По следам Великого Пифагора.

План: 1)  Биография Пифагора.  Пифагорейская школа. 2)  Теорема Пифагора и способы её доказательства.  Простейшее доказательство.  Доказательство Эйнштейна.  Древнекитайское доказательство.  Древнеиндийское доказательство.  Доказательство Евклида.  Алгебраическое доказательство.  Векторное доказательство. 3)  Применение данной теоремы. 1

ВВЕДЕНИЕ Трудно   найти   человека,   у   которого   имя Пифагора   не   ассоциировалось   бы   с   теоремой   Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах»  —  квадрате   на   гипотенузе,   равновеликом   двум квадратам   на   катетах.   Причина   такой   популярности теоремы Пифагора триедина: это простота  —  красота  — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.   Это   сочетание   двух   противоречивых   начал   и придает   ей   особую   притягательную   силу,   делает   ее красивой.   Но,   кроме   того,   теорема   Пифагора   имеет огромное   значение:   она   применяется   в   геометрии буквально   на каждом  шагу, и  тот  факт,  что  существует около  500  различных доказательств этой теоремы, свиде­ тельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Это объясняется тем, что в прошлом для получения звания Магистра математики зачастую требовалось представление нового   доказательства   этой   теоремы.   Решая   в   школе задачи,   я   много   раз   сталкивалась   с   этой   теоремой. Неоднократно   приходилось   слышать   о   том,   что   у   этой теоремы   насчитывается   много   доказательств,   что   она широко применима для решения разнообразных задач и с именем   Пифагора   связано   очень   много   легенд,   что   это интересная и загадочная личность.  Я решила посмотреть, в чем   загадка   этой   личности,   почему   так   знаменита   его теорема   и   в   чем   заключаются   разные   способы   его доказательств, так как до сих пор мне знакомо только одно доказательство.          Цель моей работы:  посмотреть, в чем кроется популярность   великого   математика   Пифагора,   открыть тайны теоремы Пифагора через разбор истории теоремы, разобраться   в   разных   способах   доказательств     теоремы, рассмотреть область ее применения.    Задачи: изучить и проанализировать литературу по данному вопросу; познакомиться с биографией великого ученого; пронаблюдать   за   историей   создания   теоремы    2

Пифагора;   объяснить великие тайны теоремы Пифагора; рассмотреть разные способы доказательств теоремы Пифагора, ее применение. При   решении   поставленных   задач   необходимы следующие методы исследования:             1.   Изучить   теоретические   сведения   по   исследуемой проблеме;  2. Сделать анализ литературных источников (книг);        3. Провести социологический опрос среди людей старшего поколения с целью выявить, какое количество доказательств знают   не   учёные   и     не   исследователи   данного   вопроса,   а обыкновенные люди.          Объект  моей   работы   –   личность   Пифагора   и   его теорема. 3

Биография.     Подлинную   картину   жизни   Пифагора   Самосского   и достижений   восстановить   трудно,   так   как   письменных документов о нем не осталось.  Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. Отцом   Пифагора   был   Мнесарх,   резчик   по     драгоценным камням.  Когда   отец   Пифагора   был   в   Дельфах   по   своим торговым делам, он и его жена Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во   время   обратного   путешествия   в   Сирию.   Пифия (прорицательница   Аполлона),   сидя   на   золотом   триоде   над сияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится   сын,   который   превзойдет   всех   людей   в   красоте   и мудрости   и   который   много   потрудится   в   жизни   на   благо человечества. Мнесарх столь впечатлен был пророчеством, что изменил имя собственной жены на Пифазис в честь Пифийской жрицы.   Когда   родилось   дитя   в   городе   Сидоне   на   острове Самосе,   оно   оказалось,   как   и   говорил   оракул,   мальчиком. Мнесарх и Пифазис назвали его Пифагором, потому что они верили   в   то,   что   ему   предсказано   оракулом.   По   многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно 4

красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида. Целые  дни проводил юный  Пифагор  у ног старца Гермодаманта,  внимая  мелодии кифары  Гомера. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.  Ферекид   же  был  философом.   Таким   образом,  если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг музыки, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе   и   в   ней   одной   советовал   видеть   своего   первого   и главного учителя.  Мудрый Ферекид  однажды сказал:  «Ты вырос   из   Самоса,   отправляйся   путешествовать   –   только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память   –   суть   два   средства,   возвышающие   человека   и открывающие ему врата мудрости».  Но как бы то  ни было, неугомонному  воображению юного Пифагора  очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым ­ Фалесом. Фалес советует ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. Там он прожил 11 лет.  В   548   г.   до   н.э.   Пифагор   прибыл   в   Навкратис   – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное   письмо   фараона,   хитроумные   жрецы   не спешили   раскрывать   Пифагору   свои   тайны,   предлагая   ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все. Научившись всему, что дали ему жрецы, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся   домой.   Не   стоит   драматизировать   жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более   развитой,   чем   египетская,   и   Пифагору   было   чему поучиться. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса.   После   нескольких   месяцев   притязаний   со   стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон.  5

Пифагорейская школа.   члены   которого   обязывались В   Кротоне   Пифагор   учредил   нечто   вроде религиозно­этического   братства,   тайного   монашеского ордена,   вести «пифагорейский   образ   жизни».  Это   был   одновременно   и религиозный   союз,   и   политический   клуб,   и   научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но   и   высокая   нравственность   проповедуемых   им   идей   и жизненных   принципов   к   нему единомышленников. О силе его воздействия на слушателей говорит   такой   факт:   «Когда   он   однажды   произнес   речь, направленную  против  роскоши, то  все женщины  отнесли свои нарядные платья в храм Геры, так как ни одна из них не решалась показаться на улице в дорогом одеянии».   притягивала  Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех. Говорят, что Пифагор был первым человеком, который назвал себя философом. В самом деле, мир обязан как раз ему этим термином. До него умные люди называли себя мудрецами, что означало   человек,   который   знает.   Пифагор   же   был   гораздо скромнее. Он ввел в обращение термин ­ философ, который определил   как   «тот,   кто   пытается   найти,   выяснить». Нравственные   принципы   и   правила,   проповедуемые Пифагором,   и   сегодня   достойны   подражания.   Для   всех было   у   него   одно   правило:   беги   от   всякой   хитрости; 6

отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышления, – когда идешь ко сну   и   когда   пробуждаешься   ото   сна.   День   пифагорейцу надлежало закончить стихами: «Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: «Что я сделал? Что не сделал? И что мне осталось сделать?», и начинать день со стихов: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, душой раскинь, какие дела тебе день приготовил». Эти стихи современны и по прошествии двух с половиной тысячелетий. Пифагор выработал  для себя и своих учеников особый   распорядок   дня.   Встав   до   восхода   солнца, пифагорейцы   шли   на   морской   берег   встречать   рассвет, делали гимнастические упражнения, принимали завтрак. В конце   дня   совершали   совместные   прогулки,   морское купание и ужинали, а после ужина – возлияние богам и чтение.   Как   видим,   пифагорейцы   с   равным   усердием заботились о физическом и духовном развитии. В   основе   религиозно­философского   учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа – суть боги на земле», – говорил он. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства  был окружен множеством  таинств, разглашение которых   сурово   каралось.   Но   и   попав   в   орден   после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из­за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого   разрешалось   только   после   нескольких   лет очищения   музыкой   и   аскетической   жизнью.   Обучение   в школе   было   двухступенчатое.   Одни   ученики   назывались «математиками»,   т. е.   познавателями,   а   другие   – «акусматиками», т. е. слушателями. Математики – те, кто изучал   суть   науки,   акусматики   –   те,   кто   прослушивал обобщенный   свод   знаний.   Акусматики   представляли первую ступень в школе Пифагора. Наиболее  одаренные акусматики  переводились   в  математики,  им  разрешалось видеть учителя, вести с ним научные споры. Пифагорейцы узнавали   друг   друга   по   звездчатому   пятиугольнику   – пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана   тайна   мира.   Мир   чисел   жил   для   пифагорейца особой   жизнью,   числа   имели   свой   особый   жизненный 7

