Параметр в уравнениях 7-ого класса.

Параметр в уравнениях 7-ого класса. Занятие 1. Первые шаги при решении задач с параметрами. 1.Задания на сравнение. 1 Сравнить а и (-а). Решение. В данном задании а может принимать любые значения: а может быть числом отрицательным (а<0); а может быть равным нулю (а=о); а может быть числом положительным (а>0). Рассмотрим три случая: если а<0, то а<(-а), например а=-1, тогда - а=-(-1)=1, -1<1; если а=0, то а= - а; если а>0, то а> - а, например а=1, тогда - а=-1, 1>-1. Решение можно записать так: если а<0, то а<(-а), если а=0, то а= - а; если а>0, то а> - а. 2.Сравните а и 2а. Решение. В данном задании а может принимать любое значение. если а <0,то а>2а; если а =0,то а =2а; если а >0,то а <2 а. 3.Сравните (-а) и 3а. Решение. В данном задании а может принимать любое значение. если а <0,то (- а) >3 а; если а =0,то (- а) =3а; если а >0,то (- а) <3а. 1 4.Сравните (-5а) и (-2 а). Решение. В данном задании а может принимать любое значение. если а <0,то (- 5а) >(-3 а); если а =0,то (- 5а) =(-3а); если а >0,то (-5а) <(-3а). 2.Линейные уравнения с параметрами. Уравнения, содержащие помимо неизвестных, еще и буквенные величины, называют уравнениями с параметрами. Мы рассмотрим уравнения вида ах=b,где х-неизвестное,b-некоторое число или выражение, а- параметр. В уравнениях данного вида параметр а может принимать любые значения. Задача могла звучать так: найдите решение уравнения в зависимости от параметра а. Особо нужно выделить значение параметра, при котором коэффициент при неизвестном обращается в нуль. 1.Решите уравнение а∙х=1. Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. Но при а=0 уравнение примет вид: 0∙х=1. Это уравнение корней не имеет, так как нет такого числа, которое при умножении на нуль дает единицу. При любом другом значении параметра а х= 1 а . Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0,то х= 1 а . 2. Решите уравнение а∙х=0. Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. При а=0 уравнение примет вид: 0∙х=0. Корнем данного уравнения может быть любое число, так как любое число при умножении на нуль дает нуль. При любом другом значении параметра а х=0. 2 Ответ. Если а=0 ,то х-любое число; еслиа≠0, то х=0. 3. Решите уравнение (а-2)∙х=1. Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. Но при а=2 уравнение примет вид: 0∙х=1. Это уравнение корней не имеет, так как нет такого числа, которое при умножении на нуль дает единицу. При любом другом значении параметра а х= 1 а−2 Ответ. Если а=2 ,то корней нет; если а≠2,то х= 1 а−2 4. Решите уравнение (а-2)∙х=0. Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. При а=2 уравнение примет вид: 0∙х=0. Корнем данного уравнения может быть любое число, так как любое число при умножении на нуль дает нуль. При любом другом значении параметра а х=0. Ответ. Если а=2,то х-любое число; еслиа≠2, то х=0. 5. Решите уравнение (а-2)∙х=5∙(а-2) Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. При а=2 уравнение примет вид: 0∙х=5∙0 или 0∙х=0. Корнем данного уравнения может быть любое число, так как любое число при умножении на нуль дает нуль. При любом другом значении параметра а х= 5(а−2) (а−2) или х=5. Ответ. Если а=2,то х-любое число; еслиа≠2, то х=5. 