Практическая работа №10
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Цель работы:
1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение тригонометрических уравнений и
неравенств».
2 Закрепить и систематизировать знания по теме.
3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.
1. Необходимый теоретический материал
1. При решении простейших тригонометрических уравнений вида
t sin
a
,
t cos
a
обрати
внимание на значение числа
а! Не всякое такое уравнение имеет корни.
2. Не забывай, что каждое простейшее тригонометрическое уравнение требует использования только
«своей»! формулы корней:
n
arcsin
a
Znn
,
a
t
arccos
a
Znn
,2
a
t
1
sin
t
cos
t
tgt
a
t
arctga
,
Znn
ctgt
a
t
arcctga
,
Znn
3. Помни, что простейшие уравнения частного вида:
sin t
0
,
sin t
1
,
sin
t
1
и
cos t
0
,
cos t
1
,
cos
t
1
решают с использованием частных формул корней.
4. Если аргумент простейшего уравнения сложен, пользуйся методом замены переменной.
3. Всякое тригонометрическое уравнение сначала необходимо упростить, т.е. привести к простейшему
или совокупности (или системе, или совокупности систем, что бывает редко) простейших уравнений.
При упрощении уравнения используй все знания о тригонометрических функциях: определение,
четность, периодичность, формулы приведения.
Далее, при упрощении:
Внимательно исследуй аргументы всех тригонометрических функций и с
помощью тригонометрических формул измени их так, чтобы они все были
равными.
Приведи подобные слагаемые, проверь, не сделаны ли технические ошибки в
применении формул и вычислений.
58 Внимательно посмотри на упрощённое уравнение и определи, к какому виду оно
относится и каким способом ты его будешь решать (см таблицу).
Квадратное
относит. одной
из
тригон.
функций или
ш
й
е
т
с
о
р
П
е
е
2. Примеры.
Однородное I, II
степени относит.
или
и
sin
t
cos
t
Разложение на
множители
алгебраически
ми способами
Уравнение вида
a
cos
bx
sin
t
с
Два равносильных
способа: сведение
Введение замены:
y
sin
cos
x
x
для уравнений вида
cos
f
x
sin,
(sin
cos
x
x
x
)
1. Разложение на множители.
Решить уравнение: cos 2 x + sin x ∙ cos x = 1.
Решение: cos 2 x + sin x ∙ cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x ∙ cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x ∙ ( cos x – sin x ) = 0 ,
sinx=0 или cosx−sinx=0 |: cosx
x = πk,kϵZ или 1−tgx=0
tgx=1
x=π
4+πn,nϵZ
Ответ: x = πk,kϵZ; x=π
4+πn,nϵZ
2. Метод подстановки.
Методом подстановки решаются те тригонометрические уравнения, которые представляют собой
квадратные уравнения относительно какойлибо тригонометрической функции. Если в уравнение
входят различные тригонометрические функции, то надо выразить их через одну.
Решить уравнение:
2
x
cos
:
x
sin8
Решение
2
18
cos
2
8
cos
2
8
t
cos
x
cos
x
,
tt
9
t
,0
x
,01
,01
,0
9
cos
x
x
,1;1
t
1
t
,1 2
9
8
.
59
1
.1;1
,1;1
9
8
cos
x
x
,1
,2
kk
Ответ:
.
x
,2
kk
.
3. Приведение к однородному уравнению.
Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2.
Решение: 3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg2 x + 4 tgx + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tg x = –1, 2) tg x = –3,
Ответ: : x = πk,kϵZ; x=π
4+πn,nϵZ
Простейшие тригонометрические неравенства решаются при помощи единичной окружности или
графика соответствующей тригонометрической функции.
Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a
sin x > a arcsin a + 2 n < x < – arcsin a + 2 n, n ∈ Z
= arcsin a; = – arcsin a.
60sin x
в решениях заменяются соответственно на и .
Во всех приведенных здесь формулах n ∈ Z.
Неравенства:
cos x> a; cos x a; cos x < a; cos x a.
В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на и .
61Во всех приведенных здесь формулах n ЄZ.
Неравенства:
tg x > a; tg x a; tg x < a; tg x a.
2. Примеры.
1.Решить неравенство cos x 1/2.
Решение: Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности (см.
рисунок).
Поэтому решениями неравенства cos x 1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку
/3. Все решения данного неравенства – множество отрезков [ /3 +2 n ; 5 /3+2 n ], n Z.
/3 х 5
Ответ: [ /3 +2 n ; 5 /3+2 n ], n Z.
2.Решить неравенство tg x > 1.
Решение: Построим графики функций у = tg x и у = 1.
Рисунок показывает, что график функции у = tg x лежит выше прямой у=1 на промежутке ( /4;
также на промежутках, полученных сдвигами его на n, где n Z.
/2), а
62Ответ: ( /4+ n ;
/2 + n ), где n Z.
3.Задания к практической работе.
Вариант 1
Решите уравнение:
1.
cos
2
x
01
2.
3sin2
x
1
3.
сtg
2
2
х
3
4.
5.
6.
7.
8.
cos
x
3
2
3
2
1
2
5
x
cos
6
3
2
2sin2
х
sin7
2
х
05
cos
2
2
х
sin3
2
х
2
sin
x
sin4
x
cos
x
3
cos
2
x
0
1.
Решить неравенство:
sinx< √2
2
cos(3x+π
2.
4)>−√3
2
Вариант 2
Решите уравнение:
1.
ctg
3
2
2
х
03
2.
2
2cos
x
1
633.
15
cos
2
5
х
0
4.
5.
6.
7.
2sin
x
2cos
x
1
4
cos
2
2
x
3
sin
3
22sin3
2
х
sin7
2
2
х
03
sin
3
х2
=0
sin
3
2
х2
8. sin2x+2sinxcosx−3cos2x=0
Решить неравенство:
cosx>
−√2
2
1.
2.sin(4x−π
3)< 1
2
Решите уравнение:
Вариант 3
1. √3tgx−1=0
3=−1
2
cos x
2.
3.
4.
sin(x
2−π
6)+1=0
2cos(π
4−3x)=√2
64√3tg(x
3 +π
6)=3
2cos2x+5cos(π
2−x)−4=0
sin(π
2 +2x)+cos(π
2 −2x)=0
5.
6.
7.
8. sin2x+sinxcosx−2cos2
x =0
Решить неравенство:
cosx< √2
2
sin2x< 1
2
2.
1.
Вариант 4
Решите уравнение:
1. √3ctgx−1=0
cos4x=−1
2
2.
3. √3tg(x
2sin(π
3 +π
3−x
6)=3
4)=√3
4.
cos(π
6−2x)=−1
2cos2x+sin(π
2 −x)−1=0
2sin (π−3x)+cos (2π−3x)=0
5.
6.
7.
658. 3sin2x+sinxcosx−2cos2
x =0
Решить неравенство:
sinx≤√3
2
cos3x> √3
2
2.
1.
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
для проведения практической работы №10
Тема занятия: Решение тригонометрических уравнений
и неравенств.
Цель выполнения работы:
1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение тригонометрических
уравнений и неравенств».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
Необходимо знать: тригонометрические формулы, формулы корней простейших
тригонометрических уравнений.
Необходимо уметь: применять основные теоретические факты и тригонометрические
формулы при решении тригонометрических уравнений и неравенств, использовать
единичную окружность или графики тригонометрических функций при решении
тригонометрических неравенств.
Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):
основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения
практического занятия.
Порядок выполнения работы, методические указания:
ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;
изучить схему решения задач;
выполнить задания практической работы;
сформулировать вывод;
подготовить отчёт о выполненной работе.
66Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения
по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.
67
Пр. раб. №10 Тригон. ур-я и нер-ва.docx
