Подготовка к олимпиадам " Целые числа"

 Целые числа.

На математических олимпиадах последних лет достаточно часто встречались задачи на зачеркивание первой или последней цифры в натуральном числе так, чтобы число при этом уменьшилось в заданное число раз. При решении таких задач удобно выделять зачеркиваемую цифру, обозначив ее, скажем, через а        (0 ≤ а ≤ 9); если при этом отметить оставшуюся часть числа через b (b, вообще говоря, многозначное число), то используя условие задачи, получаем некоторое уравнение, связывающее  а   и   b.

1. Укажите все четырехзначные числа, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 5 раз.

Решение. Обозначив через а первую цифру, а через b - оставшуюся часть четырехзначного числа, можем записать исходное число в виде 1000а + b, где       1 ≤ а ≤ 9, а 0 ≤ b ≤ 999, из условия задачи получаем соот­ношение 1000а + b = 5 b или 250а = b, причем 1 ≤ а ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 999. Подставляя последовательно а = 1,2,3 и замечая, что при а = 4 число 250а перестает быть трехзначным, получаем, что задача имеет три решения 1250; 2500; 3750.

2.    Какие натуральные числа уменьшаются в 13 раз при зачеркивании последней цифры.

Решение. Пусть а - число десятков, b - число единиц искомого числа (0 ≤ b ≤ 9), тогда это число имеет вид 10а + b. Поэтому из условия задачи получаем, что     10а + b = 13а или 3а = b (0 ≤ b ≤ 9). Подставляя последовательно а = 1,2,3 (при а = 4, b > 9) имеем, что все решения данной задачи находятся среди двузначных чисел, а именно 13; 26; 39.

Описанный выше метод бывает эффективным и при решении задач на числа, в которые дополнительно вставляется та или иная цифра.

3.    Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в

 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

Решение. Пусть исходное число 10а + b, где b - цифра единиц. По условию девятикратное число равно 100а + b. Итак, 9(10а + b) = 100а + b, откуда 10а = 8b или 5а = 4b, т.е. b делится на 5, но b - цифра, значит, b = 0 или b = 5. Если b = 0, то а = 0 и число было бы нулем, т.е. число 10а + b не натуральное; значит, b = 5, откуда 5а = 20, а = 4. Итак, единственное искомое число 45.

Достаточно часто встречаются задачи, условия которых связаны с перестановкой цифр искомого числа.

4. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести на первое место, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найдите это число.

Решение. Пусть искомое трехзначное число равно п. Тогда п = 100а + +10b + 3, где а - цифра сотен, b - цифра десятков числа п. При переносе цифры 3 на первое место получим новое число 300 + 10а + b. Согласно условию задачи имеем       300 + 10а + b = 3(100а + 10 b + 3) + 1 или 290 = 290а + 29b. Сокращаем на 29:     10 = 10а + b. Так как а и b цифры, то ясно, что  а = 1, b = 0. В итоге получаем, что  п = 103.

5. Найдите четырехзначное число, которое в четыре раза меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.

Решение. Пусть a,b,c,d - значащие цифры искомого числа. На основе условия задачи составим уравнение

4(1000а + 100b + 10с + d) = 1000d + 100с + 10b + а.

В левой части уравнения стоит четное число (кратное 4), значит, последняя цифра а числа, стоящего в правой части уравнения, четная. Сравнивая множители слева и справа при 1000, видим, что 4а < 9. Следовательно, единственно возможное значение для а : а = 2. Так как последней значащей цифрой числа 4d является а = 2 и d ≥ 4а, то единственное возможное значение для d : d = 8. Подставляем найденные a и d в уравнение, получаем 4(2000+100b +10с+8) = 8000+100c+10b +2. После преобразований приходим к соотношению 13b = 2с - 1. Так как 13b ≥ 13, а 2с - 1 ≤ 17, ибо с ≤ 9, то последнему уравнению удовлетворяет единственная пара чисел b = 1, с = 7. Таким образом, искомое четырехзначное число равно 2178.