смысл. Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков   (популярные   сегодня   слова   «калькуляция», «калькулятор»   произошли   именно   от   счета   камешков, разложенных на песке или на счетной доске – абаке). Числа­камешки   раскладывались   в   виде правильных   геометрических   фигур;   эти   фигуры классифицировались.   Так   возникли   числа,   сегодня именуемые фигурными. ...Прошло  20 лет.  Слава  о  братстве   разнеслась  по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством. [2, 3] Поработав   с   биографией   ученого,   я   узнала   много интересного о жизни этого замечательного человека, но для меня   остался   открытым   вопрос   о   происхождении   теоремы, названной   в   честь   ученого,   о   способах   доказательства   и   ее применении.  Теорема Пифагора и способы её доказательства. «Теорема   Пифагора   имеет   множество   других   названий: «теорема невесты», «теорема нимфы», «теорема бабочки», «теорема ста быков», «бегство убогих».   Зато   не   найти   никакой   другой   теоремы,   имеющей столько всевозможных названий. Во Франции и Германии в Средневековье   теорему   Пифагора     называли   «мостом ослов»   или   «бегством   убогих»,   потому   что   перед экзаменом, содержащим вопросы по этой теме, начинался массовый   отток   нерадивых   студентов.   У   математиков арабского   Востока   эта   теорема   получило   интересное название – «теорема невесты». Дело в том, что в некоторых списках   «Начал»   Эвклида   эта   теорема   называлась «теоремой   нимфы»   за   сходство   чертежа   с   пчёлкой, бабочкой (по­гречески – «нимфа»). Но   словом   «нимфа» греки называли ещё и некоторых богинь, а также молодых женщин и невест.  При   переводе   с   греческого   арабский   переводчик,   не обратив внимания на чертёж, перевёл  слово «нимфа»  как «невеста», а не   как «бабочка». Так появилось ласковое название   знаменитой   теоремы   Пифагора   –   «теорема невесты».  8

Какие   тайны   содержит   теорема   Пифагора,   чтобы посвящать ей   написание данной работы: 1)  Во­первых,   это   символ   математики.   «Великий Гаусс   предлагал   её   использовать   в   качестве   первого сообщения внеземным цивилизациям  о существовании  на Земле разумной жизни, проведя в лесах России огромные вырубки   в   форме     «пифагоровых   штанов»,   чтобы   этот чертёж видно было из космоса».  2)  Во­вторых, теорема Пифагора представляет  нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной   деятельности,   основы   теоретического мышления,   которым   в   совершенстве   владеют   многие учёные.  Теорема   Пифагора   –   важнейшее   утверждение геометрии. Формулируется следующим образом: площадь квадрата,   построенного   на   гипотенузе   прямоугольного треугольника,   равна   сумме   площадей   квадратов, построенных на его катетах. Обычно   открытие   этого   утверждения   приписывают древнегреческому   философу   и     математику   Пифагору Самосскому   (VI  в.   до   н.э.).     Но   изучение   вавилонских клинописных   таблиц   и   древних   китайских   рукописей (копий   ещё   более   древних   манускриптов)   показало,   что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно, за несколько тысячелетий до него.  «О   наиболее   известном   частном   случае   теоремы   – «египетском треугольнике» со сторонами 3,4 и 5 говорится в   папирусе,   который   историки   относят   к   2000   году   до н.э.».   «Более   25   веков   знаменитая   теорема   Пифагора   существует известна   людям».   В   настоящее   несколько  сотен  доказательств этой теоремы».    время   Заслуга   же   Пифагора   состояла   в   том,   что   учёный первым открыл доказательство этой теоремы.     Открытие теоремы   Пифагором   окружено   множеством   красивых легенд.   Прокл,   комментируя   последнее   предложение первой  книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять  древние легенды, то придется сказать,   что   эта   теорема   восходит   к   Пифагору; рассказывают,   что   он   в   честь   этого   открытия   принес   в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови 9

