Практические работы по математике для студентов 1 курса всех специальностей СПО

Решение логарифмических уравнений и неравенств Практическая работа №9 Цель работы: 1 Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Решение логарифмических уравнений и  неравенств». 2 Закрепить и систематизировать знания по теме. 3 Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов. 1 Необходимый теоретический материал Логарифмическими уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства,  в которых неизвестное содержится под знаком логарифма. Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств, вспомним определение и свойства логарифма. Логарифмом положительного числа b по основанию а (а>0, а ‡1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основные свойства логарифмов: 1) a log ba  b ; 5) log  1  ca      = log ca ; 2) log a a m  m ; 6) log a m b  m log b a ; 3) log ( a cb  ) log b  log c a a ; 7) log an b  log 1 n b a ; log a    b c    log b  log c = 4) Перечислим основные свойства логарифмической функции: ; 8) . a a c log  b a c log log b a 1 Область определения функции log положительных действительных чисел. x 2 Множество значений функции log y y a x a , где a  ,0  1 a - множество - всё множество действительных 3 Промежутки монотонности: если 1a функция возрастает; если 0  a 1 - чисел. функция убывает. Логарифмические уравнения 49 При решении логарифмических уравнений используются два основных ; 2) к уравнению вида )( xg )( xg )( xf )( xf log log   a a метода: 1) переход от уравнения введение новых переменных. Замечание. Так как область определения логарифмической функции только при решении множество положительных действительных чисел, логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку. Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений. log Решение простейшего логарифмического уравнения основано на следующем важном свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа. (1) ,0 a a  ; bxa  1  Для уравнения (1) из этого свойства получаем: x  - единственный корень. ba Для уравнения вида уравнение )( xf ba . log xfa )(  ; b a  ,0 a  1 (2) получаем равносильное Логарифмические неравенства Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах: 1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств: (1) a a log )( xf  log )( xg  0)( xf  xg 0)(  xf )(      2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств: )( xg  0)( xf  xg 0)(  xf )(      Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых значений неравенства (1). )( xg 50 1. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство. 2. Примеры. Пример 1. Решить уравнение:  log3(5х – 1) = 2. Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log3(5х– 1) = 2, log3(5х – 1) = log332, 5х ­ 1 =9, х = 2.  Ответ: 2. Пример 2. Решить уравнение:  log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3. Решение: ОДЗ: log2(х– 5) + log2(х + 2) = 3, log2((х– 5)(х + 2)) = log223, (х – 5)(х + 2) = 8, х2 – 3х – 18 = 0, х1 = 6  (5; + ∞ ); х2= –3  (5; + ∞ ), следовательно, х= ­3 ­ посторонний корень. Ответ: 6. Пример 3. 51 Решить уравнение:  log2х – 2 logх2 = –1 Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1 Используя формулу перехода к новому основанию, получим Обозначим Ответ:  Пример 4. Решить уравнение: 1 lg45  x  4  lg 1 x  3 . Решение. 1) Обозначим 2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение lg , тогда уравнение примет вид x t 1  45 t  4  t 1  3  ,1 1 2 3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений: 1)(45(3)45(4 2)(1 ( t t 1)(45(  1)(45(  t 1  45 t    )1  t )  1  t t t      t )  t )  4  t 1 t    t t   3  0  0  . 52 lg x lg x      ,1 1 2  .  х1=10, х2 = 10 Ответ: х1=10, х2 = 10 . Пример 5.  Решить неравенство:   Решение. Основание логарифма больше числа 1, поэтому решаем систему Получаем  Подводя итог, приходим к ответу:  Пример 6.  Решить неравенство:    Решение. Так как основание логарифма меньше числа 1, то решение неравенства сводится к решению системы Используем далее метод интервалов  53 Получаем ответ:  Пример 7.  Решить неравенство:  Решение. Заменяем  log2x=y и решаем кубическое неравенство Разлагаем левую часть неравенства на множители: Используем далее метод интервалов  Получили решение  Записываем его в виде: Возвращаемся к неизвестной x и с учетом ОДЗ заданного неравенства имеем: Получаем ответ:  54 3. Задания к практической работе. Практическая работа №4 Логарифмические уравнения и неравенства В а р и а н т  1 Решите уравнение: а)  1  2 lg( x  0 )1 б)  в)  lg( х  )7  lg( х  .1)5 log3 2 2 ( x  )2  10 log 2 ( x  3)2  .0 г) log3x2+log√3(х−8)=4        Решите неравенство: а)  .1 log )3,06( х  1 9 55 б) log  3( х  )2 log ( x  ).1  в) log3(х+7)