)
x
f
f
2
2
2
k
sin3
1
sin3
631
x
3
x
2
33
x
31
x
2
3
x
.1
2
sin33
sin31
2
sin3
.1
af
1
f
k
k
2
3
a
k
a
3
a
k
63
a
k
1
3
a
2
k
33
a
k
31
a
2
k
k
3
a
.1
Далее, покажем, что:
3
x
xf
1
1
f
x
3
x
2
2
3
3
x
x
3
3
x
x
1
1
.1
Доказательство: Представим это уравнение в виде:
x
13
1
2
13
x
1
3
3
x
x
x
2
3
3
2
2
3
3
x
x
3
3
x
x
1
1
1
x
1
(1)
Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.
Имеем,
3
2
x
Приведем подобные слагаемые и видим, что знаменатели стали одинаковыми:
x
3
x
3
3
x
x
2
33
x
31
x
3
31
x
2
x
3
x
3
3
x
x
1
63
x
3
3
3
3
x
x
x
x
x
1
3
3
1
1
3
3
x
x
x
x
x
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
3
3
x
x
1
1
1
1
1
1
Далее, складываем их, и получаем, что левая часть стала такой же как и правая часть:
2
2
3
3
x
x
3
3
x
x
1
1
2
2
3
3
x
x
3
3
x
x
1
1
,1
что и требовалось доказать.
Функциональное уравнение (1) может быть применено к теории распределения случайных событий.
Именно, рассмотрим следующую задачу.
Задача. В прямоугольник со сторонами
a
прямоугольник, попадет также и в малый прямоугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в
прямоугольник пропорциональна площади прямоугольника и не зависит от его расположения.
. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой
помещен меньший прямоугольник со сторонами
1b
1b
3x
a
3 2
x
1
и
и
3
x
Решение: Вероятность события A «наудачу брошенная точка попала в малый прямоугольник»
определяется равенством:
Ap где
,
s
S
s площадь малого прямоугольника,
S площадь большого прямоугольника,
Изобразим графически (рис. 1):
B C
1
+
х
3
2
х
3
S S N
х
3
A 1 D
Находим:
3
3
1
2
s
S
x
x
3
3
x
Тогда вероятность события A равна:
Ap
Aq
3
x
x
2
13
Рис. 1
,
311
2
x
3
x
.1
3
x
,
x
3
1
1
x
2
13
3
x
.
x
1
1 qp
xf
3
x
2
3
x
13
1
1
q
x
f
2
x
13
x
.1
1 Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах. – М.: Наука, 2007.350 с.
2 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974.120 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Об одном функциональном уравнений
Об одном функциональном уравнений
Об одном функциональном уравнений
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
12.06.2019
Посмотрите также:
- 📁 логика
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
