Подготовка к ЕГЭ 2017.задача 16 из Досрочного ЕГЭ по математике

ДРУГОЙ СПОСОБ ДРУГОЙ СПОСОБ

Сделаем чертёж так , чтобы АН-высота к ВС была расположена горизонтально. Рассмотрим четырёхугольник B1C1HA1 и вычислим сумму его противоположных углов

45° 75° 45° 15°75 ° 75° 45° 60° 15° AH  BC , ∆AHB прямоугольный с углом 75°,  значит 

45° 75° 75° 15°75 ° 75° 45° 60° 15° Угол <АHС1 =90°-75 ° =15 °. В ∆АВС  <С дан 45 °. Тогда

Решаем б) :найдём А1Н,если ВС=2√¯3 Пусть А1Н =х . Х =A1B - HB = √¯3 - HB Применим к ∆В1СА1 теорему синусов :  3 2/3  AB 11 2/2  CA 1  60  AB 11  45 sin .2 ; sin Тогда АВ=2 √¯2 . AB 11 Применим к ∆С1НВ теорему синусов : HB  30 sin  BC 1  75 sin  HB  1 2 sin:2  75 .(*) Т.к. С1В= ½ АВ = √¯2 .   45° 60° x 30° 75° 75° 60°

Вычислим синус 75 градусов как синус суммы 30 и 45 градусов :. sin  75 sin 1 2  30 sin(  30 cos 45 2 3 2 2 )45 cos    30 2 2 2 4   1( Подставим в (*), получим :,   sin 45  ).3 HB 1 2 sin:2 75   )3  42  1(2 )3  2  1(2  31   1  1( 2   1 Отсюда : найдём А1Н= √¯3 – HB= √¯3 – √¯3 +1=1 .  .13 3 )3  3 Ответ к б): 1 . ИТАК,  Ответ  : а) ч.т.д ; б) 1 .

Можно применить и теорему косинусов:

Средние линии в любом треугольнике делят его на четыре равных треугольника. Полезное высказывание , оно доказывается просто. В этой задаче его тоже можно применить.

Продолжение следует…