Поделиться
Ох,уж эта экспонента.pptx
Васильева
Галина Павловна
КГКП «Восточно-Казахстанский технологический колледж», г. Семей
«Ох, уж эта экспонента»
Во многих странах зафиксирован угрожающий рост числа заражений коронавирусом. Правительства разных государств мира призывают сограждан к выполнению всех санитарно-эпидемиологических норм
Вспышка коронавирусной инфекции и карантин, связанный с ней, заставили людей во всём мире кардинально изменить свой образ жизни и перестроиться на дистанционную форму работы.
«Как утверждают эпидемиологи, заражение COVID-19 имеет экспоненциальный рост или что оно развивается по экспоненте»
Э п и г р а ф у р о к а
Георг Цейтен:
«Математика - это цепь понятий: выпадет одно звено - и не понятно будет дальнейшее»
И пусть сегодняшний урок не станет выпавшим звеном в вашем дальнейшем изучении математики.
Что общего между изображениями?
Галилео Галилей:
«Именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе».
Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.
Давайте рассмотрим выражения:
у = х
у =х2
y= ( 𝟏 𝟓 ) 𝒙 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓 ) 𝟏 𝟓 ) 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝟓 ) 𝒙
у= 𝟑 𝒙 𝟑𝟑 𝟑 𝒙 𝒙𝒙 𝟑 𝒙
у= 𝟐 𝒙 𝟐𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝟐 𝒙
y= 𝒙 𝟏 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟏 𝟓 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓 𝒙 𝟏 𝟓
у=х3
y= 𝒙 𝒂 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒂𝒂 𝒙 𝒂
y= 𝒂 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒙 𝒙𝒙 𝒂 𝒙
Тема урока
Показательная функция, ее свойства и график
Определение
График
Свойства
Область применения
y = ax
х – действительное число
Показательная функция – это функция вида
а 1,
𝟏 х 𝟏𝟏 𝟏 х х 𝟏 х =1
а 0,
При а < 0 выражение ах не всегда имеет смысл,
например: не имеет смысла выражение (−𝟑) 𝟏 𝟐 (−𝟑𝟑) (−𝟑) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 (−𝟑) 𝟏 𝟐
При х=0, выражение 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 не имеет смысла
А какие значения могут принимать основание а и показатель х?
а < 0,
а = 0,
а 1,
Задание 1 Из предложенного списка функций,
выбрать ту функцию, которая является
показательной:
6. у= 4 5 х 4 4 5 х 5 х 5 5 х х 5 х 4 5 х
8. у= ( 7 3 ) х ( 7 3 7 7 3 3 7 3 ) ( 7 3 ) х х ( 7 3 ) х
5. у= 0,5 х 0,5 0,5 х х 0,5 х
7. у= 0,5 𝜋 0,5 0,5 𝜋 𝜋𝜋 0,5 𝜋
|
Задание 1
Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая является показательной:
6. у= 4 5 х 4 4 5 х 5 х 5 5 х х 5 х 4 5 х
8. у= ( 7 3 ) х ( 7 3 7 7 3 3 7 3 ) ( 7 3 ) х х ( 7 3 ) х
5. у= 0,5 х 0,5 0,5 х х 0,5 х
7. у= 0,5 𝜋 0,5 0,5 𝜋 𝜋𝜋 0,5 𝜋
И так, мы знаем определение показательной функции.
Сможем узнать ее среди толпы других функций
Следующая задача - построить график и определить свойства показательной функции.
Какими свойствами может обладать функция:
Область определения функции
Область значений функции
Четность / нечетность функции
Периодичность функции
Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу
Промежутки знакопостоянства.
Промежутки монотонности функции ( интервалы значений переменной х при которых функция либо возрастает, либо убывает)
Точки экстремума ( точки максимума или минимума функции)
Группа | Способ построения графика | Функция |
1 | Построение графика с помощью таблицы значений | |
2 | ||
3 | Построение графика в приложении MS Excel | |
4 | ||
5 | Построение графика с помощью графического калькулятора https://www.desmos.com/calculator | y= ( 𝟏 𝟓 ) 𝒙 ( 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓 ) ( 𝟏 𝟓 ) 𝒙 𝒙𝒙 ( 𝟏 𝟓 ) 𝒙 |
6 | у= 5 𝒙 5 5 𝒙 𝒙𝒙 5 𝒙 |
Работа в группах.
Задание
Построить график заданной функции
По графику выявить свойства функции
Свойства функции | ||
Область |
| |
Множество | ||
Возрастание, убывание |
| |
Не является ни четной, ни нечетной.
Не имеет максимума и минимума.
Непрерывна. Ограничена снизу.
Нулей функции нет.
График функции проходит через точку
(0;1)
а>1
0<а<1
у
x
Возрастает
Убывает
;
График показательной функции
Пример. Выберите показательные функции, которые: 1) – убывают на области определения; 2) – возрастают на области определения.
Убывающие
Возрастающие
у= 𝜋 х 𝜋𝜋 𝜋 х х 𝜋 х
Задание 2 Распределите заданные функции на возрастающие и убывающие
а) 𝒚= 𝟒 𝒙
в) 𝒚𝒚=( 𝟑𝟒 𝟓 ) х 𝟑𝟒 𝟓 𝟑𝟑𝟒𝟒 𝟑𝟒 𝟓 𝟓𝟓 𝟑𝟒 𝟓 ) 𝟑𝟒 𝟓 ) х х 𝟑𝟒 𝟓 ) х
г) 𝒚= 𝟐,𝟕 𝒙
е) 𝒚= 𝟓 𝟑𝟒 𝒙
д) 𝒚= 𝟏 𝟑 𝒙
б) 𝒚= 𝟎,𝟑 𝒙
Возрастающие
Убывающие
Для показательной функции справедливы все свойства степенной функции:
а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
а1=а Любое число в первой степени равно самому себе.
ax∙ay=ax+y При умножении степеней показатели складывают.
ax:ay=ax- y При делении степеней из показателя степени делимого
вычитают показатель степени делителя.
(ax)y=axy При возведении степени в степень показатели
перемножают
(a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в
эту степень каждый из множителей.
(a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
а-х= 𝟏 𝒂 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒙 𝒙𝒙 𝒂 𝒙 𝟏 𝒂 𝒙 , ( 𝒂 𝒃 ) −𝒙 ( 𝒂 𝒃 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 ) ( 𝒂 𝒃 ) −𝒙 −𝒙𝒙 ( 𝒂 𝒃 ) −𝒙 = ( 𝒃 𝒂 ) 𝒙 ( 𝒃 𝒂 𝒃𝒃 𝒃 𝒂 𝒂𝒂 𝒃 𝒂 ) ( 𝒃 𝒂 ) 𝒙 𝒙𝒙 ( 𝒃 𝒂 ) 𝒙
𝒂 𝒙 < 𝒂 𝒚 𝒎<𝒏
𝒂 𝒎 > 𝒂 𝒏 𝒎>𝒏
𝒂 𝒎 > 𝒂 𝒏 𝒎<𝒏
𝒂 𝒎 < 𝒂 𝒏 𝒎>𝒏
𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒏 𝒎=𝒏
Пример Каждую из следующих степеней сравните с
единицей.
?
?
?
?
1 = 𝑎 0 𝑎𝑎 𝑎 0 0 𝑎 0
m> n
m>n
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 > 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 < 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏
Сравнить по величине показатели m и n если:
?
?
?
?
