Одноканальная СМО с отказами

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

Тема: Одноканальная СМО с отказами

ЗАДАНИЕ.  Интенсивность потока телефонных звонков в агентство по заказу железнодорожных билетов, имеющему один телефон, составляет 2N=16 вызовов в час. Продолжительность оформления заказа на билет равна 0,3N = 2,4 минуты. Определить относительную и абсолютную  пропускную способность этой СМО и вероятность отказа (занятости телефона). Сколько телефонов должно быть в агентстве, чтобы относительная пропускная способность была не менее 0,75. 

РЕШЕНИЕ. Имеем систему массового обслуживания (СМО) с одним каналом

(один телефонный номер) с отказами. Получаем параметры λ=16/60 = 4/15

(интенсивность входящего потока, 4/15 заявок в минуту), µ=1/t =1/2,4 = 5/12

(интенсивность потока обслуживания, 5/12 заявок за минуту). Определим характеристики работы данной СМО в предельном режиме. 

                µ           5/12           25

p₀ = = = ≈ 0,61 - вероятность того, что система свободна λµ+ 4/15+5/12 41

(телефонная линия свободна, заявок нет). 

                λ           4/15          16

p₁ = = = ≈ 0,39 - вероятность того, что в системе заявка λµ+ 4/15+5/12 41

(телефонная линия занята).  Она же – вероятность отказа в обслуживании. 

Относительная пропускная способность Q p= =₀      0,61.

Абсолютная пропускная способность A     Q (среднее число

заявок, обслуживаемых в минуту).

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

1

Среднее время обслуживания заявки T_s =          = 2,4  минуты, среднее время

µ 1 15 простоя канала (телефонной линии) T_st =          =         = 3,75 минуты. 

λ 4

                                                                                                                                              1                 1             60

Среднее время пребывания заявки в системе T_sys =  = =         ≈1,46 λµ+     4/15+5/12       41

минуты. 

Найдем, сколько телефонов должно быть в агентстве, чтобы относительная пропускная способность была не менее 0,75. 

Рассмотрим случай с двумя телефонами.  Имеем многоканальную (число каналов k = 2) систему массового обслуживания (СМО) с отказами.

Интенсивность входящего потока λ= , интенсивность потока

5        λ обслуживания µ=         .  Введем величину ρ=          = 0,64  - приведенную

                                                 12                                                µ

интенсивность входящего потока. Тогда 

                 k ρi −1  0,640                0,641         0,642 −1

p₀ = ∑  =  + +  ≈ 0,542.  _i=0 i!   0! 1! 2! 

ρⁱ                0,64² p_i = p₀          , поэтому p₂ = 0,542           ≈ 0,111. i!       2!

Относительная пропускная способность Q = −1 p₂ = −1 0,111= 0,889 . 

Так как 0,889 > 0,75, двух телефонов достаточно, чтобы обеспечить нужную пропускную способность системы.