Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Открытый урок

 по алгебре и началам анализа

 в 10 классе

 

 по теме:  «Решение тригонометрических уравнений»

 

 

Цели урока:

1. Образовательные - повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.
2. Развивающие –формирование умений применять приемы  сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.
3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

 

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

 

План урока.

I.       Организационный момент.

II.    Проверка домашней работы. Устная работа.

III.   Работа в группах.

IV. Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

V.     Физкультминутка. Релаксация.

VI. Проверочный тест.

VII.           Домашнее задание. Итог урока.

VIII.        Рефлексия.

 

Ход урока:

I.                   Организационный момент

Сегодня заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.  Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

 

II.                Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

 

Задания легкого  уровня.

Решите уравнения:

1)      sin  x =1

2)      cos ²x/2- sin² x/2=-1/2

3)      cos ²x+3 sin x cos x=0

4)      (tg x  -2) (tg x  +2)=1

 

Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

1)      cos (x/2-π/3)=1/2

2)      2sin² x-5sin x+2=0

3)      (2 tg x/2) / (1- tg ²x/2)=2 cos π/6

4)      cos ⁴x/4- sin⁴ x/4=-1

5)      Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

 

Задания усложненного уровня.

Решите уравнения:

1)      √3cos (x-π/3)=3/2

2)      cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

3)      Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения                                         4cos ²x+3 sin x cos x-2sin² x =2

4)      2sin x+ 3cos x=3

5)      Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16                            на отрезке [π/6; 13π/6]

6)      Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x  и   у= 1+сtg x 

 

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ?  [Нет решения]

2) чему равен sin П/6; cosП/2; arсcos ½; arcsin 1? Arctg 0,

2) при каком значении а уравнения sin x =a ,  cos x=a  имеют решения?  [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

                                                                                           cos x=a ? при условии      |a | ≤ 1  

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

                                                                                   cos x=a  , если      a  = -1; 0; 1

5) чему равен  arсcos(-a) ?       [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится  arctg a  ?  [-π/2; π/2],  чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ?    (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n  Z)

 

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

 

1)  arcsin 45= √2/2  (неопределенно)
2)  arcos (-1/2) = -π/3  (2π/3 )
3)  arcsin 3 = arcsin 1*3= π/4*3= 3π/4   (не существует)
4)  arctg 1= arctg π/4     (π/4)
5)  arctg (√3)= - π/6    (     3π/4)
6)   cos x=1/2 , х =  ± π/6 + 2πк, к Z Верно :  cos x=1/2 , х =  ± π/3 + 2πк, к Z	Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции
2)  sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)к π/3  + πк, к Z	Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a
3)   cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к Z Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к Z	Ошибка в выполнении деления
4)  sin 2x =1/3,   x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, n Z Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)n/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z	Вычислительная ошибка
5) cos x = -1/2,   x = ±(-π/3) + 2πm, m Z Верно : cos x = -1/2,   x = ±2π/3  + 2πm, m  Z	По определению                   arcсos(-π/3) [0;π]
6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z	x- не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию             | cos x | ≤ 1
7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z	В периоде
8) ctg x =-√3/3,  x= -π/3+πm, m Z Верно : ctg x =-√3/3,  x= 2π/3+πm, m Z	По определению                   arcсos(-π/3) [0;π]

 

III.               Работа в группах

 А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и  решите его.

 На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант		2 вариант
«3»   «4»       «5»	2 cos2х + 5 sin х - 4=0   cos 2х + cos х =0     √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)k π/6 + πk, k  Z    π + 2πk, k   Z ± π/3 + 2 πn, n   Z    2 πk, k   Z (-1)k π/2+2πn,n   Z	3 sin x - 2 cos2x =0    cos 2x + sin x =0     √2cos(x/2) + 1=cos x	Ответы (-1)k π/6 + πk, k   Z   π/2 + 2πk, k   Z (-1)k+1 π/6 + πn, n   Z    π + 2πk, k   Z ±  π/2 + 4πn, n   Z

 

Проверьте свое решение с  ответами

На экране проецируются ответы

 

IV.       Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

 

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

sin x/2 =1/2   cos (x +π/3)=1 sin 2x =-√3/2	Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.
2sin2 x-7 cos x-5=0 2 cos 23x+ sin 3x-1=0 сtg x-√3tg x+1=√3	Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.
sin2 x- sin x=0 cos 2x+ sin x cos x=1 5 sin x+3 sin2x=0	Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
2sin x-3 cos x=0 4 sin2 x+2 sin x cos x=3	Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos 2x (sin2 x)
sin x+ sin 3x=4cos 3x cos 2x+ cos x=0 cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x 2sin2 x+ cos 4x=0	Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.
cos x- √3sin x=2 2 cos x+ 2sin x=√6 √3 cos x+ sin x=2	Уравнения вида  a cosx+ b sinx = c, где a;b;               c  0. Решаются методом введения                            вспомогательного аргумента.
2 cos 3x+4 sin x/2=7 2 cos 3x+ cos x=-8 3 cos 3x+ cos x=4	Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

 

V.                Физкультминутка

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1.  Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

•         В положении стоя положите руки на бедра.

•         Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

•         Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2.  Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

 

К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х =D (sin² х  +   cos²х)

или           (А –D) sin² х  + В sinх cos х + (С-D)  cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В (cos²(x/2)  - sin²(x/2)  )= С (sin²(x/2)   +   cos²(x/2)).  А теперь  давайте решим следующее уравнение.

 

Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos² x/2- sin² x/2

2=2*1=2 *(sin² x/2+ cos ²x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2=2 sin² x/2+2 cos ²x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2-2 sin² x/2-2 cos ²x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos ²x/2-3 sin² x/2=0

  Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin² x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos ²x/2  и получить уравнение, равносильное данному

3tg ²x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у²-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у₁=1; у₂=1/3

 

Итак, tg x/2=1                            или       tg x/2=1/3

           x/2= arctg1 +πn, n Z                  x/2= arctg1/3 +πк, к Z 

            x/2= π/4 +πn, n Z                       x= 2arctg1/3 +2πк, к Z 

           x= π/2 +2πn, n Z                      

 Ответ:  x= π/2 +2πn, n Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к Z 

 

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение,  введение новой переменной)  

 

VI.             Проверочный тест

 На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»   «4»   «5»	3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 2 cos2х =0  3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1 2 sin x -  5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х  - 5 sinх  cos х + cos2х =0  2 sin2 x – sin x  cosx =0 4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

 

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

На экране проецируются ответы

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»	- arctg 5/3+ πk,  k   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,4 + πn,   k, n   Z.   π/2 + πk;   - arctg 1,5 + πn,   k, n   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,5 + πn,   k, n  Z.    arctg ( - 1 ± √5) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 7 + πn,   k, n   Z.	- arctg 2/3+ πk,  k   Z. arctg 1/3+ πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z.   πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z. -π/4 + πk;   - arctg 5/3 + πn,   k, n   Z.   arctg ( 2 ± √11) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 1/3 + πn,   k, n   Z.

 

VII.          Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

1)      √3 cos 2 x+ sin 2x=2

2)      cos x/2- sin x/2=√6/2

3)      2 cos x+5 sin x+2=0

4)      2 cos x+3 sin x=3

 

VIII.       Итог работы

            Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

 Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.