При решении некоторых задач на целые числа полезной является формула       а² - b² = (а - b)(а + b), а также то, что числа а - b и а + b одной четности (т.е. если одно из них четное, то и второе - четное, если одно из них нечетное, то и второе - нечетное). Этот факт вытекает из равенства а + b = (а - b) + 2b.

6. Можно ли число 1990 представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел?

Решение. Если бы было 1990 = т² - п² = (т - п)(т + п), то в силу четности 1990 произведение (т - п)(т + п) было бы четным. Но тогда оба сомножителя т - п и  т + п были бы четными и произведение (т+п)(т - п) делилось бы на 4, тогда как 1990 на 4 не делится. Противоречие. Следовательно, 1990 нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

7. Найдите все пары натуральных чисел (т, п), удовлетворяющие уравнению   19т + 92п = 1992.

Решение. 19т + 92п = 1900 + 92. Тогда 19(1000 - т) = 92(п - 1). Так как левая часть последнего равенства делится на 19, то на 19 делится и правая часть. Но 19 - простое число и так как 92 на 19 не делится, то на 19 делится число п - 1, т.е.        п - 1 = 19к, где к - целое число. Тогда 19(100 — т) = 92 * 19k-. Но по условию т и п - натуральные числа, поэтому 19k + 1 ≥ 1, 100 — 92к > 0, что выполняется лишь при к = 0 и к = 1. При к = 0 будет п = 1, т = 100, а при к = 1 - п = 20, т = 8.

 Ответ: (100,1); (8,20).

8. Пусть  S_n - сумма всех положительных делителей натурального числа  п. Докажите, что если  п  делится на 12, то  S_n > 2п.

Решение. Число  п  можно представить в виде  п = 12к, где  к - натуральное число. Тогда среди делителей числа п будут числа к,2к,3к,4к,6к и 12к  (могут быть, разумеется, и другие делители). Поэтому, S_n ≥ к + 2к + 3к + 4к + 6к + 12k = 28к > 24к = 2n.

Имеется немало задач, в которых встречается символ п!. Этим символом обозначают натуральное число, равное произведению первых п натуральных чисел  п! = 1 • 2 • 3 •... • п.

9 .   Найдите все натуральные т и п, для которых  1! + 2! + .. . + п! = т².

Решение. Это равенство выполняется при п = 1 (тогда m = 1) и

 п = 3 (тогда m = 3). Таким образом найдены два решения:

п₁ = 1, т₁ = 1; п₂ = 3,т₂ = 3. Заметим, что при п = 2 имеем 1! + 2! = 3 ≠ т² и при     п = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 ≠ т². Если же n ≥ 5, то (так как 5!, 6!,... ,п! делятся на 10) 5!+ 6! + .. . + п! = 10N. Но тогда сумма 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + п! = 33 + 10N будет числом, оканчивающимся цифрой 3. Значит, оно не является квадроатом целого числа. Ответ: п₁ = 1, m₁ = 1, п₂ = 3, т₂ — 3.

Задачи для самостоятельного решения

1.   Укажите все четырехзначные числа, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются: а) в 3 раза; б) в 6 раз; в) в 9 раз.

2.   Укажите все натуральные числа, которые при зачеркивании последней цифры уменьшаются: а) в 12 раз; б) в 15 раз.

3.   Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 6 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

4.   К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Сколько решений имеет задача?

5.   Укажите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить единицу.

6.   Число 1985 представьте в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Найдите все решения.

7.   Пусть А - семизначное число, В - число, полученное из А перестановкой его цифр. Может ли оказаться так, что все цифры числа А+В равны 9?

8.   Найдите все пары целых чисел (х,у), удовлетворяющие уравнению

                                                       х² = у² + 2у + 13.

9. Найдите все целые значения  п, для которых число  -  целое.

10. Докажите, что не существует целых чисел  х и у, обращающих в тождество уравнение  3х² - 4у² = 13.

11. Решите в целых числах уравнение  ух = у + х.

12. Решите в целых числах уравнение  6х² + 5у² = 74.

Решения и ответы задач, предложенных для самостоятельного решения

    1. Пользуясь схемой примера 1, получаем основное соотношение в виде

1000а + b = kb, 0 ≤ 6 ≤ 999, причем в первом случае k = 3, во втором -k = 6, в третьем - k = 9.