Задание 3
m> n
m> n
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 > 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏
𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 < 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏
Пример. Найти область значений функции
у= ( 𝟏 𝟑 ) х ( 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) ( 𝟏 𝟑 ) х х ( 𝟏 𝟑 ) х +2
Область значений показательной функции у =( 𝟏 𝟑 ) х 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) 𝟏 𝟑 ) х х 𝟏 𝟑 ) х
0 < ( 𝟏 𝟑 ) х ( 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) ( 𝟏 𝟑 ) х х ( 𝟏 𝟑 ) х <
Ответ: Е(у)= (2;)
Пример. Найти область значений функции
у= 𝟑 х+𝟐 𝟑𝟑 𝟑 х+𝟐 х+𝟐𝟐 𝟑 х+𝟐 −𝟒𝟒
Представим функцию у= 𝟑 х+𝟐 𝟑𝟑 𝟑 х+𝟐 х+𝟐𝟐 𝟑 х+𝟐 −𝟒𝟒 как у=3х 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 -4
Область значений для 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х 0< 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х <
Умножим каждую часть неравенства на 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐
0 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 < 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 < 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 ,
получаем 0 < 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 <
Теперь из каждой части неравенства вычтем 4
0-4 < 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 −𝟒𝟒< - 4 или -4 < 𝟑 х+𝟐 𝟑𝟑 𝟑 х+𝟐 х+𝟐𝟐 𝟑 х+𝟐 −𝟒𝟒<
Ответ: Е(у)= (-4; )
Преобразование графиков показательных функций
27
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x+3
y=(1/3)
x-3
y=(1/3)
x
y=(1/3)
x
y
Сдвиг графика у= ( 𝟏 𝟑 ) х 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) 𝟏 𝟑 ) х х 𝟏 𝟑 ) х по оси Ох вправо на 3 единицы
D(y)= (- ; )
E(y) = (0; )
Сдвиг графика у= ( 𝟏 𝟑 ) х 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) 𝟏 𝟑 ) х х 𝟏 𝟑 ) х по оси Ох влево на 3 единицы
D(y)= (- ; )
E(y) = (0; )
Пример. Построить графики функций у= ( 𝟏 𝟑 ) х−𝟑 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) 𝟏 𝟑 ) х−𝟑 х−𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) х−𝟑 и у= ( 𝟏 𝟑 ) х+𝟑 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) 𝟏 𝟑 ) х+𝟑 х+𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) х+𝟑
28
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y=3 -2
x
y=3 +2
x
y=3
x
y
Сдвиг графика у= 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х по оси Оу вверх на 2 единицы
D(y)= (- ; )
E(y) = (2; )
Сдвиг графика у= 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х по оси Оу вниз на 2 единицы
D(y)= (- ; )
E(y) = ( - 2; )
Пример. Построить графики функций у= 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х +𝟐𝟐 и у= 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х −𝟐𝟐
29
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y=3
-6
-7
-8
x
y=-3
x
y
Пример. Построить график функции у= −𝟑 х −𝟑𝟑 −𝟑 х х −𝟑 х
График функции у= −𝟑 х −𝟑𝟑 −𝟑 х х −𝟑 х симметричен графику функции у= 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х относительно оси Ох
D(y)= (- ; )
E(y) = (- ; 0)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Пример Установить соответствие между функцией и ее графиком .
у=-( 2 х 2 2 х х 2 х -1)
Задание 4
Укажите область значений функции
Закройте глаза.
Расслабьте тело,
Представьте – вы птицы.
Вы вдруг полетели!
Теперь в океане дельфином плывете,
Теперь в саду яблоки спелые рвете.
Налево, направо, вокруг посмотрели,
Открыли глаза, и снова за дело!
А сейчас, я бы хотела узнать, что вы усвоили ?
1) Поделись определением показательной функции?
2) Назови интервал области определения показательной
функции?
3) Почему в определении показательной функции а 1?
Предложи кому нибудь изобразить график функции у= а х а а х х а х
Придумай основание убывающей показательной функции?
6) Объясни почему график не пересекает ось ОХ
7) Назови функцию которая убывает у = 0,3х или у = 3х
8) Предложи решение неравенства 3х < 81 .
