Презентация по математике. Итоговое повторение

Итоговое повторение Аверьянова

Итоговое повторение

Аверьянова Светлана Евгеньевна.
Преподаватель математики ГАОУ ВО НГГТИ.
Колледж НГГТИ

Решение: Используя свойства степени ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 ( 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ) ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 𝒎𝒎…

Решение:
Используя свойства степени ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 ( 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ) ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 𝒎𝒎 ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 = 𝒂 𝒎𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎𝒏 𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒂 𝒎𝒏 , a-n = 𝟏 𝒂 𝒏 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏 , преобразуем выражение:
91,5 -810,5 – (0,5)-2 = ( 𝟑 𝟐 ) 𝟏.𝟓 - ( 𝟗 𝟐 ) 𝟎,𝟓 – ( 𝟏 𝟐 ) −𝟐 = 𝟑 𝟑 - 𝟗 𝟏 - 𝟐 𝟐 = 27 – 9 – 4 = 14.
Ответ: 14

Вычислите: 91,5 - 810,5 – (0,5)-2

Вычислите: 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔…

Вычислите: 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔

Решение:
Используя основное логарифмическое тождеством 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = b, свойством
p∙ log 𝟐 x = log 𝟐 x 𝒑 , преобразуем выражение:
𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 =(𝟐𝟐 =(𝟐 𝟑 𝟑𝟑 =(𝟐 𝟑 ) =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 = 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟐𝟐 𝟐 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟐 log 𝟐 𝟔 = 6.
Ответ: 6

Решите неравенство: Log2(1-2x) < 0

Решите неравенство: Log2(1-2x) < 0

Решение:
1. Найдем область определения неравенства, так как D(log)=R+, то:
1 - 2х > 0, -2х > -1, х < 0,5, х ϵ (-∞; 0,5)
2. Учитывая, что 0=log220, получим:
log2(1-2x) < log220,
log2(1-2x) < log21.
Функция у = log2t – возрастающая, так как 2 ˃ 1, поэтому:
1 – 2х < 1,
-2х < 1 - 1,
-2х < 0,
х > 0.
3. Учитывая область определения, получим:
х < 0,5 и х > 0.
Ответ: х ϵ (0; 0,5)

Решите неравенство: Log9(4-3x) > 0,5

Решите неравенство: Log9(4-3x) > 0,5

Решение:
1. Найдем область определения неравенства, так как D(log)=R+, то:
4 - 3х ˃ 0, -3х ˃ -4, х ˂ 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 , х ϵ (-∞; 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 )
2. Учитывая, что 0,5 =log990,5, получим:
log9(4 - 3x) ˃ log990.5,
log9(4 - 3x) ˃ log93.
Функция у = log9t – возрастающая, так как 9 ˃ 1, поэтому:
4 – 3х ˃ 3,
-3х ˃ 3 - 4,
-3х ˃ -1,
х ˂ 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 .
3. Учитывая область определения, получим:
х ˂ 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 и х ˂ 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 .
Ответ: х ϵ (-∞; 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 )

Решите уравнение: 2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7 ∙ 2 х 2…

Решите уравнение: 2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48

Решение:
Используя свойства степени 𝒂 𝒏+𝒎 = 𝒂 𝒏 ∙ 𝒂 𝒎 , преобразуем уравнение:
2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙ 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 + 2 х 2 2 х х 2 х ∙ 𝟐 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙( 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 - 7) = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙𝟑𝟑 = 48,
2 х 2 2 х х 2 х = 48 : 3,
2 х 2 2 х х 2 х = 16,
2 х 2 2 х х 2 х = 2 4 2 2 4 4 2 4 ,
Х = 4.
Ответ: 4

Решите уравнение: 5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1…

Решите уравнение: 5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1 х−1 5 х−1 = 31