было   чуждо   уставу   пифагорейского   ордена,   легенда   эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.      Так, оптимист Михаил Ломоносов    писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на   жертву   сто   волов.   Но   ежели   бы   за   найденные   в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной   его   ревности   поступать,   то   едва   бы   в   целом свете столько рогатого скота сыскалось».                                     А   вот   ироничный   Генрих   Гейне   видел развитие   той   же   ситуации   несколько   иначе:   «Кто   знает! Кто   знает!   Возможно,   душа   Пифагора   переселилась   в беднягу   кандидата,   который   не   смог   доказать   теорему Пифагора и провалился из­за этого на экзаменах, тогда как в   его   экзаменаторах   обитают   души   тех   быков,   которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».  Вот   как   звучит   знаменитая   теорема   Пифагора   в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.  У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):  «В   прямоугольном   треугольнике   квадрат   стороны, натянутой   над   прямым   углом,   равен   квадратам   на сторонах, заключающих прямой угол». «Латинский   перевод   арабского   текста   Аннаирици (около 900 г. до н.э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало XII века), в переводе на русский язык гласит:  10

«Во   всяком   прямоугольном   треугольнике   квадрат, образованный   на  стороне,  натянутой   над   прямым   углом, равен   сумме   двух   квадратов,   образованных   на   двух сторонах, заключающих прямой угол». В   Geometria   Culmonensis   (ок.   1400   г.)   в   переводе теорема читается так:  «Итак,  площадь  квадрата,  измеренного  по   длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу». В  первом  русском  переводе  евклидовых    «Начал», сделанном   Ф.И.   Петрушевским,   теорема   Пифагора изложена так:  «В   прямоугольных   треугольниках   квадрат   из стороны,   противолежащей   прямому   углу,   равен   сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол». 1                 В   настоящее   время   теорема   звучит   так:   В прямоугольном   треугольнике   квадрат   гипотенузы   равен сумме квадратов катетов». Способы доказательств теоремы Пифагора. Со   времён   Пифагора   появилось   несколько   сотен доказательств (более 350)   его знаменитой  теоремы, так что она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса. Однако принципиально   различных   идей   в   этих   доказательствах используется сравнительно немного. Простейшее   доказательство  теоремы получается   в   простейшем   случае   равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто   посмотреть   на   мозаику   равнобедренных прямоугольных   треугольников,   чтобы   убедиться   в справедливости   теоремы.   Например,   для   треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 1 11

исходных   треугольника,   а   квадраты,   построенные   на катетах ­ по два.  Существует   целый   ряд   доказательств   теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на   чертеж;   рассуждение   здесь   может   быть   ограничено единственным   словом:   "Смотри!",   как   это   делалось   в сочинениях   древних   индусских   математиков.   Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать   полным,   пока   мы   не   доказали   равенства   всех соответствующих   друг   другу   частей.   Это   почти   всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом   количестве   частей)   потребовать   довольно продолжительной работы. Доказательство   Эйнштейна (рис. 1). Его преимуществом   является   то,   что   здесь   в   качестве   составных   частей разложения   фигурируют   исключительно   треугольники. Чтобы   разобраться   в   чертеже,   заметим,   что   прямая   CD проведена перпендикулярно прямой EF. Точки  E,  C  и  F лежат   на   одной   прямой;       это     следует   из   несложных расчётов градусной меры угла  ECF  (он развёрнутый). CD проводим перпендикулярно   EF. Продолжим вверх левую и правую стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до   пересечения   с   EF,   и   продолжим   сторону     ЕА     до пересечения   с  CD.   Соответственно   равные   треугольники рис. 2 12

одинаково   пронумерованы  .Ри Древнекитайское доказательство. Ключ к этому доказательству   подобрать   нетрудно.   В   самом   деле,   на древнекитайском   чертеже   четыре  равных   прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний  —  квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 2, б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.  2,  в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2.   Теорема   доказана.   Заметим,   что   при   таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не   используются.   древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника   По­видимому, 13

Рис. 3 (рис.   2,  б)   отрезать   и   приложить   гипотенузами   к   двум другим гипотенузам (рис.  2,  г), то легко обнаружить, что полученная   фигура,   которую   иногда   называют   «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и  b, т.е. с2=а2+Ь2.     На   рисунке  3 воспроизведен   чертеж   из трактата «Чжоу­би...». Здесь   теорема   Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5  единиц   измерения. Квадрат   на   гипотенузе содержит  25  клеток,   а вписанный   в   него   квадрат на   большем   катете—16. Ясно,   что   ставшаяся   часть содержит  9  клеток.   Это   и будет   квадрат   на   меньшем катете.  Рис. 4 Рис3 Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора   достаточно   использовать   внутреннюю   часть древнекитайского   чертежа.   В   написанном   на   пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего   индийского   математика  XII  в.   Бхаскары 14

