Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Практическая работа №6 Решение рациональных уравнений и неравенств Цель работы: 1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение рациональных уравнений и  неравенств». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал Определение 1.  Рациональным уравнением называется уравнение вида   , где   ,  ( )P x ( )Q x    ­ ( ) P x ( ) Q x  0 многочлены. Основными методами решения рациональных уравнений являются: 1) Приведение   рационального   выражения   к   общему   знаменателю   и   решение   полученного уравнения. 2) Разложение на множители.  3) Введение новых  неизвестных и  сведение  исходного уравнения  к квадратному или другому простому уравнению относительно новых неизвестных. При решении рациональных уравнений необходимо обязательно учесть: 1) область определения уравнения; 2) дробь превращается в ноль, когда числитель     равен нулю. Таким образом,  2 Примеры. 1) Решить  уравнение: 7  1  х  4 x  22 x 3  2 2 x x   38 1 Решение. 7  1 х   х  (2 х 4 )1  3 2 2 х х   38 1  0 28 5 x 2  (2 19 x  2 x  )1 66  0  66  0     x 2 5 x 2  19  1 x 0 Ответ: - 2,2; 6.      x x x  6  2,2  1 x1=6,x2=−2,2 2)  Решить  уравнение:  2 x  5 x 7  2 x  6 3 x 9 2 x   18  1  3 x Решение.  7 2 x   )(6 x ( x  )1 ( x  3 )(6 x  )3  1  3 x  0 x  2  )(6  11 x  )(1 x 24  x )3 ( x  0    2 x ( x   x 11 )(6 x   x 24 )(1 0  )3 0 8 3 6 3 x = - 8         x x x x x     1          Ответ: - 8. 3) Решить  уравнение: (x2 + 2х)2 ­  (х + 1)2 = 0. Решение. Применяя формулу a2­ b2=(a ­ b)(a + b), имеем  (x2 + 2х)2 ­ (х + 1)2 = (x2 + 2х – х ­ 1)(х2 + 2х + х + 1) = (х2 + х ­ 1)(х2 + 3х + 1). Тогда данное уравнение равносильно совокупности уравнений: х2 + х – 1 = 0,    х2 + 3х + 1 = 0,  откуда получаем, что решения исходного уравнения есть   x1,2= −1±√5 2 ,  x3,4= −3±√5 2 29 О т в е т :   x1,2= −1±√5 2 ,  x3,4= −3±√5 2 4)  Решить  уравнение: (x+1) (x+3) (x+5)(x+7)=−15 Решение.  Сгруппируем 1­ый и 4­ый, 2­ой и 3­ий множители и перемножим их: (x2+8x+7)(x2+8x+15)=−15 Пусть  x2+8x=a , тогда (a+7)(a+15)=−15 a2+22a+120=0 a=−10,a=−12 [x2+8x=−10 x2+8x=−12 ⇔[x=−4±√6 x=−6 x=−2 ❑ Ответ:  −6,−2,−4±√6. Определение 2. Рациональные неравенства – неравенства вида   (<, 0), где  , ,  ( )P x ( )Q x   ­  ( ) P x ( ) Q x  0 многочлены. Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов. Алгоритм метода интервалов: 1. Найти ОДЗ. 2. Найти все нули функции, превратив неравенство в соответствующее уравнение. 3. Нанести нули на ОДЗ, обозначить все полученные интервалы. 4. На   каждом   интервале   проверить,   выполняется   неравенство   или   нет,   взяв   для   этого   по одному числу на каждом интервале и подставив его в неравенство. 5. Объединение   подходящих   интервалов   составляет   множество   решений   исходного неравенства. 30 Примеры. 1) Решить неравенство:  2(x−4) (x−1)(x−7) ≤ 1 x−2 В ответ запишите наибольшее целое решение неравенства. Решение. Перенесем дробь из правой части в левую 2(x−4) (x−1)(x−7) − 1 x−2 ≤0 Приводим к общему знаменателю дроби в левой части неравенства. Общим знаменателем будет произведение знаменателей дробей: (x ­ 1)(x ­ 7)(x ­ 2).  2(x−4)(x−2) (x−1)(x−7)(x−2) − (x−1)(x−7) (x−1)(x−7)(x−2) ≤0 2(x−4)(x−2)−(x−1)(x−7) (x−1)(x−7) (x−2) ≤0 Выполним действия (раскроем скобки) в числителе левой части:  2(x ­ 4)(x ­ 2) ­ (x ­ 1)(x ­ 7) = 2(x2 ­ 6x + 8) ­ (x2 ­ 8x + 7) = 2x2 ­ 12x + 16 ­ x2 + 8x ­ 7 =  = x2 ­ 4x + 9. x2−4x+9 (x−1)(x−7)(x−2) ≤0 Дискриминант многочлена x2 ­ 4x + 9 равен 42 ­ 4∙9 = 16 ­ 36 = ­20 < 0. Поэтому разложить на  множители числитель дроби нельзя. Найдем нули числителя и знаменателя. Для этого решим уравнения для каждого множителя в  числителе и знаменателе левой части: x2 ­ 4x + 9 = 0, решений нет, х ­ 1 = 0, х = 1, x ­ 7 = 0, x = 7, x ­ 2 = 0, x = 2. 