Решение:
Используя свойства степени 𝒂 𝒏+𝒎 = 𝒂 𝒏 ∙ 𝒂 𝒎 , 𝒂 −𝒏 = 𝟏 𝒂 𝒏 , преобразуем уравнение:
5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1 х−1 5 х−1 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙ 𝟓 𝟏 𝟓𝟓 𝟓 𝟏 𝟏𝟏 𝟓 𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х 5 5 х х 5 х ∙ 𝟓 −𝟏 𝟓𝟓 𝟓 −𝟏 −𝟏𝟏 𝟓 −𝟏 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙( 𝟓 𝟏 𝟓𝟓 𝟓 𝟏 𝟏𝟏 𝟓 𝟏 + 1+ 1 5 1 1 5 5 1 5 ) = 31,
5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31, 5 х 5 5 х х 5 х ∙( 𝟓 𝟓𝟓 𝟓 𝟓 + 1+ 1 5 1 1 5 5 1 5 ) = 31, 5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31, 5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙6 1 5 1 1 5 5 1 5 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х = 31: 31 5 31 31 5 5 31 5 ,
5 х 5 5 х х 5 х = 31 1 31 31 1 1 31 1 ∙ 5 31 5 5 31 31 5 31 ,
5 х 5 5 х х 5 х = 5
Х = 1.
Ответ: 1

Условие: Найдите 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙,𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, если 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙=− 15 17 15 15 17 17 15 17 , 𝝅𝝅<𝒙𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝝅 𝟐

Условие: Найдите 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙,𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, если 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙=− 15 17 15 15 17 17 15 17 , 𝝅𝝅<𝒙𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝝅 𝟐

Решение:
Используя основное тригонометрические тождества 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x= 1,
𝒕𝒈𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒄𝒕𝒈𝒙= 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 , найдем значения функций:
1. 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x= 1,
𝒄𝒐𝒔 𝟐 x = 1 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 1 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟏− (− 𝟏𝟓 𝟏𝟕 ) 𝟐 ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟔𝟒 𝟐𝟖𝟗 ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟖 𝟏𝟕 ,
Так как 𝝅<𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 , то 𝒄𝒐𝒔 x = − 𝟖 𝟏𝟕 ,

2. 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 = − 15 17 15 15 17 17 15 17 : (− 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 )= − 15 17 15 15 17 17 15 17 ∙ (− 𝟏𝟕 𝟖 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟕 𝟖 )= 𝟏𝟓 𝟖 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟓 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟓 𝟖 = 1 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖
3. 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 : (− 15 17 15 15 17 17 15 17 )= − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 ∙(− 17 15 17 17 15 15 17 15 ) = 𝟖 𝟏𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟓 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖 𝟏𝟓

Ответ: 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x = − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 , 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 1 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖 , 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝟖 𝟏𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟓 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖 𝟏𝟓 .

Решите уравнение: (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 ( 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x)…

Решите уравнение: (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅] − 1=𝟎𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎𝟎;𝟐𝟐𝝅𝝅] − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅] − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅]

Решение:
Используя формулу (𝒂+𝒃) 𝟐 (𝒂𝒂+𝒃𝒃) (𝒂+𝒃) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒂+𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 +𝟐𝟐 𝒂𝒃 𝒂𝒂𝒃𝒃 𝒂𝒃 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 , получим:
(𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 − 1=𝟎, − 1=𝟎𝟎, − 1=𝟎, − 1=𝟎,
𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x +𝟐 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 x − 1=𝟎,
Используя основное тригонометрическое тождество 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x = 1, получим:
1+𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x − 1=𝟎, − 1=𝟎𝟎, − 1=𝟎, − 1=𝟎, ⇒ 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎. 𝟐𝟐sin 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎. 𝒙𝒙 cos 𝒙=𝟎. cos cos 𝒙=𝟎. 𝒙𝒙=𝟎𝟎. cos 𝒙=𝟎. 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎.
Используя формулу 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x = 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 2x, получим:
𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 2x=𝟎𝟎,
2x=𝝅𝝅𝒌𝒌, 𝒌𝒌∈𝒁𝒁,
x= 𝝅𝒌 𝟐 𝝅𝝅𝒌𝒌 𝝅𝒌 𝟐 𝟐𝟐 𝝅𝒌 𝟐 , 𝒌𝒌∈𝒁𝒁, выберем решения, принадлежащие отрезку [𝟎𝟎;𝟐𝟐𝝅𝝅]:
0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ; 2𝜋𝜋.
Ответ: 0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ; 2𝜋𝜋.