а)  500а = b, значит а = 1, b = 500, ответ: 1500.

б) 200а = b, а = 1,2,3,4, решение: 1200, 2400, 3600, 4800.

в) 125а = b, а = 1,2,3,4,5,6,7, решение: 1125, 2250, 3375, 4500, 5625, 6750,7875.

2. Повторяется дословно решение, предложенное в примере 2, получаем следующие ответы: а) 12, 24, 36, 48; б) 15.

3. Следуя схеме решения примера 3, после обозначения целого числа в виде  10а + b, где  b - цифра единиц, получаем следующее соотношение 6(10а + b) = 100а+ b или b = 8а, единственная возможность а = 1, значит b = 8. Таким образом, ответ: 18.

4.  Если обозначим через  x  цифру, которую бы будем приписывать слева, а через  у  цифру, приписываемую справа, то получим число вида x15y (1 ≤ х ≤ 9,  0 ≤ у ≤ 9), которое должно делиться на 45. Это будет выполняться, когда число одновременно будет делиться на 5 и на 9. Используя признаки делимости на 5 и на 9 получаем, что у = 0 или у = 5 и x + l + 5 + y делится на 9.

а) у = 0, х + 6 делится на 9 лишь для х = 3, следовательно, решением будет число 3150.

б) у = 5, х + 6 + 5 делится на 9 при х = 7, решением в этом случае будет число 7155.

Таким образом, задача имеет два решения: 3150 и 7155.

5. Основное соотношение в этой задаче в отличие от примера 3 примет следующий вид

 9(10а + b) = 10(10а + 1) + b (0 ≤ b ≤ 9) или 10а + 10 = 8b, 5а + 5 = 4b. Левая часть делится на 5, значит, правая часть должна делиться на 5, т.е. b = 5, значит, а = 3, в итоге получаем ответ: 35.

6.     Пусть т и п искомые числа. Тогда т² - п² = 1985. Но т² - п² = (т — п)(т + п), а 1985 можно разложить на множители таким образом: 1985 = 1 • 1985 или 1985 = 5 • 397.

Число 397 простое, поэтому других разложений не существует. Составляем две системы уравнений:

             т - п = 1                                 т - п = 5

            т + п = 1985                          m + п = 397

Их решения: т = 993, п = 992   и   т = 201, п = 136. Других решений нет.

7.  Ответ: нет. Если бы эта случилось, то сумма цифр числа А+В равнялась бы 63, с другой стороны, эта сумма должна быть четной, ибо число В состоит из тех же цифр, что и А.

Здесь нужно обратить внимание на один важный момент. Вообще говоря, сумма цифр числа А+В не обязана быть равной сумме цифр числа А плюс сумма цифр числа В (простой пример: А=1255567, В=7655521). Однако, в данном случае это должно иметь место в силу того, что сумма цифр А и В в каждом разряде не может быть больше 9.

8.  Уравнение можно переписать в виде х² * (у +1)² = 12. Далее можно использовать схему решения задачи 6 выше.

9.   Так как   = (п + 1) + , то искомое значение   п   находим,

учитывая, что при   n > 3 будет  0 <  < 1, а при  n < - 2 - - 1 <  <0; поэтому решений четыре: п = -1, 0, 2, 3.

10. Рассмотрите отдельно случаи четного и нечетного  х.

11.  Данное уравнение можно записать в виде   ху - х - у + 1 = 1   или (х - 1)(у - 1) = 1. Произведение двух целых чисел равно 1.  Значит, оба равны 1 или -1; следовательно, или

х - 1 = у - 1 = 1   и   x = y = 2, или х - 1 = y - 1 = -1   и  х = у = 0. Ответ: (0,0); (2,2).

12. Так как  х²,  y² ≤ 15   и   у   должно быть четным, то возможные значения для у - это 0, ±2.     Подстановка в уравнение дает, что при у = ±2 х   принимает значения   ±3.

             Ответ: (3,-2), (3,2), (-3,-2)   и   (-3,2).