45°
75°
45°
15°75
°
75°
45°
60°
15°
AH BC , ∆AHB прямоугольный с углом 75°,
значит
45°
75°
75°
15°75
°
75°
45°
60°
15°
Угол <АHС1 =90°-75 ° =15 °.
В ∆АВС <С дан 45 °. Тогда
Решаем б) :найдём А1Н,если ВС=2√¯3
Пусть А1Н =х .
Х =A1B - HB = √¯3 - HB
Применим к ∆В1СА1 теорему синусов :
3
2/3
AB
11
2/2
CA
1
60
AB
11
45
sin
.2
;
sin
Тогда АВ=2 √¯2 .
AB
11
Применим к ∆С1НВ теорему синусов :
HB
30
sin
BC
1
75
sin
HB
1
2
sin:2
75
.(*)
Т.к. С1В= ½ АВ = √¯2 .
45°
60°
x
30°
75°
75°
60°
Вычислим синус 75 градусов как синус суммы
30 и 45 градусов :.
sin
75
sin
1
2
30
sin(
30
cos
45
2
3
2
2
)45
cos
30
2
2
2
4
1(
Подставим в (*), получим :,
sin
45
).3
HB
1
2
sin:2
75
)3
42
1(2
)3
2
1(2
31
1
1(
2
1
Отсюда : найдём А1Н= √¯3 – HB= √¯3 – √¯3 +1=1 .
.13
3
)3
3
Ответ к б): 1 .
ИТАК, Ответ : а) ч.т.д ; б) 1 .
Можно применить и теорему
косинусов:
Средние линии в любом треугольнике делят
его на четыре равных треугольника.
Полезное высказывание , оно доказывается
просто.
В этой задаче его тоже можно применить.