Презентация по геометрии "Признаки равенства треугольников"

Признаки равенства треугольников

Формулировка: Если две стороны и угол между ними
одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Дано: ∆АВС и ∆DEF, АС = DF, ВС = EF, ∠АСВ = ∠EFD
Доказать: ∆АВС = ∆DEF
Доказательство: Так как ∠АСВ=∠EFD, то треугольник
ABC можно наложить на треугольник DEF, так, что
вершина С совместится с вершиной F, а стороны AС и ВC наложатся соответственно на лучи DF  и EF.
Поскольку AС= FD, ВC= FE, то сторона АС совместится со стороной DF, а сторона ВC - со стороной EF
в частности, совместятся точки В и Е, А и D. Следовательно, совместятся стороны АВ и DЕ. Итак,
треугольники ∆ ABC и ∆ DЕF полностью совместятся, значит, они равны.
Теорема доказана.

Формулировка: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Дано: ∆АВС и ∆A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
Доказать: ∆АВС = ∆ A₁B₁C₁
Доказательство:
Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы точка A
совместилась с точкой A1, отрезок AC-с отрезком A1C1(это возможно, т.к AC=A1C1) и точки
B и B1 лежали в одной полуплоскости относительно прямой A1C1.
Поскольку ∠A=∠A1 и ∠C=∠C1, то луч AB совместиться с лучом A1B1, а луч CB-с лучом
C1B1. Тогда точка B-общая точка лучей AB и CB совместится с точкой B1-общей точкой
лучей A1B1 и C1. Значит треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся,
следовательно, они равны.
Теорема доказана 

Формулировка: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Дано: ∆АВС и ∆A₁B₁C₁, АВ = A₁B₁, ВС = B₁C₁, АС=А₁С₁
Доказать: ∆АВС = ∆ A₁B₁C₁
Доказательство:  Выполним наложение данных в условии фигур. В результате
данного действия имеем три случая:
1 случай : Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно,
треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
3. Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны
(свойство равнобедренного треугольника),получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
4.Поскольку ∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1, ∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C, то и углы AСB и AС1B равны.
5.Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и
А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между
ними).
Что и требовалось доказать

2 случай: Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.



Доказательство:
1)Рассмотрим треугольник САС1.
2)Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно,
сам треугольник САС1 - равнобедренный.
3)По аналогии с доказательством первого случая(пункты 3-5): так как треугольник
САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1 . Отсюда
следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.

3 случай: Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательство:
1)Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
2)По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С –
равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
3)Рассмотрим треугольник АСС1. Согласно условию, стороны АС и А1С1 
равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его
основании равны (∠DC1A =∠DCA), ∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B
+ ∠AC1B.
4)Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы
∠АСВ и ∠АС1В равны.
5) Треугольники АВС иА1В1С1 равныпо двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО 
Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников АВС и DCB
Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC