Презентация по геометрии "Признаки подобия треугольников"

Формулировка: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Дано: : ∆АВС и ∆А1В1С1, ∠А=∠А1, ∠В=∠В1
Доказать: ∆АВС~∆А1В1С1
Доказательство: По теореме о сумме углов треугольника ∠С= 180º -∠А- ∠В, ∠С1= 180º -- ∠А1- ∠В1 , значит, ∠С= ∠С1 . То есть углы ∆АВС соответственно равны углам ∆А1В1С1 .
Докажем, что стороны ∆АВС пропорциональны сходственным сторонам ∆А1В1С1 . Так как ∠А=∠А1 и ∠С= ∠С1 то SABC / SA1B1C1 = (AB*AC) / (A1B1*A1C1) = (CA*CB) / (C1A1*C1B1) . Из этих равенств следует, что АВ/А1В1= ВС/В1С1 . Аналогично, используя равенства ∠А=∠А1 , ∠В=∠В1, получаем ВС/В1С1=СА/С1А1 . Итак, стороны ∆АВС пропорциональны сходственным сторонам ∆А1В1С1 .
Теорема доказана.

Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1, ∠А=∠А1, АВ/А1В1=АС/А1С1
Доказать: ∆АВС~∆А1В1С1
Доказательство:
Для доказательства применим первый признак подобия треугольников. По условию
∠А = ∠А1, остается доказать, что ∠В = ∠В1. Рассмотрим ∆АВС2, у которого ∠1 = ∠А1,
∠2= ∠В1. ∆ АВС2 и ∆ А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников,
поэтому АВ/А1В1=АС2/А1С1 . По условию теоремы АВ/А1В1=АС/А1С1 . Из последних двух
равенств имеем АС=АС2 .
Рассмотрим ∆АВС и ∆АВС2.  Так как у этих треугольников, во-первых, сторона АВ -
общая,  во-вторых, АС = АС2,  в-третьих, ∠САВ = ∠1, так как ∠САВ = ∠А1и ∠1 = ∠А1, 
можно сделать вывод, что ∆АВС = ∆АВС2 по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников ∆АВС и ∆АВС2 следует, что ∠В = ∠2, а так как ∠2 = ∠В1 , то
∠В = ∠В1.
Теорема доказана.

Формулировка: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1, АВ/А1В1= ВС/В1С1= АС/А1С1
Доказать: ∆АВС~∆А1В1С1
Доказательство:
Учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать,
что ∠А = ∠А1. Рассмотрим  ∆ АВС2, у которого ∠1 = ∠А1 , ∠2 = ∠В1. ∆АВС2 и ∆А1В1С1
подобны по первому признаку подобия треугольников (так как два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого). Поэтому: АВ/А1В1= ВС2/В1С1= АС2/А1С1 . По
условию теоремы: АВ/А1В1= ВС/В1С1= АС/А1С1
Из последних двух равенств стороны ВС и ВС2; АС и АС2 равны между собой. Рассмотрим
треугольники АВС и АВС2.Они равны по трем сторонам (АВ – общая сторона, ВС = ВС2 , АС
=АС2).
Из равенства треугольников АВС и АВС2 следует, что ∠А = ∠1, а так как ∠1 = ∠А1, то ∠А =
=∠А1.
Теорема доказана.

Отрезки АD и ВС пересекаются в точке О так, что АО = 12 см, ВО = 10 см, СО = 30 см, DО = 4 см. Докажите, что треугольники АОС и DОВ подобны.
В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ = 3 см, гипотенуза АС = 5 см. Катеты МК и КР треугольника МКР равны √27 см и 4√3 см. Подобны ли эти треугольники?
Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.
Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.
 Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9.