6. Решите уравнение (а-2)х=(а-2)(а+3). Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. 3 При а=2 уравнение примет вид: 0∙х=0∙5 или 0∙х=0. Корнем данного уравнения может быть любое число, так как любое число при умножении на нуль дает нуль. При любом другом значении параметра а х= (а−2)(а+3) (а−2) или х= а+3 Ответ. Если а=2,то х-любое число; еслиа≠2, то х=а+3. 7. Решите уравнение (7-а)(а+2)х=а-7. Решение. В данном уравнении параметр а может принимать любое значение. При а=7 уравнение примет вид: 0∙9∙х=0 или о∙х=0. Корнем данного уравнения может быть любое число, так как любое число при умножении на нуль дает нуль. При а= -2,уравнение примет вид 9∙0∙х=-9 или 0∙х=-9 . Это уравнение корней не имеет. При а≠7, а≠ -2 корень уравнения х= а−7 (7−а)(а+2) или х= - 1 а+2 Ответ. Еслиа=7, то х-любое число; если а= - 2, то корней нет; если а≠7, а≠ - 2, то х = - 1 а+2 Задания для самостоятельной работы. 1.При каком значении параметра а уравнение: 1)а∙х=3; 2)(а-2) ∙х=6; 3)(а-3) ∙х=а+3 не имеет корней? Ответ:1)при а=0; 2)при а=2; 3)при а=3 2.При каком значении параметра а любое число является корнем уравнения: 1)а∙х=а; 2)(а-5)х=5-а; 3) а (а-3∙)х=а-3? Ответ:1)приа=0; 2)при а=5; 3) при а=3. 4 3.Решите уравнение. 1) b∙х=-1; 2)(т+3) ∙х=3; 3)(n-3) ∙х=0; 4)(с+1) ∙х=6∙ (с+1); 5)(d-5) ∙ (d+5) ∙x=d+5; 6)(а-3) ∙х=(а-3) ∙ (а+2) Ответ: 1)если b=0,то корней нет; если b≠0, то х= - 1 b ; 2) если m=-3,то корней нет; если m≠-3, то m= 3 m+3 ; 3) если n=3,то х-любое число; если n≠3, то х=0; 4) если с=-1,то х-любое число; если с≠-1, то х=6; 5)если d=5,то корней нет; если d=-5, то х-любое число; если d≠±5,то х= 1 d−5 ; 6)если а=3, то х-любое число; если а≠3 то х=а+2. На 2-ом занятии мы рассмотрим уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным, т.е. к виду ах= b (1). 1.Решите уравнение ах-3х= -1. Решение. В данном уравнении параметр а принимает любое значение. Приведем уравнение к виду (1). Для этого в левой части исходного уравнения вынесим за скобку общий множитель х, выделив при этом коэффициент при неизвестном х, (а-3). Получили уравнение (а-3)∙х= - 1, если а=3,то уравнение примет вид 0∙х= - 1 . Данное уравнение корней не имеет. 5 Если а≠3, то х= −1 а−3 . Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= −1 а−3 . 2.Решите уравнение тх-7т=5х-6. Решение. В данном уравнении параметр т принимает любое значение. Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения. тх-5х=-6+7т Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, (т-5). (т-5)∙х=7т-6 , если т=5,то уравнение примет вид 0∙х=35-6 ,т.е. 0∙х=29. Данное уравнение корней не имеет. Если т≠5,то х = 7т−6 т−5 . Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х = 7m−6 m−5 . 3.Решить уравнение m2 х-3m= 12-4mх. Решение. В данном уравнении параметр m принимает любое значение. Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения. m2 х+4mx=12+3m Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, m( m+4 ). ( m2 +4m)∙х=3m+12 6 m(m+4) ∙х=3m+12 m(m+4)∙х=3(m+4) Если m=0, то уравнение примет вид 0∙4∙х=3∙4 или 0∙х=12. Данное уравнение корней не имеет. Если m= - 4, то уравнение примет вид -4∙0∙х=3∙0 или 0∙х=0 , х - любое число. Если m≠0,m≠ -4, то х = 3 m . Ответ. Если m=0,то корней нет; если m=-4, то х-любое число; если m≠0, m≠ -4,то х = 3 m . 4.Решите уравнение ах+5 4 = ах+1 3 . Решение. В данном уравнении параметр а принимает любое значение. Необходимо освободиться от знаменателей дробей. Это можно сделать двумя способами. Можно применить основное свойство пропорции и получить уравнение 3∙(ах+5)=4∙(ах+1) или умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 12 и получить уравнение 12∙(ах+1) 12∙(ах+5) = 3 4 . Сократив первую дробь на 4, вторую на 3, получим уравнение 3∙(ах+5)=4∙(ах+1). (На мой взгляд, исходное уравнение удобнее решать, используя основное свойство пропорции). Выполняем умножение одночленов на многочлены и получаем уравнение: 3ах+15=4ах+4 7 Собираем члены уравнения, содержащие х, в левой части, остальные в правой части уравнения и приводим подобные слагаемые: 3ах- 4ах=4-15 -а∙х=-11 Умножаем обе части уравнения на -1 и получаем уравнение вида(1) а∙х=11 Если а=0,то уравнение примет вид 0∙х=11, данное уравнение корней не имеет; Если а≠0,то х= 11 а Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х= 11 а . 5.Решить уравнение 1+а 3 + 1= а∙(х−4) 2 . Решение. В данном уравнении параметр а принимает любое значение. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6. Получим уравнение: 6∙(1+а) 3 +6∙1 = 6∙а∙(х−4) 2 , Сократив первую дробь на 3, вторую на 2,получим уравнение: 2∙(1+а) + 6 =3∙а (х-4). Умножаем одночлены на многочлены, переносим члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левую часть, остальные в правую часть уравнения, приводим подобные слагаемые: 2+2а+6=3ах-12а -3ах=-12а-2а-6-2 -3ах=-14а-8 Умножаем обе части уравнения на -1 и получаем уравнение вида (1) 3ах=14а+8 Если а=0, то уравнение примет вид 0∙х=8 , данное уравнение корней не имеет; 8 Если а≠0, то х= 14а+8 3а . Ответ. Если а=0, то корней нет; Если а≠0, то х = 14а+8 3а . Задания для самостоятельной работы. Решите уравнение. 1) 5nx-2x=1; 2) ах+3а=6х+5; 3) с2 х-5с=15-3сх; ах−4 2 = ах+5 3 4) ; 2а−1 5 5) -3= а(х+3) 2 . Ответ.1) если n=0,4, то корней нет; если n≠0,4, то х = 1 5n−2 ; 2)если а=6, то корней нет; если а≠6, то х = 5−3а а−6 ; 3) если с= 0, то корней нет; если с= -3, то х-любое число; если с≠0, с≠ -3, то х= 5 с ; 4) если а=0, то корней нет; если а≠0, то х= 22 а ; 5)если а=0, то корней нет; если а≠ 0, то х = - 11а+32 5а . Занятие 3. На втором занятии были рассмотрены и решены уравнения: 9 1) ах-3х= -1. Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= −1 а−3 . 2) тх-7т=5х-6. Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х = 7m−6 m−5 . 3) m2 х-3m= 12-4mх. Ответ. Если m=0,то корней нет; если m=-4, то х-любое число; если m≠0, m≠ -4,то х = 3 m . 4) ах+5 4 = ах+1 3 . Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х= 11 а . 5) 1+а 3 + 1= а∙(х−4) 2 14а+8 3а . . Ответ. Если а=0, то корней нет; Если а≠0, то х = На 3-ем занятии мы рассмотрим уравнения с модулем, содержащие параметр. **При решении будем использовать определение модуля, которое было дано ученикам в 6классе. (Математика 6. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Глава 4.Рациональные числа и действия над ними. §32. Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. «Ключевое слово» в этом определении расстояние. Модуль числа принимает только неотрицательные значения (расстояние не может быть отрицательным)*. 