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Укажите:
А) Область определения;
Б) промежутки возрастания и убывания;
В) При каких значениях 𝑥 𝑓 𝑥 =0; 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0; 𝑥 𝑓 𝑥 =0; 𝑥 𝑓 𝑥 =0;
Г) наибольшее и наименьшее значения функции;
Д) При каких значениях 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2. 𝑥𝑥 −4< 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <2. 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2. 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2.
Решение:
А) 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷𝐷 𝑓 𝑓𝑓 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝑥𝑥 ∈ −2,5;6 −2,5;6 −2,5;6 ; 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ;
Б) 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 , 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↗при 𝑥𝑥∈ −2,5;0,5 −2,5;0,5 −2,5;0,5 , 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 , 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 ,
𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↘при 𝑥𝑥∈(0,5;6);
В) 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5; 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, при 𝑥𝑥=−1.8,𝑥𝑥=1,5; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5;
Г) min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) min [−2,5; 6] min min [−2,5; 6] [−2,5; 6] min [−2,5; 6] min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) =f 6 6 6 =−5,5, max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) max [−2,5; 6] max max [−2,5; 6] [−2,5; 6] max [−2,5; 6] max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) =f 0,5 0,5 0,5 =3,5;
Д) −4< 𝑓 𝑥 <2. −4< 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <2. −4< 𝑓 𝑥 <2. −4< 𝑓 𝑥 <2. при 𝑥𝑥 ∈ −2,4;−1.4 −2,4;−1.4 −2,4;−1.4 ∪ 0,8;5,3 0,8;5,3 0,8;5,3 .

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Укажите:
А) Область определения;
Б) нули функции;
В) промежутки возрастания и убывания;
Г) наибольшее и наименьшее значения функции;
Д) При каких значениях 𝑥 𝑓 𝑥 <−2. 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <−2. 𝑥 𝑓 𝑥 <−2. 𝑥 𝑓 𝑥 <−2.
Решение:
А) 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷𝐷 𝑓 𝑓𝑓 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝑥𝑥 ∈ −3,5;4,5 −3,5;4,5 −3,5;4,5 ; 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ;
Б) 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, при 𝑥𝑥=1.2,𝑥𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6;
В) 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↗при 𝑥𝑥∈ −3,5;−1 −3,5;−1 −3,5;−1 ∪(2,5;4,5), 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↘при 𝑥𝑥∈(−1;2,5);
Г) min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) min [−3,5;4,5] min min [−3,5;4,5] [−3,5;4,5] min [−3,5;4,5] min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) =f 2,5 2,5 2,5 =−2,5, max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) max [−3,5;4,5] max max [−3,5;4,5] [−3,5;4,5] max [−3,5;4,5] max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) =f 4,5 4,5 4,5 =6;
Д) 𝑓 𝑥 <−2. 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <−2. 𝑓 𝑥 <−2. 𝑓 𝑥 <−2. при 𝑥𝑥 ∈ 1,8;3.1 1,8;3.1 1,8;3.1 .

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 4x3 – x2 + 2, которая принимает отрицательное значение при х=1

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 4x3 – x2 + 2, которая принимает отрицательное значение при х=1.

Решение:
Так как функция целая, то D(f)=R, множество всех перообразных имеет вид:
F(x) = 𝟒𝒙 𝟒 𝟒 - 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x + C = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x + C.
По условию задачи F(1) <𝟎, значит:
F(1) = 1 - 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 + 2∙𝟏𝟏+С <𝟎𝟎 ⇒ 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 +С < 0,
С <−𝟐 𝟐 𝟑 , значит С ∈(−∞;−𝟐 𝟐 𝟑 )
Приведем пример:
F(x) = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x - 5.
Ответ: F(x) = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x - 5.

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x5 – x2

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x5 – x2.
Решение:
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(х), для которой F'(х) = f(x)
Так как функция целая, то D(f)=R, множество всех перообразных имеет вид:
F(x) = 𝒙 𝟔 𝟔 - 𝒙 𝟑 𝟑 + C.
Ответ: F(x) = 𝒙 𝟔 𝟔 - 𝒙 𝟑 𝟑 + C.

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см. сплавлены в один куб. Определите площадь поверхности этого куба.

