Обеспечение качества естественно-математического образования. Игры и инварианты

Обеспечение качества естественно-математического образования

Дыбка Людмила Владимировна, учитель математики

МБОУ «Лицей №12 города Донецка»

ИГРЫ И ИНВАРИАНТЫ

Аннотация. В статье рассматривается один из способов формирования компетентностей обучающихся, основанный на развитии логического мышления, умении логически рассуждать, ориентироваться в необычных ситуациях, предвидеть и действовать – решение игровых задач.

Ключевые слова: игры, инварианты, выигрышная стратегия.

Актуальность статьи: В условиях реформирования системы образования одной из главных проблем естественно-математического школьного образования являются затруднения, которые испытывают многие обучающиеся, когда полученные знания надо применить на практике, в жизненных ситуациях, говоря современным языком, проявить соответствующие компетентности.

         Одним из способов формирования необходимых компетентностей, является рассмотрение игровых задач или задач-стратегий. Именно такие задачи помогают находить выход из затруднительных положений, с которыми человек часто встречается в повседневной жизни. Ведь чаще всего игровые задачи решаются не с помощью формул, а путем логических рассуждений. То есть такие задачи проверяют не знания, а умение логически рассуждать, ориентироваться в необычных ситуациях, предвидеть и действовать.

Как известно, практически ни одна математическая олимпиада не обходится без игровых задач. Многие учителя недооценивают роль игровых задач и не уделяют таким задачам особого внимания.

Данная статья на тему игр, причем о тех, победа в которых основывается не на ошибках противника (или противников), а обеспечивается выигрышной стратегией. Выигрышная стратегия - последовательность ходов, гарантирующих выигрыш, в свою очередь базируется на инварианте, - факте, который среди непрерывно меняющихся в ходе игры факторов, сам остается неизменным. Умение найти инвариант, а вместе с тем и выигрышную стратегию, как раз и характеризует мастерство игрока. Но инвариант (или выигрышная стратегия) может просто и не быть.

Цель статьи: Рассмотрение решений игровых задач, основанных на инвариантах.

Множество инвариантов разнообразно и бесконечно. Рассмотрим первый из инвариантов - четность.

Задача №1.

В королевстве 1001 город король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

Решение:

Подсчитаем количество дорог, которые необходимо проложить в королевстве. Из каждого города должно выходить 7 дорог. Но при этом каждую дорогу мы посчитаем дважды, т.е. на самом деле в королевстве

должно быть проложено  дорог. Чего сделать, очевидно, не удастся.

Ответ: не смогут. [1, с. 124]

Мы видим, что инструментом решения стал инвариант- четность. Но четность - делимость на два - есть частный случай делимости. Т.е. инвариантами могут быть делимость на любое число, а также остатки от деления на любое число.

Приведем пример задачи, решение которой основывается на инварианте делимости на 3.

Задача №2.

Дети, построенные парами, выходят из леса, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов.

Решение:

Заметим, что число орехов у каждой пары детей делится на 3, но 1000 на 3 делится.

Ответ: не могло. [1, с. 139].

Приведем задачу, решение которой основано на другом инварианте.

Задача №3.

Имеется кучка, состоящая из 100 конфет. Двое играют в такую игру, ходят по очереди, и каждый за свой ход берет из кучи не более пяти конфет. Проиграет тот, кому брать нечего. Кто выигрывает при правильной игре и как надо играть, чтобы выиграть?

Решение:

Заметим, что первый игрок всегда может сделать так, что за каждый суммарный ход оба игрока вместе возьмут из кучи ровно 6 конфет.

Исходя из этого инварианта, выигрышная стратегия первого игрока будет такой.

Своим первым ходом первый игрок забирает из кучи четыре конфеты. Затем, с каждым своим ходом он берет ровно столько конфет, чтобы вместе с конфетами противника получалось шесть конфет. (Если второй взял пять конфет, то первый одну; если второй 2,то первый взял 4 конфет, и т.д.)

Так как 96 делится на 6 без остатка, то первый игрок «замкнет» игру, и заберет последние конфеты и выиграет.

Ответ: Первый. [2, с. 76]

Во многих случаях задача легко решается, как только мы подбираем хорошую раскраску.

Задача №4.

В каждой клетке доски 7x7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки одновременно взлетают и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой он взлетел. Доказать, что найдется клетка, в которую не сядет ни один жук.

Решение.

Раскрасим доску в шахматном порядке и заметим, что для любой клетки все её соседние клетки другого цвета (см. рис.1)

Кроме того, у нас 25 черных клеток и 24 белых.

    Рис. 1

Поэтому 24 жука, взлетевшие из белых клеток, сядут на черные клетки и одна черная клетка окажется свободной. Ч.т.д. [3, с.59]

Многие задачи главным образом связанные с играми, легко решаются, если в них обнаруживается инвариант «симметрия». Приведем пример:

Задача №5.

Есть две кучи камней, в одной из которых 15 камней, а в другой 20. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение:

Выигрывает первый. Опишем его выигрышную стратегию:

Первым своим ходом первый игрок забирает из той кучи в которой 20 камней 5 камней. Таки образом, он оставляет второму игроку две одинаковые или СИММЕТРИЧНЫЕ кучки камней.

Теперь какой бы ход ни сделал второй игрок (сколько бы он ни взял из одной кучи), первый игрок повторит его ход на другой симметричной кучке или заберет столько же камней из другой кучки. Т.е. он снова оставил противнику 2 симметричные (т.е. содержащие одинаковое количество камней) кучки. Ясно, что при этом выиграет первый. В какой-то момент второй игрок заберет своим ходом из «своей» кучи все камни, первый скопирует ход противника на «своей» куче и игра закончится.

Ответ: первый. [5, с.91]

Выводы: Игровые задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Необычность ситуации, неочевидность ответа на поставленный вопрос в игровых задачах заинтриговывает нас, и мы начинаем нелегкий поиск пути, ведущего к решению задачи.

         Известный русский математик В.П. Ермаков говорил: «В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления». Это демонстрируют задачи с играми. [1, с. 10]

Список литературы:

1.     Генкин С.А., Интенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. – Киров, издательство «АСА», 1994. – 272 с.

2.     Крушевский А.В. Теория игр.– Киев: издательское объединение «Вища школа», 1977. – 216 с.

3.     Оуэн Г. Теория игр. М: Мир, 1971. – 229 с.

4.     Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики.– М.: МЦНМО, 2008. – 32 с.

5.     Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978 г. – 128 с.