Обобщение педагогического опыта по теме: Решение комбинированных уравнений ( 13 задание, профильный уровень ЕГЭ) и отбор корней принадлежащих данному промежутку

Решение  комбинированных уравнений ( 13 задание, профильный уровень ЕГЭ) и  отбор корней принадлежащих данному промежутку.  Алгебраический способ:  Арифметический способ:                 В последние годы на ЕГЭ по математике (профильный уровень) ученикам  предлагаются для решения тригонометрические, показательные, логарифмические  или  комбинированные уравнения. Эти уравнения требуется: во­первых, решить, во­вторых,  осуществить отбор корней, принадлежащих данному промежутку. При отборе корней в  процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из  следующих способов: ● непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся  ограничения; перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. ● решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и  вычисление корней; исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами. ● изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и  учетом имеющихся ограничений; изображение корней на числовой прямой с  последующим отбором и учетом имеющихся ограничений. ● отбор корней с  использованием графика  простейшей  тригонометрической функции.   Арифметический способ отбора корней. Пример 1. Найдите все корни уравнения: sin2x=cosx, принадлежащие  промежутку[−π;3 /4π ].  а) Решение:  sin2x=cosx      cos  Функционально­графический способ:  Геометрический способ:  sin2(  0 ; )1 x x cos x sin x  ,0 1 2  ;      x 1. сosx=0,    ; Znn .  2 Отбор корней произведем перебором значений целочисленного параметра и вычисления  корней: Если n=0, то  x  Если n=1, то  x  Если n=­1, то  x  Если n=­2, то  x   3 2 .   ,  2 2    3 2   ,  ;   3  4    ;  2 2   , 3 2      3 2    , .   3  4   3  4   3  4 . .  ;  ; 2. sin x = 1/2,    x =  /π 6+2 nπ   или  x = 5 /π 6+2 nπ ,n∈Z если n=­1, то  x   11 6    ,  11 6    ;   3  4 x   7 7 6 6   ,    ;   3  4 .  или если n= 0, то  если n= 1, то  x x   6 6   ,    ;   3  4 x  или   5 6 5 6   ,    ;   3  4 .   13 6 13 6   ,    ;   3  4 x или    17 6 17 6   ,    ;   3  4 . Ответ: а) x =  /π 6+2 nπ   или  x = 5 /π 6+2 nπ ,n∈Z, x  2   ; Znn  . б) ­ /π 2;  /π 2;  /π 6 Пример 2. а) Решите уравнение:            б) Найдите все его  на промежутке [­ π;π¿                        а) Решение.       Произведем отбор корней.  Из полученных серий решений выбираем только те ответы, которые   принадлежат   промежутку [­ π;π¿ .   Воспользуемся   для   этого   методом двойных неравенств, помним, что k и n — целые числа. 2)            Ответ:   а)         б)   Пример 2. а) Решите уравнение: 7 cos2х  ­  1 sin( 9π 2 +х)  ­ 6 = 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [−3π;­ /2π ] а) Решение:  Преобразуем исходное тригонометрическое уравнение, используя формулы  приведения  и периодичность функции синус. Зная, что период синуса равен 2 . 9 /2 =  4  +π     sin(9 /2 + x) = sin( /2 + x). Далее воспользуемся  формулами приведения. Поэтому уравнение принимает вид: /2. Отбрасываем 4  (2 круга). π π π π π π 7 cos2х  ­  1 cosх  ­ 6 = 0  Замена cosx = t, тогда  уравнение преобразуется в следующее: 7 t2 1 t  ­ 6 = 0  ­  Это уравнение дробно­рациональное, избавимся от знаменателя, умножив обе части  уравнения на t²  ≠0 .       6t² + t — 7 = 0 D = 169, больше нуля, значит уравнение имеет два корня:  t1= 1 и  t2= ­7/6. Делаем обратную замену: cosx = 1  и cosx = ­7/6  Решим первое уравнение:  cosx = 1, это частный случай, решение имеет следующий вид: x = 2 n, nπ ∈Z. Решим второе уравнение:  cosx = ­7/6.  Это уравнение  не имеет решений, так как  ­7/6 не принадлежит промежутку [­1;1]).  б)  Выберем корни уравнения, принадлежащие промежутку [−3π;­ /2π ],    решив  неравенство с нахождением n ∈ Z. ­3  π ⩽ 2 nπ  ⩽ ­ /2 / : 2   π π  ­1,5 ⩽ n ⩽ ­0,25.  Единственное целое решение неравенства:  n = ­1. Подставляем это значение в общий  вид решения нашего уравнения и получаем корень из заданного промежутка  x = ­ 2 .π Ответ: а) x = 2 n, n  π ∈ Z; б) ­ 2 .