1.Решите уравнение |х|=а. Решение. В данном уравнении х-неизвестное, а-параметр, который может принимать любые значения. Если а<0, то корней нет; 10 если а=0, то х=0; если а>0, то х=±а. Ответ. Если а<0,то корней нет; если а≥0, то х=±а. 2.Решите уравнение а∙|х|=0. Решение. Если а=0,то уравнение примет вид 0∙|х|=0 , х-любое число. Если а≠0, то х=0. Ответ. Если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=0. 3.Решите уравнение а∙|х|=1. Решение. 1.Если а=0, уравнение примет вид 0∙|х|=1. Данное уравнение корней не имеет. 2.Если а≠0, то |х|= 1 а 1)если а<0, то 1 а принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет; 2)если а>0, то 1 а принимает положительные значения и х=± 1 а Ответ. Если а≤0, то корней нет; если а>0, то х = ± 1 а . 4.Решите уравнение (а-2)∙|х|=0. Решение. Если а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=0, х-любое число. Если а≠2, то |х|=0 или х=0. Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=0. 5.Решите уравнение (а-2)∙|х|=5∙(а-2). Решение. Если а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=5∙0 или 0∙|х|=0 , х-любое число. 11 Если а≠2, то |х|= 5∙(а−2) (а−2) , |х|=5 или х=±5. Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=±5. 6.Решите уравнение (а-2)∙|х|=(а-2)∙(а+3). Решение. 1.Если а-2=0,т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=0∙5 или 0∙|х|=0, х-любое число. 2.Если а≠2, то |х|=а+3. 1)если а+3<0, т.е. а< - 3 ,уравнение корней не имеет; 2)если а=-3, то х=0; 3)если а+3>0, т.е. а> -3,то х=±(а+3) Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а< -3, то корней нет; если а≥-3,а≠2,то х=±(а+3). 7.Решите уравнение(7-а)∙(а+2)∙|х| = а-7. Решение. 1.Если 7-а=0,т.е. а=7, то уравнение примет вид 0∙9∙|х|=0 или 0∙|х|=0, х-любое число. 2.Если а+2=0, т.е. а=-2,то уравнение примет вид 9∙0∙|х|= - 9 или 0∙|х|= - 9 ,данное уравнение корней не имеет. 3.Если а≠7, а≠-2, то |х|=- 1 а+2 1)если а< -2, то правая часть данного уравнения (- 1 а+2 ¿ принимает положительные значения и х=± (- 1 а+2 ), т.е. х=± 1 а+2 2) если а>-2,то правая часть данного уравнения (- 1 а+2 ) принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет. Ответ. Если а=7, х-любое число; если а ≥ -2, а≠7, то корней нет; 12 если а< - 2, то х=± 1 а+2 . Задания для самостоятельной работы. Решите уравнение. 1)2∙|х|=а; 2)а∙|х-1|=0; 3)|х+4|=а; 4)(а+3)∙|х+2|=0; 5)а∙|х+4|=3а; 6)а∙|х-1|=а∙(а-1); 7)(2-а)(а+2)∙|х|= а+2. Ответ.1)если а<0, то корней нет; если а≥0, то х=± а 2 ; 2)если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=1; 3)если а<0,то корней нет; если а=0, то х= - 4; если а>0, то х=а-4 или х= - а – 4; 4)если а= - 3, то х-любое число; если а≠ -3,то х= -2; 5)если а=0,х-любое число; если а≠0,то х= - 1или х= -7; 6)если а=0, то х-любое число; если а=1, то х=1; если а<1,а≠0,то корней нет;если а>1,то х=- а +2 или х=а; 7)если а=-2, то х-любое число; если а≥2, то корней нет; если а<2,а≠- 2,то х=± 1 2−а. Занятие 4. На третьем занятии были рассмотрены и решены уравнения: 1) |х|=а. Ответ. Если а<0,то корней нет; если а≥0, то х=±а. 2) а∙|х|=0. Ответ. Если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=0. 1 а . 