Поверхность и объем шара. Комбинации шара.

Учитель МАОУ школа №12
г. Северодвинск Шкода Л.И.

Основные элементы шара:
R – радиус шара, d – диаметр шара, d = 2R
C –длина окружности большого круга, проходящего через центр шара C=2πR
 
S – площадь большого круга S = πR2
 
Sсф. – поверхность сферы (шара). Sсф.= 4πR2
 
V – объем шара. V = 4/3∙πR3

Площадь большого круга в шаре равна 3. Найдите площадь поверхности сферы.
Решение.
Sб.к = πR2 Sсф. = 4πR2 Sсф.= 4 Sб.к 4 · 3 =12 Ответ: 12.

Самостоятельно.
1.1. Площадь большого круга в шаре равна 13. Найдите площадь поверхности сферы.

1.2. Площадь большого круга в шаре равна 17. Найдите площадь поверхности сферы.

Во сколько раз увеличится поверхность сферы, если радиус сферы увеличился в 2,5 раза ?

Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус шара увеличился в 10 раз ?

Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус шара увеличился в 10 раз ?

Объем одного шара в 729 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение.
V = 4/3∙πR3 Sсф.= 4πR2 В формулу объема радиус входит в третьей степени. 𝟑 𝟕𝟐𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟕𝟐𝟗 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟑 𝟕𝟐𝟗 = 9. В 9 раз радиус первого шара больше радиуса второго шара. В формулу поверхности радиус входит во второй степени. 92 =81. Ответ : 81
Самостоятельно.
4.1. Объем одного шара в 512 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
4.2. Объем одного шара в 216 раз меньше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара меньше площади поверхности второго?

Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение.
Sш.= 4πR2 S = S1 +S2
S= 4π·32 2 + 4π·60 2 = 4π(1024 +3600)=4π·4624 = 4π·682 ; R = 68
Ответ: 68.
Самостоятельно.
5.1. Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
5.2. Радиусы двух шаров равны 8 и 15. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Объем шара равен 18432 π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π.
Решение.
V = 4/3∙πR3 V = 4/3∙πR3 = 18432π ; R3 = 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟐π · 𝟑 𝟒π 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟒𝟒𝟑𝟑𝟐𝟐π · 𝟑𝟑 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟐π · 𝟑 𝟒π 𝟒𝟒π 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟐π · 𝟑 𝟒π =13824 =243
R = 24 Sш.= 4πR2 Sш.= 4π ·242 = 2304 π. Ответ: 2304.

Самостоятельно.

6.1. Объем шара равен 972 π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π.

6.2. Объем шара равен 12348 π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π.

.

Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение.
V = 4/3∙πR3 R1=1 ; R2=6 ; R3=8 V = V1 + V2 + V3
V = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 π ( 13 + 63 + 83) = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 π (1 + 216 + 512)= 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 π ·729 = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 π ·R3
R3 =729 R = 𝟑 𝟕𝟐𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟕𝟐𝟗 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟑 𝟕𝟐𝟗 =9 Ответ: 9.
Самостоятельно.
7.1. Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
7.2. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

8.1. Конус вписан в шар так, что радиус конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 128. Найдите объем конуса.
8.2. Конус вписан в шар так, что радиус конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 42. Найдите объем шара.

8.3. Конус вписан в шар так, что радиус конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 164. Найдите объем конуса.
8.4. Конус вписан в шар так, что радиус конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем шара.

Vш = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 πR3 Vк = 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 πR3 так как h=R.
Vш = 4·Vк Vк = 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 Vш Vк = 𝟏𝟏𝟔 𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔 𝟒 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟔 𝟒 =29. Ответ:29.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 105. Найдите объем шара.
Решение.
Vц= 2πR2h Vш = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 πR3 h = 2R Vц= 2πR3 𝑽ц 𝑽ш 𝑽𝑽ц 𝑽ц 𝑽ш 𝑽𝑽ш 𝑽ц 𝑽ш = 2πR3 𝟒 𝟑 πR3 2πR3 2πR3 𝟒 𝟑 πR3 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 πR3 2πR3 𝟒 𝟑 πR3 = 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝑽ш 𝑽ц 𝑽𝑽ш 𝑽ш 𝑽ц 𝑽𝑽ц 𝑽ш 𝑽ц = 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑
𝟏𝟎𝟓·𝟐 𝟑 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓·𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟓·𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟓·𝟐 𝟑 =70 Ответ:70.
Самостоятельно.
6.1. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 72. Найдите объем шара.
6.2. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 62. Найдите объем цилиндра.
6.3. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 45. Найдите объем шара.
6.4. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 94. Найдите объем цилиндра.

1.1 52
1.2 68
2.1 784
2.2 2,89
3.1 216
3.2 64
3.3 20
3.4 1500
4.1 64
4.2 36
5.1 25
5.2 17
6.1 324
6.2 1764
7.1 18
7.2 12

9.1. ( 6.1) 48 19.1. 8
9.2. (6.2) 93 19.2. 3,5
9.3. (6.3) 30 19.3. 36
9.4 (6.4) 141 20.1. 1543,5
2 20.2 40,5
64 20.3. 972
54
50
14 . 8
36
2
17. 9
18. 3