Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Решение показательных уравнений и неравенств Практическая работа №8 Цель работы: 1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение показательных уравнений и  неравенств». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в  которых неизвестное содержится в показателе степени. При решении показательных уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения af(x)=ag(x) (1) уравнению переменных. Иногда приходится применять искусственные приемы. ; 2) введение новых )( xf Показательные уравнения  )( xg Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме: Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению  f(x) = g(x). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:      Показательные неравенства 41 Решение показательных неравенств вида число отличное от 1, основано на следующей теореме: )( xf a )( xg  a , где а – положительное Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла:  f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству  противоположного смысла: f(x) < g(x). 2. Примеры. Показательные уравнения Пример 1. Решить уравнение: 4 ∙ 2х = 1. Решение.  Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20, 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = ­ 2. Ответ:  х = ­ 2. Пример 2. Решить уравнение:  23х ∙ 3х = 576. Решение. Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 24x или в виде  24х = 242. Отсюда получаем х = 2. Ответ: х = 2. Пример 3. Решить уравнение:  3х+1 – 2∙3х ­ 2 = 25. Решение.  Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х ­ 2, получаем 3х ­ 2 ∙ (33 – 2) = 25, 3х ­ 2∙ 25 = 25, 42 откуда 3х ­ 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2. Ответ: х = 2. Пример 4. Решить уравнение: 3х = 7х. Решение.  Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде  3x 7x  = 1, откуда  ( 3 7)x = 1,  =( 3 7)x ( 3 7)0 ,  х = 0. Ответ:  х = 0. Пример 5. Решить уравнение:    Решение.            Т. к. 22x+1=2∙22x , то   2 ∙22x−5∙2x−88=0   Используем приведенные выше формулы и подстановку:  Уравнение тогда принимает вид:  Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:      Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:      Переходя к обратной подстановке, получаем:      43 Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей  области определения. Решаем второе:      С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ: x = 3. Показательные неравенства Пример 1.  Неравенства, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей неравенства к степени с одинаковым основанием. а) 2x2 > 2 x+2. Решение: > 2 x+2; 2x2 х2 > х+2, т.к.а=2 ¿1   х2 – х–2 > 0; x < – 1; x > 2. Ответ: . б) . Решение: Ответ: Пример 2.   Неравенства, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя. 8 × 2х – 1 – 2х > 48 Решение:  2х–1 (8 – 2) > 48, 44 2х–1  > 8,  2х–1  > 23,  х – 1 > 3, т.к. а=2 ¿1  х > 4. Ответ:   Пример 3.  Неравенства, решаемые с помощью замены переменной. 2х + 23 – х < 9 Решение: а) 2х< 0. Неравенство решений не имеет, т.к. 2х > 0. б) 1 < 2х< 8; 20 < 2х < 23; 0 < x < 3, т.к. а=2 ¿1 Ответ: (0; 3). 45 3.  Задания к практической работе. 1. Решите уравнение:                                                           В а р и а н т  1 а) б) в) ; 8 x 64 ;    x  4  5  25 16  1 x 3 2 x  3 ;    1 3    г) 5x = 9x ; д) 3x+3x+1=4 ; е) x 32  36 x ; 27  0 2. Решите неравенство: а) ; 5 x   1 4 16 3 x  2 46 В а р и а н т  2 ( 1 5)3x+4 +( 1 5)3x+5 >6 ; б) в) 32x−4∙3x+3≤0 . 1. Решите уравнение: а) б) в) ; 5,0 x 125,0 ;    x  3  2  16 81 ; 4 x  7    1 6    x  3  6 г) 2x=3x ; д) 5x+5x+2=26 ; е) x 22  0 26 8 x . 2. Решите неравенство: а) ; 5,0 4 x   3 5,0 6 x  1 б) 32x−1−32x−3< 8 3 ; в) 1. Решите уравнение: а) 3x = 81; б)     x  2  5  125 8 ( 1 7)2x +6∙(1 7)x −7<0 ; .В а р и а н т  3 47 в) 52−x=( 1 5)3x+8 ; г) 3x=10x; ¿ ¿ д) 32x−1+32x=108 ; е) 72x−8∙7x+7=0 ; 1. Решите неравенство: а) 72x−9>73x−6 ; б) 2x+2x+2≤20 ; в) 0,22x−1,2∙0,2x+0,2>0 . 1. Решите уравнение: а) 0,4x=0,16 ; ( 3 4)x =64 27 б) ( 1 7)3−4x =7x+6 ; в) г) 7x=11x ; д) 3x−3x+3=−78 ; −5∙( 1 6)x е) ( 1 6)2x −6=0 . 2. Решите неравенство: а) 9x−1≤9−2x+8 б) 0,36 x−1−0,36x≥0,7 ; В а р и а н т  4 48 в) 52x+4∙5x−5≥0 ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТA для проведения практической работы №8 Тема занятия:  Решение показательных уравнений и неравенств Цель выполнения работы:  1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение показательных  уравнений и неравенств». 2. Закрепить и систематизировать знания по теме. Необходимо знать: действия со степенями,  основные теоремы и методы решения  показательных уравнений и неравенств. Необходимо уметь: правильно применять теоремы, подбирать методы решений. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): основные теоретические положения; задание и инструкционная карта для проведения  практического занятия. Порядок выполнения работы, методические указания:  ­ ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;  ­ изучить схему решения задач;  ­ выполнить задания практической работы;  ­ сформулировать вывод; ­ подготовить отчёт о выполненной работе. Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения  по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе. 49