Определение функции в XVIII веке

Определение функции в XVIII веке

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является  понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в  познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных  соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия  функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых —  функции от абсцисс (х); путь и скорость — функции от времени (t) и т. п.

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения — формулы.

Слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И. Бернуллч; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины  «переменная» и «константа» (постоянная). Для обозначения  произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак , называя φ характеристикой функции, а также буквы х или ɛ; Лейбниц  употреблял x¹ , x² вместо современных f₁(x), f₂(x). Эйлер обозначал через f : у,  f : (х + у) то, что мы ныне обозначаем через f(x),  f(x+у), Наряду с φ Эйлер предлагает пользоваться и буквами Ф, Ψ и др. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, φt, φ(t + s).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины  называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной  величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в  анализ бесконечных» (1748) примыкает к  определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция  переменного количества есть аналитическое  выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие Л. Эйлер видные математики. Что касается Л. Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 г., Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые  количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые  называются функциями вторых». «Это наименование, — продолжает далее Эйлер, — имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других». На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого  зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.