Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

Тема:  Одноканальная СМО с неограниченной очередью

ЗАДАНИЕ.   Система массового обслуживания — билетная касса с одним окошком и неограниченной очередью. Касса продает билеты в пункты А и В.  Пассажиров, желающих купить билет в пункт А, приходит в среднем трое за 20 мин, в пункт В — двое за 20 мин. Поток пассажиров простейший. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания — показательное. Вычислить финальные вероятности Р0, P2, P3, среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время пребывания заявки в очереди.

РЕШЕНИЕ. Имеем систему массового обслуживания с одним каналом (одна касса) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (2+3=5 пассажиров за 20 минут) = (15 пассажиров в час), то есть λ=15. Интенсивность потока обслуживания равна (3 пассажира за 10 минут) = (18 пассажиров за час), то есть µ=18. 

                                                                 λ 15       5

Нагрузка системы ρ= = =  , нагрузка системы на один канал такая же: µ 18   6

ψ ρ= = 5/6 <1, поэтому предельный режим работы системы существует.

Рассчитаем эффективность работы СМО в предельном режиме. 

Вычислим финальные вероятности: 

Вероятность простоя системы:  

Вероятность того, что в системе одна заявка (один пассажир у кассы): 

p

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

Вероятность того, что в системе две заявки (один пассажир у кассы и один пассажир в очереди): 

p

Вероятность того, что в системе три заявки (один пассажир у кассы и два пассажира в очереди): 

p

Среднее число заявок, находящихся в очереди (пассажиров в очереди) равно

N_line  человек. 

Среднее            время            ожидания            в            очереди            равно

^T_line часа минут. 

Среднее число пассажиров, покупающих билеты, равно N_s = ρψ=    = 5/6 ≈ 0,833

                                                                                                             N^s           0,833

Среднее время обслуживания равно T_s =      =           ≈ 0,0555_часа ≈ 3,3_минуты

λ 15

Тогда              среднее             число              заявок              в              системе

N_sys = +N N_{s     line} = 0,116+0,833 = 0,949 (пассажиров).

Среднее время пребывания заявки в системе T_sys = +T T_{s                             line} = +3,3 0,5 = 3,8

(минут).