Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Практическая работа №3 Выполнение тождественных преобразований логарифмических и показательных выражений Цель работы: 1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Выполнение тождественных  преобразований логарифмических и показательных выражений». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал. a) Логарифмические выражения Основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами: 1. 2. 3. 4. 5. loga x + loga y = loga (x ∙ y) loga x − loga y = loga (x : y) loga xn = n ∙ loga x logakx= 1 k logax loga x =  1 logxa Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе  в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены: Примеры.  Найти значения выражений: log6 270 − log6 7,5 log9log2 27√2 Решение. Первое  выражение преобразуется как разность логарифмов: log6 270 − log6 7,5 = log6 (270 : 7,5) = log6 36 = 2; Для вычисления второго выражения придется выделять степени ­  как в основании, так и в аргументе.  Для начала найдем внутренний логарифм: 8 27√2=log2(2 log2 1 27)= 1 27 log22= 1 27 Затем — внешний: log9 27=log3 23−3=−3 1 2 log22=−1,5 Ответ: 2; 3; −1,5 Конструкции вида loga logb x многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь  логарифм от логарифма, т.е. loga (logb x). Сначала вычисляется внутренний логарифм  (положим logb x = c), а затем внешний: loga c.               б) Показательные выражения Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида ak, где числа a и k —  произвольные постоянные, причем a > 0. Ниже приведены основные формулы, которые обязательно  надо знать.  1. an ∙ am = an + m; 2. an / am = an − m; 3. 4. 5. (an)m = an ∙ m; (a ∙ b)n = an ∙ bn; (a : b)n = an : bn. Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться,  используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа  в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь  применить указанные выше формулы — и задача будет решена. Примеры. Найти значения выражений: 79 ∙ 311 : 218, 247 : 36 : 165, 306 : 65 : 252. Решение. Разложим все основания степеней на простые множители: 79 ∙ 311 : 218 = 79 ∙ 311 : (7 ∙ 3)8 = 79 ∙ 311 : (78 ∙ 38) = 79 ∙ 311 : 78 : 38 = 7 ∙ 33 = 189.  247 : 36 : 165 = (3 ∙ 23)7 : 36 : (24)5 = 37 ∙ 221 : 36 : 220 = 3 ∙ 2 = 6. 306 : 65 : 252 = (5 ∙ 3 ∙ 2)6 : (3 ∙ 2)5 : (52)2 = 56 ∙ 36 ∙ 26 : 35 : 25 : 54 = 52 ∙ 3 ∙ 2 = 150. Ответ: 189; 6; 150         в) Комбинированные задачи Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.  Из определения логарифма вытекают две формулы, которые постоянно встречаются в реальных  задачах. Эти формулы позволяют заменить знак логарифма нормальными числами: 9 1. loga an = n 2. blogba=a В чистом виде они, как правило, не встречаются, поэтому общая схема решения комбинированных  задач выглядит так: 1. Записать там, где это возможно, числа в виде степеней. Например, 25 = 52, 16 = 24, 27 = 33...  дальше сами. Корни и дроби тоже надо заменить степенями по уже известным формулам: 2. Избавиться от степеней в основаниях логарифмов, если они там есть. Затем все множители,  стоящие перед знаком логарифма, нужно внести в аргумент. Например,  5 ∙ log7 2 = log7 25 = log7 32. 3. Воспользоваться формулами замены логарифмов, которые приведены выше. Как правило,  этого будет достаточно. На первый взгляд эта схема кажется громоздкой и далеко не оптимальной. Но стоит немного  потренироваться — и комбинированные задачи будут решаться за несколько секунд.  Примеры.  Найти значения выражений: 5∙49log73;3log311+2log8125; 33 5log 25121 Решение. Будем действовать по схеме. Для первого выражения все очевидно: Для второго выражения заметим, что Поэтому имеем: 2log2 11+2log8 125=11+2log2353 =11+2 1 3 log253 =11+5=16              Аналогично поступим с третьим выражением: В результате получим: 10 33 5log25121= 33 11=3 Ответ: 45; 16; 3 3. Задания к практической работе Вариант 1 1. Вычислите:     . log 12 7 144  log 7 12 2. Вычислите:     log 400 log 0,16  4 4 . 