Пособие по теме Основные тригонометрические тождества

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»                                                                          ОБЛАСТИ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Для самостоятельной работы студентов По дисциплине: МАТЕМАТИКА: алгебра и начало математического Тема: «ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело   Курс: 1 анализа; геометрия (базовой подготовки)   Купино 2019  Рассмотрено на заседании   предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,  общему гуманитарному и социально­экономическому, математическому и  естественно­научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории  Тюменцева О.Н. Купино 2019 г Пояснительная записка к методическому пособию Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и  практических знаний по теме. Цель пособия – повторить понятия: тригонометрических функций, радианной  меры углов, таблицы значений тригонометрических функций,  формулы  перевода градусов в радианы и наоборот, основные тригонометрические  тождества и подготовится к занятию по теме «Основные тригонометрические  тождества». Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности  34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и  формулы по теме: Основные тригонометрические тождества, тест для  самоконтроля и ключи к тесту. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с  учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине. Основные тригонометрические тождества Соотношения между тригонометрическими функциями одного Формулы приведения Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции  аргумента α . Эти  можно выражать через углов вида  тригонометрические функции угла  формулы называются формулами приведения. Отложим от положительного направления оси абсцисс угол  Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между α  (см. рис. 2.4.2.1). Рисунок 2.4.2.1 осью ординат и радиус­вектором  Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси   равен  .α абсцисс и радиус­вектором   равен   Пусть координаты радиус­ вектора  как при отражении относительно прямойy = x ось абсцисс переходит в ось   будут (x; y), а координаты радиус­вектора   будут (x'; y'). Так ординат, то абсцисса радиус­вектора  и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с  помощью угла  α . Аналогичные формулы связывают   станет ординатой радиус­вектора  :α  x = cos  ,α  y = sin    координаты радиус­вектора  Так как x = y' и y = x', то получаем:   угол между которым и осью абсцисс равен – .α Рассмотрим радиус­вектор  Очевидно, что координаты этого радиус­вектора равны (x; –y). Но абсцисса и  ордината этого вектора есть синус и косинус угла – . Следовательно, α   Отсюда легко получить, что  Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс −  нечётные, а функция косинус − чётная. Заменим в формулах   и   угол  α  на – . Имеем α   Итак, доказано, что  Выполним следующие преобразования: Итак,  Аналогично доказываются формулы:  Из последних формул следует, что  Учтём теперь, что  Тогда из вышеприведённых формул следует:                Запишем все формулы приведения в виде таблицы. Пример 1 Упростите выражение: Таблица 2.4.2.1 Решение Имеем: Ответ: 2 cos x. Основные формулы Обратимся снова к тригонометрической окружности. Рисунок 2.4.2.2 Пусть точка A является концом радиус­вектора, отвечающего углу  также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:  α . Пусть  Но OA = 1,  OC = cos  теоремы Пифагора является равенство ,α   CA = sin α. Значит, непосредственным следствием Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством. Отсюда следует, что     Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол  .α Разделим основное тригонометрическое тождество на   Получим:  Разделим основное тригонометрическое тождество на   Получим:  Из определений тангенса и котангенса   следует:  Пример 2 Найдите sin x  и  cos x, если  Решение  и  Так как   то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем:  Ответ.  Пример 3 Упростить выражение:  Решение Ответ:  Формулы сложения Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус­  отвечающих углам  вектора   и рис. 2.4.2.3). Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций α  и –  (см. β Рисунок 2.4.2.3 равны:  длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя  способами: 1. По определению.   Поскольку это радиус­векторы, то их  поскольку угол между единичными векторами  2. Через координаты. Имеем:   и   равен α +  .β Итак, получена следующая формула сложения:  Заменим в этой формуле  β  на – . Получим ещё одну формулу. β   Имеем: Значит,  Заменим в этой формуле  β  на – , получим ещё одну формулу. β   Из этих формул непосредственно следует, что  Последняя формула справедлива при  Эта формула справедлива при  Заменяя в последних формулах  β  на – , получим ещё две формулы: β   Последняя формула справедлива  при Эта формула справедлива при  Пример 4 Упростите выражения: 1)  2)  Решение Имеем: 1)  2)  Ответ. 1) tg (x – y); 2) tg y. Формулы кратного аргумента Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических  функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α =  sin 2α = 2 sin α cos α; .