9) Почему все графики показательной функции проходят через точку (0;1)
10) Поделись примером показательной функции с основанием больше 1.
11) Почему показательная функция не имеет максимум?
12)Приведи пример показательной функции с основанием меньше 1.
Ваш бросок и…..
Число е 2,72 является иррациональным или трансцендентным, то есть оно, не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами. Обозначение числа е ввел Леонард Эйлер в 1736 году. Он же вывел первые 23 знака после запятой, а само число назвали неперовым
e 2,718281828459045235360287471352662497757…
График показательной функции с основанием е называется экспонентой.
Показательная функция с основанием e называется
«Вот ты какая, экспонента»
у= е х
экспоненциальной
Леонард Эйлер:
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показательные,
открывают доступ ко многим
Исследованиям окружающего мира.
Масса топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости vo, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя и определяется формулой К.Э. Циолковского : М = m(ev/vo-1)
Скорость падения парашютиста через t секунд определяется по формуле: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста.
Рост народонаселения, изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени.
Рост кроветворных клеток при восстановлении гемоглобина.
Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8 . 1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Рост различных видов микроорганизмов подчиняются одному закону: N = N0ekt
По этому же закону органического размножения распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона.
Процесс выравнивания
Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:
где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.
T = T0+ (100 – T0)e-kt
При прохождении света через мутную среду, каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света.
Сила света I определяется по формуле:
I = I0e-ks ,
где s – толщина слоя;
k – коэффициент, характеризующий мутную среду
Радиоактивный распад вещества задаётся формулой
m = m0(1/2)t/tо,
где m и mо – масса радиоактивного вещества в момент времени t и в начальный момент времени t = 0;
T - период полураспада
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов
Давление воздуха убывает с высотой
Рост древесины происходит по закону A=A0*akt , где
A- изменение количества древесины во времени; A0- начальное количество древесины; t-время;
к, а- некоторые постоянные.
Рост вклада в сберегательном банке
Индийский царь Баграм, испытывая благодарность к своему слуге, подарившем ему шахматы, предложил ему горы золота. Но тот предложил правителю заменить золото простым зерном. Но так чтобы тот положил первое из зерен на клетку шахматной доски. А далее клал на каждую следующую клетку вдвое больше, чем в предыдущий раз.
Получаемое таким путем количество зерна обозначается 20-значным числом, превышающим количество песчинок в Сахаре.
Этого зерна хватит на то, чтобы засеять всю поверхность Земли, включая покрытую океанами и ледниками, целых 9 раз!
Легенда о
шахматах
𝟐 𝟔𝟑
Количество информации в тексте:
где К – количество символов в тексте;
i – информационный вес символа.
i находится по формуле:
где N – мощность алфавита.
Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.
В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число (N) станет равной 2х , т.е. N(х) = 2х.
Примерно по такому же закону происходит изменение массы колонии вируса гриппа
Так вот что объединяет эти изображения?
Тестирование
Проверка Коды правильных ответов
Номер вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Ответ | 4 | 3 | 2 | 1 | |
Урок подходит к концу. Достигнута ли цель нашего урока?
Дали определение показательной функции
Построили график показательной функции
Определили свойства
Использовали эти свойства при решении задач
Узнали какие процессы окружающего нас мира подчиняются показательной функции
И, наконец то узнали, что же такое экспонента
50 60 70 80 90 100
Домашнее задание
У вас сегодня все получится !
Я научился…
Я попробую…
Теперь я могу…
Я понял что …
Сегодня я узнал….
Было интересно …
Было трудно…
Рефлексия . Ваше мнение о том, что дал вам сегодняшний урок. Закончите предложения
«В основе современного математического моделирования эпидемий заложен принцип экспоненциального роста числа заболевших»
Будьте здоровы.
Берегите себя!
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