3. Вычислите:   log 9 81  log 3 27  log . .3 1 3 4. Вычислите:  . 5log 81 3 Вычислите:     5.  12 10 lg5 6.  Вычислите:      log 5,0 5 7 32 11 7. Вычислите:      4 log 2 log 4 2  4 2 . 8. Найдите  lg 100  3 b , если    . lg b  3 9.  Найдите  , если  . log 3 a  21 3 7 log a 3 10. Найдите  lg 100a   , если   . lg 2 a  6 11. Вычислите значение выражения: log 5  36 log log 9 5 12 5  log .2 1 2 12. Вычислите значение выражения:  log 75,0  2 log 2 49    log 3 1 27  log .27 1 3  Вычислите значение выражения: 13. lg 1 2  lg  lg 2 3 3 4  ... lg 99 100 . 1. Вычислите:     log 0,36 log 0,72  2 2 Вариант 2 . 12      2. Вычислите:     . 21 e ln 3 3.  Вычислите:   . 9log 49 7 4. Вычислите:    3log 2 log  3 . 8 9 3 5. Вычислите:   .     4 92 lo g 27 6. Вычислите:   log 9 81  log 3 27  log    .3 1 3 7. Вычислите:     2log 3 4 4 12 8. Найдите  log  3 81b 2 , если   . log 2b  3 9.  Найдите  log 4  2 b :16  , если   . log 4 3b  10. Найдите  1 49 log1 3 ,еслиlog1 3 7=d . 11. Вычислите значение выражения: log 7 2 7  18 log 7 log 3  log 1 3 . .3 12. Вычислите  значение выражения:  log 35  7 log 7   15 log 3 . .243 1 243  log 1 3 13 13. Вычислите значение выражения:  lg 1 2  lg 2 3  lg 3 4  ... lg . 9999 10000 . 1. Вычислите:   2. Вычислите:   3. Вычислите:   4. Вычислите:   Вариант 3 . 8 9 3 3log 2 log  3  log 2 log 5 2  5 4 . 2log 6 log  4 . 1 9 4 . 7 5 3log 2 5 5. Вычислите:   log 17 log 17 64 2  log 1  31 log 81 .3 6. Вычислите:   . 1 37 log 9 7. Вычислите:   log 3 18  log 1 9 log24  3 .27 14 8. Найдите  log 3  27n  , если     . log 3 n   4 9. Найдите     log 16a a 3 , если   . a  log 4 3 10. Найдите    ,   если    4 . log 2 3b  5 log b  1 2 11. Вычислите значение выражения: log 45  16 log 45 log 4 2 45  log .5 1 5 12. Вычислите значение выражения:  log 24  6 log 6   14 log 3 1 81  log .81 1 3 13. Вычислите значение выражения: lg 1 2  lg 2 3  lg 3 4  ... lg 99999 100000 . 1. Вычислите:     log 400 log 0,16  4 4 Вариант 4 . 2. Вычислите:     . log 13 11 169  log 11 13 15 3.  Вычислите:   . 7log 6  6  2 4. Вычислите:  12 10 lg5 5. Вычислите: 4 98log 3 6. Вычислите: 7. Вычислите: log 7 21  log 1 7 9  log 7 .49 log 21 log 125 5 21  log 1  45 log 3 .81 8. Найдите  , если      25 a log 5 2log 5 a  14 9. Найдите  log  2 16 a 3 , если   log 2 5a  10. Найдите  log  b 4 : b  , если     b  log 2 3 . . . 11. Вычислите значение выражения:  log 25  36 log 25 log 3 4 25  log .8 1 8 12. Вычислите значение выражения:   log 56  8 log 8   17 log 5 1 125  log .125 1 5 13. Вычислите значение выражения:  lg 1 2  lg  lg 2 3 3 4  ... lg 999 1000 . 16 ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА для проведения практической работы №3 Тема занятия: Выполнение тождественных преобразований логарифмических и  показательных выражений. Цель выполнения работы:  1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Выполнение тождественных  преобразований логарифмических и показательных выражений». 2. Закрепить и систематизировать знания по теме. Необходимо знать: основные свойства логарифмов и степеней,  общую схему решения комбинированных задач. Необходимо уметь: применять основные теоретические факты при тождественном  преобразовании выражений. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения  практического занятия Порядок выполнения задания, методические указания:  ­ ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;  ­ изучить схему решения задач;  ­ выполнить задания практической работы;  ­ сформулировать вывод; ­ подготовить отчёт о выполненной работе. Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные  определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод  по работе. 17 18