Рис. 5   треугольники   уложены   помещен чертеж (рис. 4,  а) с характерным для индийских доказательств   словом   «смотри!».   Как   видим, здесь прямоугольньные гипотенузой наружу и квадрат с2  перекладывается   в «кресло невесты»   а2­b2  (рис.  4,  б). Заметим,   что   частные   случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого   вдвое   больше площади   данного   квадрата) встречаются в древнеиндийском   трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до   н.э.).   BC==BD  и  FBC=d+ABC=ABD. Доказательство   Евклида  приведено   в предложении  47 первой  книги «Начал». На гипотенузе и катетах   прямоугольного   треугольника   АВС   строятся соответствующие   квадраты   (рис.  5)  и   доказывается,   что прямоугольник  BJLD  равновелик   квадрату  ABFH,   а прямоугольник  ICEL  —  квадрату   АС   КС.   Тогда   сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и  BFC  равны   по   двум   сторонам   и   углу   между   ними: FB=AB,   Но SABD=1/2  SBJLD,   так   как   у   треугольника  ABD  и прямоугольника  BJLD  общее   основание  BD  и   общая высота  LD.   Аналогично  SFBC=1\2  SABFH  (BF—общее основание,   АВ—общая   высота).   Отсюда,   учитывая,   что SABD=SFBC  ,   имеем  SBJLD=  SABFH.   Аналогично, используя   равенство   треугольников   ВСК.   и   АСЕ,   Итак, доказывается, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL=  SBCED    что   и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с   древнекитайским   или   древнеиндийским   выглядит чрезмерно   сложным.   По   этой   причине   его   нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно.   Теорема   Пифагора   у   Евклида   является заключительным   звеном   в   цепи   предложений  1­й   книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее   доказанных   предложениях,   Евклиду   нужен   был  SJCEL=SACKG.   что , 15

именно выбранный им путь.  Далее   я   хочу   предложить   несколько алгебраических доказательств теоремы. Пусть   Т—  прямоугольный   треугольник   с катетами а,  b  и гипотенузой с (рис.  6,  а). Докажем, что с2=а2+Ь2. Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата  Q  возьмем точки А, В, С,  D  так, чтобы отрезки АВ, ВС,  CD,  DA  отсекали от квадрата  Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник  ABCD  обозначим   буквой   Р.   Покажем, что Р — квадрат со стороной с. Все   треугольники   Т1,   Т2,   Т3,   Т4    равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть    и  —  величины   острых   углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, += 90°. Угол у при   вершине   А   четырехугольника   Р.     вместе   с   углами, равными    и  ,   составляет   развернутый   угол.   Поэтому +=180°.  И так как  +=  90°,  то  =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с. Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р   со   стороной   с   и   четырех   треугольников,   равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) . Так как  S(Q)=(a+b)2  ;  S(P)=c2  и  S(T)=1/2(ab), то, подставляя   эти   выражения   в  S(Q)=S(P)+4S(T),  получаем равенство (a+b)   2=c2+4*(1/2)ab  .   Поскольку 16

(a+b)2=a2+b2+2ab, то равенство  (a+b)2=c2+4*(1/2)ab  можно записать так: a2+b2+2ab=c2+2ab. с2=а2+Ь2. Из   равенства  a2+b2+2ab=c2+2ab  следует,   что Ч.Т.Д.  На   рис.   2 изображено   два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b.   Каждый   из   квадратов   разбит   на   части,   состоящие   из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от   площади   квадрата   отнять   учетверенную   площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные   площади,   т.   е.   c2  =   a2  +   b2.   Впрочем,   древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали   его,   а   сопровождали   чертеж   лишь   одним словом:   «смотри!»   Вполне   возможно,   что   такое   же доказательство предложил и Пифагор.  Векторное доказательство. Пусть   АВС   ­   прямоугольный   треугольник   с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда   справедливо   векторное   равенство:   b+c=a   откуда имеем, что c = a – b. Возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²­2ab. Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b². Нами снова доказана теорема Пифагора. Рис 8 17