β   Эти формулы называются формулами двойного угла. Воспользуется теперь второй из этих формул и основным  тригонометрическим тождеством. Получим: Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится  Если в формулах сложения положить, например, β = 2 , то  получим формулы кратного аргумента.  α Совершенно аналогично получается формула  Полученные формулы называются формулами кратного аргумента.  Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4 , 5  и т. д. Пример 1 α α Вычислите tg x, если  Решение Так как   то   Имеем:  Делаем замену t = tg x и получаем уравнение   корни  которого   Так как   то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно,  Ответ.  Пример 2 Упростите выражение Решение Ответ. −2. Универсальная подстановка Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:  Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается  Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:  Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде: Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции  могут быть рационально выражены через   а именно:  Говорят, что замена  основных тригонометрических функций. Формулы понижения степени Из формулы косинуса двойного угла   является универсальной подстановкой для  следуют формулы понижения степени:  Формулы половинного аргумента Если в последних формулах заменить  половинного аргумента:   наα    то получатся формулы  Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для  тангенса и котангенса. А именно: Совершенно аналогично получается формула  Преобразование произведения в сумму Запишем теперь две формулы сложения:  Сложим их:  Вычтем их:  Если рассмотреть две другие формулы сложения:  и сложить их, то получится  Три полученные формулы называются формулами преобразования  произведения в сумму. Преобразование суммы в произведение Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в  сумму в виде  Сделаем замену переменных: x = α –  ,β  y = α +  .β  Из этой замены следует,  что   и   и последняя формула имеет вид  Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования  суммы в произведение. Пример 3 Упростите выражения 1)  2)  Решение Имеем: 1)  2)  Ответ. 1)   2) 1. Тест по теме Основные тригонометрические тождества 1. Упростить выражение :  sin 2  cos   1  + cos       A) ­1              B) cos             C) 1              D) sin           E) sin 2       2.   Найти tg, если sin = – 4 5             A) 1 1 3             B)  3 4 ,  180 0  < < 270  0                           C) 1              D)  2 3                 E)  2 1(  cos cos  )   1)(  sin         3.  Упростить выражение:              A) cos         B) sin            C) tg          D) sin 2           E) cos 2       4.   Упростите выражение:              A)  ­ sin      B)  1                 C) cos        D) – cos         E) sin      5.  Вычислить:   cos  cos sin21   , если tg=   sin cos            sin sin     cos cos   2 5 3 7 3 7            B) 3                 C)                D) – 1                E) 1             A) ­       6. Известно, что tg +сtg = m. Найти tg 2 +сtg 2             A) m 2 – 2        B) m – 2         C) m – 4          D) m 2 + 2         E) m2      7. Вычислить: sincos, если sin + cos =1/3              A) 1                  B) – 1/3          C)4/9              D) ­1                 E) – 4/9      8.  Упростите: (sin + cos ) 2  + (sin ­ cos ) 2             A) 2                   B) 1               C) cos           D)  – cos       E) sin      9.  Зная, что sin + cos= 0,8 найдите: sincos            A) 0,2                 B) ­0,64         C) 0,64             D) 0,18             E) ­0,18      10.  Упростите выражение: cos4  +  sin2cos 2   и найти его значение при  tg= 2         A) 2                    B) 0,2            C) 1                   D) 5                 E) 0,5      11. Упростить: tg(­)сtg (­) + cos 2  (­) + sin 2            A)       12.  Вычислить: 2sin 30 0  ­  3 sin 60 0 сtg 45 0 tg 30 0 2                   B) 2                C) 1                  D) – 2               E)  3 1   2         A)  2  3 2            B)  3 4            C) – ( 2  3 )     D)  2  3      E) – 2  3 2 13.  Упростить выражение:   + tg ∙сtg   1 1   2 2 sin cos   1 1 2 sin           A) ­       B) 1             C)          D)        E) ­  cos Ключ к тесту по теме Основные тригонометрические тождества cos 1 2 sin 1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C A B Е А А Е А Е В В А D Критерии оценивания тестовых заданий 13 вопросов                    5 (отлично)                        (13­12 ответов) 13 вопросов                    4 (хорошо)                         (11­10 ответов) 13 вопросов                    3 (удов)                              (9­8 ответов) 1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018  2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл.  Литература – М.: 2012 1. http://school­collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в Интернет­ресурсы школе, XXI век». 2. http://fcior.edu.ru ­ информационные, тренировочные и контрольные  материалы. 3. www.school­collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых  образовательных ресурсов