3) а∙|х|=1. Ответ. Если а≤0, то корней нет; если а>0, то х = ± 13 4 ) (а-2)∙|х|=0 .Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=0. 5) (а-2)∙|х|=5∙(а-2). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=±5. 6) (а-2)∙|х|=(а-2)∙(а+3). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а< -3, то корней нет; если а≥-3,а≠2,то х=±(а+3). 7) (7-а)∙(а+2)∙|х| = а-7. Ответ. Если а=7, х-любое число; если а ≥ -2, а≠7, то корней нет; если а< - 2, то х=± 1 а+2 . На 4-ом занятии мы рассмотрим простейшие дробно-рациональные уравнения с параметром, решение которых доступно для учеников 7-ого класса. 1.Решите уравнение а−х 2−а=0 . Решение. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1.Условие существования дроби: 2-а≠0; а≠2. 2.Числитель равен нулю, если а-х=0, т.е. х=а; Итак: если а=2, то корней нет; если а≠2, то х=а. Ответ. Если а=2, то корней нет; если а≠2, то х=а. 2.Решите уравнение 4+х х−а =0. Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1.Условие существования дроби: х-а≠0; х≠а. 2.Числитель дроби равен нулю, если 4+х=0, т.е. х= - 4 . Итак: если а=- 4, то корней нет; если а≠ - 4, то х=- 4. Ответ. Если а= - 4, то корней нет; если а≠ - 4, то х= - 4. 14 3.Решите уравнение 5а+х а−х = 0. Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1. Условие существования дроби: а-х≠0; х≠а. 2.Числитель равен нулю, если 5а+х=0, т.е. х= - 5а; 3.Найдем значение параметра а, при котором не выполняется условие существования дроби, решив уравнение: а= - 5а; а=0. Итак: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х= - 5а. Ответ. Если а=о, то корней нет, если а≠0, то х= - 5а. 4.Решите уравнение х+2−а х+3 =0 Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1.Условие существования дроби: х+3≠0; х≠ - 3. 2.Числитель равен нулю, если х+2-а=0, т.е. х=а-2; 3.Найдем значение параметра а, при котором условие существования дроби не выполняется, решив уравнение: а-2=-3, а= -1. При а=-1 х=3, а значит, уравнение не имеет корней. Итак: если а= - 1, то корней нет; если а≠ - 1, то х=а-2. Ответ. Если а= - 1, то корней нет; если а≠ - 1, то х=а-2. 5.Решите уравнение а+3 х−3 = а+1. Решение. Приведем уравнение к виду – дробь равна нулю. 15 Перенесем члены уравнения из правой части уравнения в левую. а+3 х−3 – (а+1)=0, Приведем дроби к общему знаменателю и выполним указанные действия. а+3 х−3 – (х−3)∙(а+1) х−3 =0, а+3−(х−3)∙(а+1) х−3 =0, Упростим выражение, стоящее в числителе, перемножив многочлены и приведя подобные слагаемые. а+3−(ах+х−3а−3) х−3 =0, а+3−ах−х+3а+3 х−3 =0, −ах−х+4а+6 х−3 =0. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1.Условие существования дроби: х-з≠0, т.е. х≠з. 2.Числитель равен нулю, если - ах-х+4а+6=0. Соберем члены уравнения, содержащие неизвестное х в левой части, остальные – в правой. -ах-х= - 4а-6, умножим обе части уравнения на (-1) и вынесем общий множитель х за скобку, получим уравнение: (а+1)∙х=4а+6; 1)сли а=-1, то уравнение примет вид 0∙х=2 , корней нет; 16 2)если а≠ -1, то х= 4а+6 а+1 . 3.Найдем значения параметра а, при которых условие существования дроби не выполняется. Для этого решим уравнение: 3= 4а+6 а+1 , 3а+3=4а+6, а= - 3. При а=- 3 уравнение не имеет корней. Итак: если а=-1, а=- 3, то корней нет; Если а≠ - 1, а≠- 3, то х= 4а+6 а+1 . Ответ. Если а= - 1, а=- 3, то корней нет; если а≠ -1, а≠-3, то х= 4а+6 а+1 . 6.Решить уравнение а+3 а+2 = 2 х− 5 х∙(а+2) . Решение. Приведем уравнение к виду – дробь равна нулю. Пересем члены уравнения из правой части в левую. а+3 а+2 - х∙(а+2) =0. 2 х+¿ - 5 Приведем дроби к общему знаменателю. х∙(а+3) х∙(а+2) - 2∙(а+2) х∙(а+2) +¿ - 5 х∙(а+2) =0. Выполнив указанные действия, получим уравнение: х(а+3)−2(а+2)+5 х(а+2) =0. 17 Упростим числитель дроби, умножив одночлены на многочлены и приведя подобные слагаемые. ха+3х−2а−4+5 х(а+2) =0, ха+3х−2а+1 х(а+2) =0. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. 1.Условие существования дроби: х∙(а+2)≠0,т.е. х≠0, а≠-2. 2. Числитель равен нулю, если ха+3х-2а+1=0. (ха+3х)-2а+1=0, (а+3)∙х=2а-1, 1)если а= - 3, то уравнение примет вид: 0∙х=- 7, нет корней; 2)если а≠-3, то х= 2а−1 а+3 ; 3.Найдем те значения параметра, при котором не выполняется условие существования дроби, т.е. при котором х=0. Для этого решим уравнение: 2а−1 а+3 =0 .При а≠-3, а=0,5. При а=0,5 уравнение не имеет корней. Итак: если а=-2,а=-3, а=0,5, то корней нет; если а≠-2, а≠0,5; а≠- 3, то х= 2а−1 а+3 . Ответ. Если а=-3; а=-2; а=0,5 корней нет. Если а≠-3; а≠ - 2; а≠0,5 х= 2а−1 а+3 . Задания для самостоятельной работы. Решите уравнение: 18 1) х+3а х+6 =0; 5−х х+а =0; х−2а х+а =0; ах−1 а+2 =3; 2) 3) 4) 5) а+2 2−х = 1-а. Ответ: 1)если а=2, корней нет; а≠2, х= - 3а; 2)если а= - 5 ,корней нет; если а≠ - 5, х=5; 3)если а=0, корней нет; если а≠0, х=2а; 4)если а= - 2;а=0,корней нет; если а≠- 2, а≠0, х= 3а+7 а ; 5)если а=1,а=- 2,корней нет; если а≠1, а≠-2, х= 3а а−1 . Занятие 5. На данном занятии можно предложить проверочную работу в виде теста. К заданиям 1-9 выберите правильный ответ из предложенных ответов 1) - 4). 1.Сравнить значения выражений - а и а. 1)- а ≤ а 2)- а ≥ а 3) – а < а 4) другой ответ. 2.При каких значения а выполняется неравенство -3а>3а? 1)а- любое число; 2) а > 0 3) а > 0 4)не существует таких значений а. 19 3.При каком значении параметра m уравнение 5mх=-45 имеет корень, равный 3? 1) m=9 2) m= - 9 3) m= - 3 4 ) другой ответ. 4.При каких значениях параметра а уравнение (а-2)∙х+а-2 не имеет корней? 1) а=2 2)а-любое число 3) а=о 4) не существует таких значений а. 5.При каких значениях параметра k уравнение 3k∙(k+2)∙х=k+2 не имеет корней? 1) k= - 2 2) k=0 3) k=о ,k= - 2 4) не существует таких значений k. 6.При каких значениях параметра а уравнение (а-5)∙х=6 имеет единственный корень? 1 )а=5 2) а≠5 3)при любом значении а 4) не существует таких значений а. 7.При каких значениях m любое число является корнем уравнения m∙(m+3)∙(m-4)∙х=5(4-m)? 1) m=0 2) m=3 3) m=4 4) другой ответ 8.При каких значениях а выполняется неравенство 2∙|а|>|а| ? 1)при любом значении а 2) при а>0 3) при а<о 4) при любом значении а, кроме нуля. 9.При каких значениях параметра n уравнение ( n2 +1)∙х=n не имеет корней? 1)n=0 2)при любом значении n 3) не существует таких значений n 4) n=±1 К заданиям 10-11 запишите ответ. 10.При каком значении а уравнение (а-4)∙х= - 5а+4х-7 имеет корень равный -6? Ответ._______________________________________________________ 11.Решите уравнение (k-2)∙(k+1)∙х=4∙(k+1) в зависимости от параметра k. 20 Ответ.