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Решение:
1. Пусть объем одного куба 𝒗 𝟏 𝒗𝒗 𝒗 𝟏 𝟏𝟏 𝒗 𝟏 = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 = 64 ( см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 ).
Так как их три, то 𝒗 𝟐 𝒗𝒗 𝒗 𝟐 𝟐𝟐 𝒗 𝟐 = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 = 3∙64 (см 𝟑 (см (см 𝟑 𝟑𝟑 (см 𝟑 ), где 𝒗 𝟐 𝒗𝒗 𝒗 𝟐 𝟐𝟐 𝒗 𝟐 - объем большого куба.
2. Пусть b - ребро большого куба, тогда:
b = 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 𝟑𝟑∙𝟔𝟔𝟒𝟒 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 = 4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 (см)
3. Пусть 𝑺 пов 𝑺𝑺 𝑺 пов пов 𝑺 пов - площадь поверхности большего куба, 𝑺 кв 𝑺𝑺 𝑺 кв кв 𝑺 кв - площадь поверхности меньшего куба, тогда
𝑺 пов 𝑺𝑺 𝑺 пов пов 𝑺 пов = 6∙ 𝑺 кв 𝑺𝑺 𝑺 кв кв 𝑺 кв = 6∙ b 𝟐 b b 𝟐 𝟐𝟐 b 𝟐 = 6∙ (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 (4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 ) (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 𝟐𝟐 (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 = 6∙𝟏𝟏𝟔𝟔∙ 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 ( см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 ) = 9𝟔𝟔 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 ( см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 )
Ответ: 9𝟔𝟔 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 .

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

Дано:
АВС – треугольник, <С = 90°, АС = ВС, АВ = 8 см., МС⊥АВС, МС = 3 см.,
NA = NB.
Найти: MN - ?

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Дано:
АВС – треугольник, <С = 90°, АС = ВС, АВ = 8 см., МС⊥АВС, МС = 3 см., NA = NB.
Найти: MN - ?
Решение:
1. Рассмотрим АВС – прямоугольный треугольник (по условию), АВ = 8 см. По теореме Пифагора:
АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 = АС 2 АС АС 2 2 АС 2 + ВС 2 + ВС + ВС 2 2 + ВС 2 = 2∙ ВС 2 ВС ВС 2 2 ВС 2 → ВС 2 ВС ВС 2 2 ВС 2 = АВ 2 2 АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 АВ 2 2 2 АВ 2 2 →
ВС ВС ВС ВС = АВ 2 2 АВ 2 2 АВ 2 2 АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 АВ 2 2 2 АВ 2 2 АВ 2 2 = 8 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 8 8 2 2 8 2 8 2 2 2 8 2 2 8 2 2 = 𝟖 𝟐 𝟖𝟖 𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 (см)
2. Рассмотрим ВMС – прямоугольный треугольник (по условию), так как МС⊥АВС (по условию). По теореме Пифагора:
BM = CM 2 + BC 2 CM 2 + BC 2 CM 2 CM CM 2 2 CM 2 + BC 2 BC BC 2 2 BC 2 CM 2 + BC 2 = 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 3 3 2 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 ( 𝟖 𝟐 𝟖𝟖 𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 ) ( 𝟖 𝟐 ) 2 2 ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 = 9 + 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝟔𝟒 𝟐 𝟐𝟐 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 = 9 + 32 9 + 32 9 + 32 9 + 32 = 41 41 41 41 (см)

3. Рассмотрим MNB – прямоугольный треугольник по Теореме о трех перпендикулярах (<N = 90°). По теореме Пифагора:
NM = MB 2 − B𝑁 2 MB 2 − B𝑁 2 MB 2 MB MB 2 2 MB 2 − B𝑁 2 B𝑁𝑁 B𝑁 2 2 B𝑁 2 MB 2 − B𝑁 2 = ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 ( 41 41 41 41 ) ( 41 ) 2 2 ( 41 ) 2 − 4 ( 41 ) 2 − 4 2 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 = 41 − 16 41 − 16 41 − 16 41 − 16 = 25 25 25 25 = 5 (см)
Ответ: 5 см см см см .

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см., двугранный угол при основании 300. Найдите объем пирамиды.