задач. Область применения. Теорема   Пифагора   всегда   имела   широкое применение   при   решении   самых   разнообразных геометрических   Предлагаю некоторые из них.«В зданиях романского и готического стиля            верхние   части     окон   расчленяются каменными   рёбрами,   которые   не   только играют роль орнамента, но и            способствуют   прочности   окон.   На рисунке   представлен   простой   пример такого   окна   в   готическом   стиле.   Способ построения   его   весьма   прост:   из   рисунка легко   найти   центры   шести   дуг   окружностей,   радиусы которых равны:       1) ширине окна b для  наружных  дуг  и  2) половине        ширины, то есть   b/2 – для  внутренних дуг. Остаётся ещё полная окружность, касающаяся четырёх  дуг. Так как она   заключена   между   двумя   концентрическими окружностями,   то   её   диаметр   равен   расстоянию   между этими окружностями, т.е.   b/2    и, следовательно, радиус равен  b/4.   Тогда   становится   ясным   и   положение   её центров.              В рассмотренном примере радиусы находились без всяких   затруднений.   В   других   аналогичных   примерах могут   потребоваться   вычисления;   рассмотрим,   как применяется   в   таких   задачах   теорема     Пифагора.            В романской архитектуре часто встречается мотив,    этом   рисунке.   представленный   на                      Рис. 13           Рис. 14 а, б   Если b по­прежнему обозначает ширину окна,     то радиусы полуокружностей будут равны  18

R=b/2    и      r   =b/4.   Радиус  ρ   прямоугольного   треугольника,   внутренней       окружности можно вычислить из    изображённого     на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого        треугольника,   проходящая   через точку касания       окружностей, равна  b/4+ρ, один катет равен  b/4, а     другой  b/2­ρ». 2  По теореме Пифагора имеем:  (b/4+ )ρ 2=(b/4)2+(b/2­ )ρ 2 ρ2=b2/16+b2/4­b +ρ ρ2, или   b2/16+b  /2+ρ          откуда  b /2=ρ члены, получим:  b2/4 – b . ρ    Разделив на b  приводя подобные p/2 = b/4 – p,  p/2 + p = b/4;  0,5 p +p = b/4,  1,5 p=b/4  и =ρ b/6. 2) А прямой угол при геодезических измерениях отмечают на   местности   колышками   с   помощью   верёвки.   Если   её разметить углами на местности размером 3, 4 и 5 метров и образовать   из   верёвки   прямоугольный   треугольник   с соответственными   длинами   сторон,   то   он   будет   Прямоугольные   треугольники   с прямоугольным. целочисленными   длинами   называются пифагоровыми треугольниками.  сторон   «Численные   значения     длин   сторон   образуют   так называемые   пифагоровы   тройки   чисел.   Пифагоровы тройки чисел – это (3; 4; 5);  (5; 12; 13), …, так как  3² =4² + 5²,   5² +12² = 13² … Если (а, b, с) – пифагорова тройка чисел, то (ka; kb; kc) также пифагорова тройка для каждого k = 1, 2, … Следующие   тройки   пифагоровых   чисел   можно образовать по формулам, которые известны уже 2000 лет: a= mn b= 1/2 (m² – n²)                c= 1/2  (m² + n²), где m, n – нечётные и взаимно простые, m > n». 3 2 3 19

3) (Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.).  На  берегу  ручья, ширина  которого 4  фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья   (ствол   направлен   перпендикулярно   течению). Определить высоту тополя. Решение.  1) AB2    AB   =   5, 2) 5 + 3 = 8 (футов) – высота тополя. Ответ:  высота поля 8 футов  =   AC2  +   BC2,     из 4) (Задача старинного китайского   трактата.)   В   середине квадратного   озера   со   стороной   10   футов растет   тростник,   выходящий   из   воды   на   1 фут.   Если   нагнуть   тростник,   вершина достигнет берега. Какова глубина озера? Дано: BC = 5 футов, BK = 1 фут. Найти: AB. Решение. 1) Пусть AB = x, BC = 5, AC = x + 1. 2) Из D ABC по теореме Пифагора имеем  (x + 1)2 = x2 + 52. x2 +2x+1=x2+25 2x=24 х=12 Ответ: глубина озера 12 футов. Задача   4).   Боковая   сторона   равнобедренного треугольника   равна   17   см,   а   основание   равно   16   см. Найдите высоту, проведенную к основанию. В А Н С 20

Т.к   треугольник   равнобедренный,   то   высота, опущенная   к   основанию   будет   являться   и   медианой,   по   что   она   делит свойству   медианы   мы   знаем, противоположную   сторону   пополам,   следовательно, АН=1/2АС,  АН=8. По  теореме  Пифагора  АВ2=ВН2+АН2, ВН2=АВ2­АН2,   ВН2=172­82,ВН2=289­64=225,   ВН=15.Ответ: высота   треугольника   равна   15.   Задача   5).   Диагональ   d прямоугольника  со сторонами а и b вычисляется подобно тому,   как   вычисляется   гипотенуза   прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b². Великие тайны теоремы Пифагора Самосского. Первая   тайна       А теперь я хотела бы рассказать Вам о тайнах теоремы. заключается   в   таком   множестве названий: «теорема бабочки»,  «т. невесты», «т. нимфы», « т. 100 быков», «бегство убогих», «мост ослов», «ветряная мельница». Думаю, что не найти другой теоремы, которая имела бы столько всевозможных названий! Вторая тайна  – точно неустановленное количество доказательств знаменитой теоремы Пифагора Самосского. Именно   по   этому   поводу   я   решила   провести социологический опрос, который показал, что большинство 21

людей старшего поколения согласны с существованием 250 доказательств,   хотя   мне   из   дополнительных   источников известно,   что   существует   более   350   доказательств   этой теоремы,   поэтому   она   даже   попала   в   Книгу   рекордов Гиннеса! Но, конечно же, принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного. Третья   тайна  –    это   то,   что   теорема   Пифагора является сегодня символом математики, как я уже сказала ранее.  Четвёртая тайна –  теорема Пифагора представляет нам   богатейший   материал   для   обобщения   –   важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления,   которым   в   совершенстве   владеют   многие учёные. Здесь можно добавить, что от теоремы Пифагора можно перейти к теореме косинусов. Пятая   тайна  заключается   в   том,   что   некоторые исследователи   приписывают   Пифагору   доказательство, которое Евклид приводил в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл (математик  V  в.) утверждал, что доказательство   в   «Началах»   принадлежало   самому Евклиду.   Но   всё­таки   сегодня   способ   доказательства Пифагора остаётся неизвестным. Шестая   тайна  –   легенды   о   самом   Пифагоре, человеке,   который   первым   доказал   эту   теорему. Существует   легенда,   что   когда   Пифагор   Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о  гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных   городах,   между   которыми   было   несколько   дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо  фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий. А некоторые вообще считали его фигуру вымышленной. Но Пифагор жил на свете, хоть и очень давно, в VI веке до н.э. Всё это говорит о том, что теорема содержит много тайн, некоторые из них я смогла осветить и объяснить.                                         22

Заключение.             Поработав с данной темой, я сделала вывод, что     теорема   Пифагора   действительно   занимает   важное место   в   математике,   с   ее   помощью   можно   вывести большинство   теорем   геометрии   и   решить   множество   не только математических   задач. Было интересно узнать о том,   что   ещё   до   нашей   эры   ею   пользовались.     Мне понравилось разбираться в разных способах доказательств. К   сожалению,   невозможно   здесь   привести   все   или   даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться,   что   приведенные   примеры   убедительно 23