________________________________________________________ Ответы к тесту. № вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 № правильного ответа. 4 3 3 4 2 2 3 4 3 При а=55 11 При k=2, корней нет; при k= - 1,х-любое число; при k≠ -1, k≠2 х= 4 k−2 P.S. Напомню уравнения, которые были рассмотрены и решены на занятиях 1-4 по теме «Уравнения с параметрами для учащихся 7-ого класса общеобразовательной школы». Занятие 1. 1.1. а∙х=1. Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х = 1 а . 1.2. а∙х=0. Ответ. Если а=0,то х-любое число; если а≠0, то х=0. 1.3. (а-2)∙х=1. Ответ. Если а=2, то корней нет; если а≠2, то х = 1 а−2 . 1.4. (а-2)∙х=0. Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠ 2, то х=0. 1.5. (а-2)∙х=5∙(а-2). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=5. 1.6. (а-2)х=(а-2)(а+3). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х= а+3. 1.7. (7-а)(а+2)х=а -7. Ответ. Если а=7, то х-любое число; если а=-2, то корней нет; если а≠7,а≠-2, то х= −1 а+2 . Занятие 2. 21 2.1. ах-3х= -1. Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= −1 а−3 . 2.2. тх-7т=5х-6. Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х = 7m−6 m−5 . 2.3. m2 х-3m= 12-4mх. Ответ. Если m=0,то корней нет; если m=-4, то х- любое число; если m≠0, m≠ -4,то х = 3 m . 2.4. ах+5 4 = ах+1 3 . . Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х= 11 а 2.5. 1+а 3 + 1= а∙(х−4) 2 . Ответ. Если а=0, то корней нет; Если а≠0, то х = 14а+8 3а . Занятие 3. 3.1. |х|=а. Ответ. Если а<0,то корней нет; если а≥0, то х=±а. 3.2. а∙|х|=0. Ответ. Если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=0. 1 а . 3.3. а∙|х|=1. Ответ. Если а≤0, то корней нет; если а>0, то х = ± 3.4. (а-2)∙|х|=0 .Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=0. 3.5. (а-2)∙|х|=5∙(а-2). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=±5. 3.6. (а-2)∙|х|=(а-2)∙(а+3). Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а< -3, то корней нет; если а≥-3,а≠2,то х=±(а+3). 3.7. (7-а)∙(а+2)∙|х| = а-7. Ответ. Если а=7, х-любое число; если а ≥ -2, а≠7, то корней нет; если а< - 2, то х=± 1 а+2 . 22 Занятие 4. а−х 2−а=0 . Ответ. Если а=2, то корней нет; если а≠2, то х=а. 4.1. 4.2. 4+х х−а =0. Ответ. Если а= - 4, то корней нет; если а≠ - 4, то х= - 4. 4.3. 5а+х а−х = 0. Ответ. Если а=о, то корней нет, если а≠0, то х= - 5а. 4.4. х+2−а х+3 =0 . Ответ. Если а= - 1, то корней нет; если а≠ - 1, то х=а-2. 4.5. а+3 х−3 = а+1. Ответ. Если а= - 1, а=- 3, то корней нет; если а≠ -1, а≠-3, то х= 4а+6 а+1 . 4.6. а+3 а+2 = 2 х− 5 х∙(а+2) . Ответ. Если а=-3; а=-2; а=0,5 корней нет. Если а≠- 3; а≠ - 2; а≠0,5 х= 2а−1 а+3 . Использована литература. 1.Задачи с параметрами. П.И.Горштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. «Илекса». Москва 2005. 2.Алгебра 7 класс. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Москва. «Вентана-Граф» 2015. 3.Алгебра 6 класс. А.Г. Мерзляк, В.П.Полонский, М.С.Якир. Москва,»Вентана- Граф» 2015. 4.«Уравнения и неравенства с параметрами» С.К.Кожухов, Орел 2013, 5.Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром» М.В.Фалилеева, Казань 2014. 6.Говоров В.Н., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по 23 математике. - М.: Наука, 1986.-384 с. 24