Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Практическая работа №4 Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений Цель работы:  1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Выполнение тождественных  преобразований тригонометрических выражений». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал 1) Радианная мера – градусная: рад* 180        Градусная мера – радианная: n0*  180 2) Основные тригонометрические тождества: ,     cos   0; 1; cos tg  2 2      sin  sin  cos  cos   sin    1,       ctg ctg  tg ,     sin   0;   2 ,     n n ¢  ;  1  tg  2  ,     cos   0; 1  ctg  2 ,      sin   0. 1 2 cos   1 2 sin  3) Формулы сложения: 16 cos( cos( sin( sin(   )   )   )   )         tg   ( )   tg   ( )        cos cos sin sin      cos cos sin sin      sin cos cos sin      sin cos sin cos    tg tg    tg tg 1    tg tg    tg tg 1 4) Формулы суммы и разности тригонометрических функций: sin a  sin b  2sin sin a  sin b  2sin ; ; cos cos a b a b a b a b  2  2 a b a b  2  2  2  2  2  2 a b a b cos sin ; ; cos a  cos b  2cos cos a  cos b   2sin tg a b tg  tg a b tg    sin( cos sin( cos a b  ) a b  cos a b  ) a b  cos ; . 5) Формулы двойного аргумента:         sin2 a sin2 aa cos         cos2         cos2         cos2 a  cos 2 a  sin 2 a a sin21 2 a a  2 cos 2 a  1         tg2 a  a 2 tg a  2 tg 1 6) Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени:          sin 2 a  1 2  cos 2 a 17 cos2 1 a  2  a cos 2 2 tg a 2  1 1   cos cos a a                   cos ba cos  1 2 cos( ba )   1 2 cos( ba )  sin ba sin  1 2 cos( ba )   1 2 cos( ba )  7) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:          sin ba cos  sin( ba )   1 2 sin( ba )  1 2 8) Формулы приведения: если аргумент вида ( a ) или ( a т ) – приводимая функция не меняется; если аргумент вида (  2  a ) или (  3 2 ) – приводимая функция меняется на кофункцию.  a Знак полученной функции определяется по приводимой функции (первоначальной) 2 Примеры. 1) Найти значение выражения, если ctg  α  = 8: sin( 13 π−α)−ctg(6π+α) 2 1+sin (2π−α) Решение:  Применив формулы приведения, получим: sin( 13 2 π−α)=cosα ctg(6π+α)  =  ctgα sin(2π−α)=−sinα 18 С учетом этих упрощений имеем: sin( 13 π−α)−ctg(6π+α) 2 1+sin (2π−α) =cosα−ctgα 1−sinα =¿ cos∝−cos∝ sin∝ 1−sin∝ =   =   cosαsinα−cosα sinα 1−sinα = −cos∝(1−sin∝) sin∝(1−sin∝) =−cos∝ sin∝ =−ctg∝=−8 Ответ: ­ 8. 2) Упростить выражение: 19 +  sin4α−cos4α+cos2α. Решение: 2α=¿19. 2α+¿cos¿ 2α=¿19−cos¿ 19 ­   2α=19−−(cos2α−sin2α)+¿cos ¿ 2α=19−(sin2α−cos2α)(sin2α+cos2α)+¿cos ¿ sin4α−cos4α+cos¿ 3) Вычислить:      1−2sin2α 2tg(45°−α)cos2(45°−α) Решение:  В числителе – формула двойного угла, в знаменателе после сокращения на косинус – тоже  формула двойного угла. 3 Задания к практической работе. 1. Упростить выражение: 3cos2 α  ­ 6 + 3sin 2α Вариант № 1 19 2. Найти значение выражения:  4cos2x + 2 , если sin2x = 0,6  3. Упростить выражение:   cos2α cosα−sinα+sin( 3π 2 +α) 4. Найти значение выражения:   sin 7π 3 +cos(−π 4 )−1 2 tgπ 3 5. Найти значение выражения:  2√2∙sin10°sin 50°−sin 100°cos 50° sin 25°cos20°+sin115°sin 20°   6. Найти значение выражения 169sin2x, если cosx = ­  5 13 , ­  π  < x < 0   Вариант № 2 1. Упростить выражение: 9cos2 α  ­ 16 + 9sin 2α 2. Найти значение выражения: 3 ­ 2tg2x ∙ cos2x, если sinx = 0,1   3. Упростить выражение:   sin 2α sinα −sin(π 2 +α) 4. Найти значение выражения:  cos 7π 4 +2sin(−π 3 )+tgπ 3 5. Найти значение выражения:    6. Найти значение выражения:  √7∙sin(π sin 87°sin 63°−¿sin 177°sin27° √6∙cos 14°sin 31°+cos76°cos31° 3−x),еслиcosx=−√ 3 ¿ 7 ,0