свидетельствуют   об   огромном   интересе   сегодня,   да   и вчера,   проявляемом   по  отношению   к  ней.  Также  я   сама убедилась   в   том,   что   этот   человек   действительно необыкновенный,  ведь   именно   он   проводил   собрания,  на которых   собиралось   невероятно   большое   количество людей, именно этот человек создал пифагорейскую школу.      В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит  от  развития  различных  направлений  математики. Так, например, на рынке мобильной связи идёт большая конкуренция среди операторов. Чем надёжнее связь, тем больше   операторов.   При   строительстве   вышки  (антенны) часто   приходится   решать   задачу   об   определении наибольшей высоты антенны, используя теорему Пифагора Самосского.     Это еще раз доказывает значимость данной теоремы.            Прошло уже много лет с того момента, когда эта теорема была впервые открыта и доказана, но она до сих пор   продолжает   привлекать   внимание   многих исследователей, учёных, учеников…      Ученики 7 – 8 классов во всех школах изучают теорему Пифагора.   И   затем   применяют   её   для   решения   задач   в старших   классах.   Но   кроме   этого   практического применения в геометрии ещё существуют и другие  области применения теоремы: физика, литература, архитектура и т.д.  Кроме этого вопрос о количестве доказательств теоремы Пифагора является  сегодня довольно актуальным, именно поэтому я решила провести социологический опрос.   Также теорема содержит много тайн, некоторые из них я смогла осветить и объяснить.      При работе над данной темой главной сложностью для меня   был   не   поиск   материала,   а   отбор   главного, раскрывающего суть поставленных мною задач.      Практическая значимость моей работы заключается  в том,   что   предпринятая   мною   попытка   открыть   тайны теоремы   Пифагора   через   подробный   разбор   истории теоремы,   некоторых   её   доказательств   и   областей применения    поможет  учащимся  школ, гимназий,  лицеев систематизировать свои знания по геометрии. 24

Считаю, что собранный мной материал, может служить как справочное пособие на уроках геометрии, на различных спецкурсах, викторинах, конкурсах.    Библиографический список облегчит поиск необходимой литературы. А   приложения   могут   быть   использованы   на   уроках геометрии,   как   различных   иллюстративный материал.  Думаю, что моя цель достигнута, и все задачи выполнены.   викторинах,   играх, 25

Приложения Вопрос 1: Кто был первым «открывателем теоремы» Пифагора: Пифагор Самосский или египтяне?  7 Пифагор Египтяне 20 26

Вопрос 2: Сколько существует доказательств теоремы  Пифагора: ок. 50; 100; 250; более 350 доказательств? Êî ë­âî  ÷åëî âåê 16 14 12 10 8 6 4 2 0 î ê. 50  100  250  áî ëåå 350  äî êàçàòåëüñòâ äî êàçàòåëüñòâ äî êàçàòåëüñòâ äî êàçàòåëüñòâ Ðÿä1 3 7 15 9 Êî ë­âî  äî êàçàòåëüñòâ

Отчёт по результатам социологического опроса Социологический опрос проводился среди людей старшего поколения с  целью выявить, какое количество доказательств знают не учёные и  не  исследователи данного вопроса, а обыкновенные люди. А вот и результаты: Социологический опрос  Вопрос 1: На вопрос: «Кто был первым «открывателем» теоремы Пифагора:  Пифагор Самосский или египтяне?»  ответили 27 человек, из которых  большинство (20 человек) сказали, что первыми «открывателями» знаменитой теоремы были египтяне, остальные утверждали, что именно Пифагор  Самосский открыл эту теорему. Эти данные говорят о том, что большинство  людей всё­таки знают или догадываются, что Пифагор первым вывел  доказательство этой теоремы, которая носит сегодня его имя, но не был 1 её  «открывателем». Вопрос 2:  На второй мой вопрос: «Сколько существует доказательств теоремы   ; 250; более   350      100     доказательств?» ответили  34 человека. Пифагора: ок. 50;    Из них большинство (15 человек) согласны с тем, что существует 250  доказательств теоремы Пифагора, меньшинство (3 человека) сказали, что на  сегодняшний день известно всего лишь 50 доказательств, и только 9 человек  правильно ответили на мой вопрос, сказав, что сегодня известно более 350  доказательств этой теоремы. Исходя из полученной информации, можно  сделать вывод о том, что людям старшего поколения не известно точное  количество доказательств теоремы Пифагора Самосского: может быть, их это не интересует, хотя мне кажется, что такая известная теорема должна  особенно привлекать внимание населения.   Я довольна тем, что провела социологический опрос и вполне  удовлетворена его результатами.   1

1. 2. 3. 4. 5. ЛИТЕРАТУРА “Задачи и упражнения по математическому  анализу” под редакцией Б.П.Демидовича.  Волошин А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993. Газета «Математика», № 21, 2006. “Энциклопедический словарь юного  математика” А.П.   Юшкевич   «История   математики   в   средние века»  М., 1961. 2