31 Наносим нули на числовую ось в порядке возрастания. Они разбивают ось на четыре интервала. Для  каждого интервала определим знак левой части. Для определения знака достаточно выбрать любое число из интервала и подставить в левую часть  неравенства. Например, из интервала (2;7) выбираем число 3 и подставляем в левую часть неравенства в каждую из скобок: x2 ­ 4x + 9 > 0 (для всех значений х, так как дискриминант отрицателен); x ­ 1 > 0 для х = 3, х ­ 7 < 0 для х = 3, х ­ 2 > 0 для х = 3. Если число "минусов" (то есть отрицательных скобок) нечетно, то в итоге на интервале ставим  "минус", если число "минусов" четно или они отсутствуют, то на интервале ставим знак "плюс". В  нашем случае на интервале (2;7) ставим "минус". Обратите внимание, что точки на кривой являются "выколотыми" (пустые кружочки). Так  отмечаются на оси нули знаменателя левой части.  Теперь проведем через указанные точки кривую знаков (делать это необязательно): Выбираем те интервалы, где кривая знаков проходит под числовой осью (там где стоят "минусы"): (−∞;1)∪(2;7) . Это и есть решение нашего неравенства. Если бы знак неравенства будет другим (  ≥ ), то нужно выбирать интервалы, помеченные знаком  "плюс".  Заметим, что число 7 не входит в решения системы (выколотая точка), поэтому самым большим  целым числом входящим в множество решений будет число 6. Его и запишем в ответ задачи. Ответ: 6. 2) Решить неравенство:   x2+2x−8 x2 ≤0 В ответ запишите сумму всех целых решений неравенства. 32 Решение. Разложим числитель левой части неравенства на скобки. Для этого найдем решения уравнения. x2 + 2x ­ 8 = 0, x1 = ­ 4, x2 = 2. Мы получим разложение на множители x2 + 2x ­ 8 = (x ­ x1)(x ­ x2) = (x + 4)(x ­ 2). (x+4) (x−2) x2 ≤0 Найдем нули числителя и знаменателя: x1 = ­4, x2 = 2, x3 = 0. Нанесем эти числа на ось, при этом нули знаменателя будут выколотыми точками, а нули числителя  нет.  Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x2 всегда больше или равен нулю. В  результате должно получиться то, что изображено на рисунке выше.  Поскольку знак неравенства  ≤ , то мы выбираем те интервалы, над которыми стоит знак "­". Записываем решение неравенства, при этом выколотые точки соответствуют круглым скобкам, а  закрашенные точки соответствуют квадратным скобкам. [−4;0)∪(0;2] . Целые решения неравенства: ­4, ­3, ­2, ­1, 1, 2. Их сумма равна ­ 7. Ответ: ­ 7. 3 Задания к практической работе. В а р и а н т  1 1. Решите уравнение: а) 2 x 2  x 9  12 2 x  x  ; 9 x−2+ 5 6 x=3 б) 33 2. Решите неравенство: а) (х+2)(х-4)≤0; б) 3х2-2х-21≤0; в) ;  х 5  2 х 3  0 г) 4 2 х х   х 2  .0 д) х3+х2-9х-9>0; е) (  х 2 х 2 ()2  х 3  )1 х  4  .0 В а р и а н т  2 x−5+ 8 3 x=2 б) 1. Решите уравнение: 3 x 2 x  4  16  2 x  2 x ; 16 а) 2. Решите неравенство:  а) (х+3)(х-2)≤0; б) 4х2-3х-10≤0; в)  4  х  4 2 х ;0 г) 2 х х х   3 2  ;0 д) х3+2х2-7х-14<0; е) ( х  х 2 2 ()3 х  х )1  2  .0 1. Решите уравнение: В а р и а н т  3 34 а) x x 2 2  1  4 x 2 x  5  ; 1 5 x−3− 8 x=3 б) 2. Решите неравенство:  а) (х+4)(х-3)≤0; б) 20+3х -2х2≥0; в)  х  31 6  .0 х г) 2 2 х х   х 3  .0 д) х3-2х2-5х+10>0; е) (  х 2 х 2 ()5 х   х 2  )1 3  .0 В а р и а н т  4 1. Решите уравнение: а) 5 x 2 x  14  4  2 x  ; б) 2 4 x x−3− 10 8 x =2 2. Решите неравенство:  а)(х+2)(х-5)≤0; б) 3х2-7х-20 ¿ 0; в) ;  2 х  3 х 2  0 г) 2 х 4   х 5 х  .0 д) х3+3х2-5х-15 0; е) ¿ (  х 2 х  2 ()7 х )2   6 х 8  .0 ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА 35 для проведения практической работы №6 Тема занятия:  Решение рациональных уравнений и неравенств. Цель выполнения работы:  1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение рациональных  уравнений и неравенств». 2. Закрепить и систематизировать знания по теме. Необходимо знать: основные методы решения рациональных уравнений, алгоритм  метода интервалов для решения рациональных неравенств. Необходимо уметь: применять основные методы решения рациональных уравнений в  каждом конкретном случае, применять метод интервалов при решении рациональных  неравенств. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения  практического занятия. Порядок выполнения работы, методические указания:  ­ ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;  ­ изучить схему решения задач;  ­ выполнить задания практической работы;  ­ сформулировать вывод; ­ подготовить отчёт о выполненной работе. Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения  по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе. 36