π Пример 3 а) Решите уравнение: (1) π . б) Указать корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [­7 /2; ­ ] а) Решение: Найдем область допустимых значений уравнения (ОДЗ): 2cos x > 0,  cos x > 0 π ОДЗ:  Введем новую переменную:    Тогда уравнение (1) примет вид: 6a2 – 11a + 4 = 0 Решим квадратное уравнение: D = 25 a1 = 4/3,    a2 = 1/2 Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения. Решим 1 уравнение: Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1. Решим 2 уравнение: Корни второго уравнения принадлежат ОДЗ. π б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [­7 /2; ­ ]      Для первого корня: π       Для второго корня: Ответ: Геометрический способ отбора корней.   Пример 3. а) Решите уравнение 3cos2x + 1 = sin( /π 2−x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−11π2;−4π]. а) 3cos2x+1 = sin( /π 2−x); Применим формулу приведения: sin( /π 2−x) = cosx, тогда  3cos2x + 1 = cosx;    3cos2x + 1− cosx = 0; Для 3cos2x применим формулу косинуса двойного угла: 3(2cos2x − 1) + 1 − cosx = 0; 6cos2x − 3 + 1 − cosx = 0;   6cos2x – cosx – 2 = 0; Пусть  t = cosx,  −1≤ t ≤ 1:   6t2 − t − 2 = 0; D = b2 − 4ac = 1− 4⋅6 (−⋅ 2) = 49; t = (1+7):12 = 2/3; t = (1−7):12 = − 0,5. При t = 2/3: cosx = 2/3; x = ± arccos(2/3) + 2 nπ , n∈Z; При t = − 0,5: cosx = − 1/2; x = ± 2 /π 3 + 2 nπ , n∈Z. б) Изобразим корни на тригонометрической окружности и произведем отбор корней на  промежутке [−11 /π 2;−4π]. Получились следующие корни: − 16 /π 3; − 14 /π 3; − 4  π – arccos (2/3)   Ответ: а) ±2 /π 3+2 nπ ; ±arccos (2/3) + 2 nπ , n∈Z б) −16 /π 3; −14 /π 3; −4  π – arccos (2/3) Пример 4. а) Решите уравнение (64sinx)cosx=8sinx б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−3 /π 2;−5 /π 2] а)  (64sinx)cosx=8sinx  Это комбинированное уравнение решим сначала как показательное. Для этого приведем всё к основанию 8, т.е. 64=82: (82sinx)cosx=8sinx; Т.к. мы привели правую и левую часть уравнения к общему основанию, то отбросим их  (основания) и воспользуемся свойством степени: (ab)n = abn 2sinxcosx=sinx; 2sinxcosx−sinx=0; Вынесем за скобки sinx:   sinx (2cosx−1)=0 Уравнение будет равно нулю, когда sinx =0, или (2cosx−1) =0. Решим первое уравнение:    sinx=0;    x= nπ ,n∈Z. Решим второе уравнение: 2cosx−1=0; 2cosx=1; cosx=1/2; x=± /π 3+2 nπ ,n∈Z. б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие  промежутку [−3π2;−5π2]. Получились следующие корни: −2π;−5 /π 3;−7 /π 3 Ответ: а)  nπ ; ± /π 3+2 nπ , n∈Z; б) −2π; −5 /π 3; −7 /π 3. Функционально­графический способ отбора корней. Пример 5. а) Решить уравнение: sinx+2sin(2x+ /π 6) = √3 sin2x +1; б) Найти его корни на промежутке [0;2π]    а) Решение: sinx+2sin(2x+ /π 6) = √3 sin2x +1; sinx+2sin2x∙cos  /π 6 + 2 cos 2x∙sin  /π 6 =  √3 sin2x +1 sinx +  √3 sin2x + cos 2x =  √3 sin2x +1 sinx +1 ­ 2sin2x = 1, sinx ­ 2sin2x = 0, sinx( 1 – sinx) = 0, sinx = 0    или                    1 – sinx = 0 х = πn, n ∈ z                         sinx  = 1                                             х =  /π 6 + 2πn, n ∈ z; х = 5 /π 6 + 2πn, n ∈ z  б) Отберем корни, принадлежащие промежутку [0;2π]  используя график  простейшей   тригонометрической функции  у = sinx Было получено три семейства, в каждом из которых бесконечно много решений.  Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим  график функции у = sinx. Наносим корни трех семейств, пометив их красным цветом.  В указанном промежутке расположены четыре корня: 0; π; 5 /π 6; 2π. Ответ: а)  nπ ;  б) 0; π; 5 /π 6; 2π. /π 6 + 2 nπ , 5 /π 6 + 2 nπ , n∈Z; Пример 7. 2sin x  sin2 x  cos x  а) Решить уравнение:        б) Найти его корни на промежутке [­2π;2π]    sin2 x  1 2 2  ;0 а) Решение: применим формулу sin2x = 2sinx∙cosх sin2 x  cos x  sin2 x  cos x  sin2 x  1 2 2  ;0 (cos x   sin2() 2 2 sin2 x  1 x  )1  ;0                cos x  sin x  2 2 , ;                     1 2 1 2 ; sin x  sin x x   ,2 Znn  ;  4  1 2 . /π 4+2 n, nπ ∈Z Х =  б) Отберем корни, принадлежащие промежутку [­2π;2π] с использованием графика   простейшей  тригонометрической функции  у = sinx. В указанном промежутке расположены два корня:  /π 4; ­7 /π 4 Ответ: а) Х =  /π 4+2 n, nπ ∈Z      б) ­7 /π 4,  /π 4                 Ученикам нужно показать все методы отбора корней, а они  сами решат какой  метод использовать при решении. Используя разные способы отбора корней, они смогут  проверять себя в правильности решения.  Литература 1. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В. 2. Решения 36 типовых экзаменационных вариантов Ященко, ЕГЭ­2018, математика,  профильный уровень.