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SO = 8 см., <SMO = 30°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SO = 8 см., <SMO = 30°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?
Решение:
1. Рассмотрим SOM – прямоугольный треугольник (по условию):
OM = 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 𝑆𝑆𝑂𝑂 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 𝑡𝑔30 0 𝑡𝑡𝑔𝑔30 𝑡𝑔30 0 0 𝑡𝑔30 0 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 = 8 1 3 8 8 1 3 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 8 1 3 = 8∙ 3 3 3 3 (см)
2. Рассмотрим основание пирамиды ABCD – квадрат (по условию), где OM = r – радиус вписанной окружности.
r = 1 2 1 1 2 2 1 2 AD → AD = 2r = 2∙8 3 3 3 3 = 16 3 3 3 3 (см)
S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 = AD 2 AD AD 2 2 AD 2 = (16 3 ) 2 (16 3 3 3 3 ) (16 3 ) 2 2 (16 3 ) 2 = 256∙3 = 768( см 2 см см 2 2 см 2 )

3. Рассмотрим пирамиду SАВСD, где H = SO = = 8 см.
V пир V V пир пир V пир = 1 3 1 1 3 3 1 3 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∙H = 1 3 1 1 3 3 1 3 ∙768∙8 = 2048( см 3 см см 3 3 см 3 )

Ответ: 2048 см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 .

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см., двугранный угол при основании 450. Найдите объем пирамиды.

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SN = 16 см.,
<SNO = 45°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SN = 16 см.,
<SNO = 45°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?
Решение:
1. Рассмотрим треугольник SON – прямоугольный (по условию), равнобедренный, т.к. <SNO = 45° (по условию), значит: SO = SN. По Теореме Пифагора: SN 2 SN SN 2 2 SN 2 = SO 2 SO SO 2 2 SO 2 + ON 2 ON ON 2 2 ON 2 = 2 SO 2 SO SO 2 2 SO 2 →2 SN 2 SN SN 2 2 SN 2 = 16 2 16 16 2 2 16 2 = 256, значит
2 SO 2 SO SO 2 2 SO 2 = 256 → SO 2 SO SO 2 2 SO 2 = 128 → SO = 128 128 128 128 = 8 2 2 2 2 (см)
Так как SO = SN, то ON = 8 2 2 2 2 (см)
2. Рассмотрим основание пирамиды ABCD – квадрат (по условию), где AD = 2ON = 2∙ 8 2 2 2 2 = 16 2 2 2 2 (см)
S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 = AD 2 AD AD 2 2 AD 2 = (16 2 ) 2 (16 2 2 2 2 ) (16 2 ) 2 2 (16 2 ) 2 = 256∙2 = 512( см 2 см см 2 2 см 2 )

3. Рассмотрим пирамиду SАВСD, где H = SO = = 8 2 2 2 2 см.
V пир V V пир пир V пир = 1 3 1 1 3 3 1 3 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∙H = 1 3 1 1 3 3 1 3 ∙512∙8 2 2 2 2 = 4096 2 3 4096 2 2 2 2 4096 2 3 3 4096 2 3 ( см 3 см см 3 3 см 3 )

Ответ: 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟗𝟗𝟔𝟔 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 .

Решите уравнение log7 (х2 - 2х – 8) = 1

Решите уравнение log7 (х2 - 2х – 8) = 1.

Решение:
1. Найдем область определения уравнения, так как D(log)=R+, то:
х2 - 2х – 8 ˃ 0,
х2 - 2х – 8 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−2) 𝟐 – 4∙1∙(-8) = 4 + 32 = 36 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟐 ± 𝟑𝟔 𝟐 = 𝟐 ±𝟔 𝟐 ,
х 𝟏 = -2, х 𝟐 = 4, x ϵ (-∞; -2)∪(4; + ∞)
2. Учитывая, что 1 = log771, получим:
log7(х2 - 2х – 8) = log77.

3. Решим полученное уравнение:
х2 - 2х – 8 = 7,
х2 - 2х – 8 - 7 = 0,
х2 - 2х – 15 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−2) 𝟐 – 4∙1∙(-15) = 4 + 60 = 64 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟐 ± 𝟔