Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Практическая работа №2 Выполнение тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений Цель работы:  1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Выполнение тождественных  преобразований рациональных и иррациональных выражений». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий. 2 a  2 b  c ;   x 2  9 ;   nx ;  3 x x 4 1  – алгебраические выражения. В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения. Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а,  b,  с,   …   не   выполняется   никаких   других   операций,   кроме   операций   сложения,   умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень. Алгебраические   выражения,   содержащие   операции   извлечения   корня   из   переменной   или возведения   переменной   в   рациональную   степень,   не   являющуюся   целым   числом,   называются иррациональными относительно этой переменной. Тождественным   преобразованием   данного   выражения   называется   замена   одного   выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве. В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты. 1 Свойства степеней с целым показателем: ,      n N;      а1=а; a n    aa a     множителей  ­ n ,      n N,     а0;      а0=1,     а0; a n 1 a n ,     а0; n a m  mn a a ,     а0; n a m : a a m­n ,     а0;  a mn  mn  a 4 ,     а0,     b0;    m  a  b  a b m m  m ab   ,      а0,     b0. mm ba 2 Формулы сокращенного умножения: 2 a  2 b   a  ab b   a 2  a b 2  ;      ; 2 ab  2 b  a 3  2 3 ba a b 3   2 3 ab 3  b ;      3 a 3  a b   ab 2  ab  b ; 2 где а, b, с – любые действительные числа; 2 ax  bx   xa c  x  x 1 2 x , где а0, х1 и х2 – корни уравнения  2 ax  bx  0 c . 3 Основное свойство дроби и действия над дробями: , где b0, с0;  ca  cb ca : a cb : b a c  b c a  b c ;      a c  b d ad bc  cd ; a b c  d ac bd ;      . a b c : d ad bc 4 Определение арифметического корня и его свойства: n ab n  n a ;      b n a  b n n a b , b0;      n k  a  n k a ; ;      ;      n k kn a  a 2 an 2 n  a , 2 n  1  a 2 n  1 a где а, b – неотрицательные числа, n N, n2, m N, m2. 2  Примеры 2x−2y y x2−y2= 2(x−y)∙3y2 ∙ 3y2 y(x−y)(x+y) 1) Ответ: 6y x+y = 6y x+y 5 a−b = √a−√b = (√a−√b)(√a+√b) √a−√b =√a+√b a−b √a √a−√b √a −1 √a−a 2 b 1−√a−1b =  2) √a− b √a = 1−√b a              Ответ:  √a+√b       3)  2 2 a 3+b a−b − 1 3 1 1 3−b a 3 = 2 2 a 3+b 3 3)(a 2 1 1 2 3 +a 3b 3+b 3)− 1 1 1 a 3 −b 3 (a 1 1 3−b 1 1 1 2 2 2 3−a = a 3+b 3−a 3b 3−b 3 3)(a (a 2 1 1 2 1 1 3−b 3+a 3b 3+b 3) = 2 2 a 3+b 3)3− 1 3 3)3 −(b (a 1 1 1 a 3−b 3 1 = 1 1 −a 3b 3 a−b =¿ 3√ab a−b           −3√ab a−b ¿− Ответ:  3.  Задания к практической работе. В а р и а н т  1 6 Упростить выражение: x2+xy x2−y2 а)  ;                                     д)  −1 √a−a 2 b 1−√a−1b ;                                 и) x−y 1 1 3 x 4+x 2y 4 ∙x 1 1 1 1 2y 4+x 4 y 2 1 1 x 2+y 2 . б)  в)  г)  ab ab−ab2 ;                                   е)  p2−2p p2−4p+4 ;                                  ж)  a2+b2 a2−b2−a−b ; a+b x+y y xy2 : y2+x2+2xy ; 1 7 3−a a 3 4 1 a 3−a 3 ;                                       з)  2 2 a 3+b a−b − 1 3 1 1 a 3−b 3 ; В а р и а н т  2        Упростить выражение: m2−4 m2−2m ;                                     д)  а)  −1 3√a2−a 3 b −1 6√a+a 3 √b ;                              и) a−1 1 a+a 2 +1 1 : a 2+1 3 a 2−1 1 +2a 2 . б)  в)  г)  ax2−ax ax ;                                   е)  2ab−a 4b2−4b+1 ;                                  ж)  y c+d c−d−c−d ; c+d 2x−2y . 3y2 x2−y2; 5 1 a 4+a 4 9 1 4−a a 4 ;                                       з)  a−b √a−√b − a+b √a+√b ;        Упростить выражение: В а р и а н т  3 7 a2+3a 9−a2 а)  ;                                      д)  3√x2−3√xy 3√x−3√xy ;                               и) ( 1 1 1 a+a 2b 2 + 1 1 1 a−a 2b 2)∙ a3−b3 a2+ab+b2. б)  в)  г)   ax2−ax ax ;                                    е)  c b−c  + b2−3bc b2−c2 ;                           x2+6xy+9y2 4x2+12xy ;                             ж)  a2−1 a−b ∙7a−7b a2+a ; 4 4 a 3b+ab 3 3√a+3√b ;                                   з)  √x 1 1 x 2+y 2 +¿   √y 1 1 x 2−y 2 ;                                       В а р и а н т  4 Упростить выражение: p2−25q2 ; 2p−10q а) 4√a2−4√ad 4√3a−4√a2d ;                                    ж) г)  4x2 x2−9 ∙3a−ax 4x ;          и) √x+1 x√x+x+√x : 1 x2−√x 6cd−18c (d−3)2 ;                           д)  3y2+24y y2+16y+64 ;                        е)  б)  в)  3 −1 b 2 −b 2 −1 1 b 2+b 2 ab−5a2− 15b−25a b ;                                          з) −a 3 3 2−b 2 a−b ; a−b 1 1 a 2−b 2 b2−25a2 ;                                                             ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА для проведения практической работы №2 Тема занятия: Преобразование рациональных и иррациональных выражений Цель выполнения работы:  1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Выполнение тождественных  преобразований рациональных и иррациональных выражений». 2. Закрепить и систематизировать знания по теме. 8 Необходимо знать: свойства степеней с целым показателем; формулы сокращенного  умножения; основное свойство дроби и действия над дробями; определение  арифметического корня и его свойства.  Необходимо уметь: применять основные теоретические факты при тождественном  преобразовании выражений. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения  практического занятия. Порядок выполнения работы, методические указания:  ­ ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;  ­ изучить схему решения задач;  ­ выполнить задания практической работы;  ­ сформулировать вывод; ­ подготовить отчёт о выполненной работе. Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные  определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод  по работе. 9