Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Практическая работа №10 Решение тригонометрических уравнений и неравенств Цель работы:  1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение тригонометрических уравнений и  неравенств». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1. Необходимый теоретический материал 1. При решении простейших тригонометрических уравнений вида   t sin a ,   t cos a     обрати  внимание на значение числа       а! Не всякое такое уравнение имеет корни. 2. Не забывай, что каждое простейшее тригонометрическое уравнение требует использования только «своей»! формулы корней: n arcsin a   Znn ,     a t arccos a   Znn ,2    a t  1 sin t cos t tgt  a t arctga  , Znn  ctgt  a t arcctga  , Znn  3. Помни, что простейшие уравнения частного вида:  sin t 0 ,   sin t 1 ,   sin t 1  и  cos t 0 ,   cos t 1 ,   cos t 1  решают с использованием частных формул корней. 4. Если аргумент простейшего уравнения сложен, пользуйся методом замены переменной.  3. Всякое тригонометрическое уравнение сначала необходимо упростить, т.е. привести к простейшему или совокупности (или системе, или совокупности систем, что бывает редко) простейших уравнений. При   упрощении   уравнения   используй   все   знания   о   тригонометрических   функциях:   определение, четность, периодичность, формулы приведения. Далее, при упрощении:  Внимательно   исследуй   аргументы   всех   тригонометрических   функций   и   с помощью   тригонометрических   формул   измени   их   так,   чтобы   они   все   были равными.  Приведи   подобные  слагаемые,  проверь,   не  сделаны  ли   технические   ошибки  в применении формул и вычислений. 58  Внимательно посмотри на упрощённое уравнение и определи, к какому виду оно относится и каким способом ты его будешь решать (см таблицу). Квадратное относит.   одной из тригон. функций   или   ш й е т с о р П   е е 2. Примеры. Однородное  I,  II степени относит.  или   и  sin t cos t Разложение  на множители алгебраически ми способами  Уравнение вида  a  cos bx sin t с Два равносильных  способа: сведение  Введение замены:   y sin  cos  x x для   уравнений   вида  cos f x sin, (sin cos  x x x ) 1. Разложение на множители.        Решить уравнение:  cos 2 x + sin x ∙ cos x = 1.      Решение: cos 2 x + sin x ∙ cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,                                    sin x ∙ cos x – sin 2 x = 0 ,                                      sin x ∙ ( cos x – sin x ) = 0 ,                                          sinx=0      или  cosx−sinx=0  |:  cosx                                   x =  πk,kϵZ   или  1−tgx=0                                                                 tgx=1                                                                 x=π 4+πn,nϵZ                                  Ответ: x =  πk,kϵZ;    x=π 4+πn,nϵZ 2. Метод подстановки.         Методом подстановки решаются те тригонометрические уравнения, которые представляют собой квадратные   уравнения   относительно   какой­либо   тригонометрической   функции.   Если   в   уравнение входят различные тригонометрические функции, то надо выразить их  через одну. Решить уравнение:      2 x cos :  x   sin8 Решение  2 18 cos  2 8 cos 2 8 t  cos x   cos x   , tt  9 t ,0 x  ,01 ,01  ,0 9 cos x  x  ,1;1 t 1  t ,1 2  9 8 . 59   1 .1;1                  ,1;1 9 8 cos x   x ,1  ,2 kk                      Ответ:   . x   ,2 kk  . 3. Приведение к однородному уравнению.     Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2.      Решение: 3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                                sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                                tg2 x + 4 tgx + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                                корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда                              1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,                                                                                                   Ответ: : x =  πk,kϵZ;    x=π 4+πn,nϵZ Простейшие тригонометрические неравенства решаются при помощи единичной окружности или  графика соответствующей тригонометрической функции. Неравенства : sin x > a, sin x  a, sin x < a, sin x  a sin x > a  arcsin a + 2 n < x <  – arcsin a + 2 n, n  ∈ Z = arcsin a;  =  – arcsin a. 60 sin x в решениях заменяются соответственно на  и  . Во всех приведенных здесь формулах n  ∈ Z. Неравенства: cos x> a; cos x  a; cos x < a; cos x  a.  В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на  и  . 61 Во всех приведенных здесь формулах n ЄZ. Неравенства: tg x > a; tg x  a; tg x < a; tg x  a.  2. Примеры. 1.Решить неравенство cos x  1/2. Решение: Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности (см.  рисунок). Поэтому решениями неравенства cos x  1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку  /3. Все решения данного неравенства – множество отрезков [ /3 +2 n ; 5 /3+2 n ], n  Z. /3  х  5 Ответ: [ /3 +2 n ; 5 /3+2 n ], n  Z. 2.Решить неравенство tg x > 1. Решение: Построим графики функций у = tg x и у = 1. Рисунок показывает, что график функции у = tg x лежит выше прямой у=1 на промежутке ( /4; также на промежутках, полученных сдвигами его на n, где n  Z. /2), а  62 Ответ: ( /4+ n ;  /2 + n ), где n  Z. 3.Задания к практической работе. Вариант 1 Решите уравнение:    1.  cos 2 x 01 2.  3sin2 x 1 3. сtg   2     2 х      3 4.  5.  6.  7.  8.    cos    x 3 2 3 2       1  2 5 x    cos  6       3 2 2sin2  х sin7   2     х      05 cos      2 2 х     sin3      2 х    2 sin x  sin4 x cos x  3 cos 2 x  0 1. Решить неравенство: sinx< √2 2 cos(3x+π 2. 4)>−√3 2 Вариант 2 Решите уравнение:     1.  ctg  3  2      2 х   03      2.  2 2cos x 1 63 3.  15   cos      2 5 х       0 4.  5.  6.  7.  2sin x 2cos x 1 4   cos      2 2 x 3       sin  3 22sin3      2 х     sin7   2      2 х       03 sin  3     х2 =0  ­     sin       3 2  х2      8.  sin2x+2sinxcosx−3cos2x=0 Решить неравенство: cosx> −√2 2 1. 2.sin(4x−π 3)< 1 2 Решите уравнение:    Вариант 3 1.  √3tgx−1=0 3=−1 2 cos x 2. 3. 4. sin(x 2−π 6)+1=0 2cos(π 4−3x)=√2 64 √3tg(x 3 +π 6)=3 2cos2x+5cos(π 2−x)−4=0 sin(π 2 +2x)+cos(π 2 −2x)=0 5. 6. 7. 8.  sin2x+sinxcosx−2cos2 x =0 Решить неравенство: cosx< √2 2 sin2x< 1 2 2. 1. Вариант 4 Решите уравнение:    1. √3ctgx−1=0 cos4x=−1 2 2. 3.    √3tg(x 2sin(π 3 +π 3−x 6)=3 4)=√3 4. cos(π 6−2x)=−1 2cos2x+sin(π 2 −x)−1=0 2sin (π−3x)+cos (2π−3x)=0 5. 6. 7. 65 8.  3sin2x+sinxcosx−2cos2 x =0 Решить неравенство: sinx≤√3 2 cos3x> √3 2 2. 1. ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА для проведения практической работы №10 Тема занятия:  Решение тригонометрических уравнений  и неравенств. Цель выполнения работы:  1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». 2. Закрепить и систематизировать знания по теме. Необходимо знать: тригонометрические формулы, формулы корней простейших  тригонометрических уравнений. Необходимо уметь: применять основные теоретические факты и тригонометрические  формулы при решении тригонометрических уравнений и неравенств, использовать  единичную окружность или графики тригонометрических функций при решении  тригонометрических неравенств. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения  практического занятия. Порядок выполнения работы, методические указания:  ­ ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;  ­ изучить схему решения задач;  ­ выполнить задания практической работы;  ­ сформулировать вывод; ­ подготовить отчёт о выполненной работе. 66 Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения  по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе. 67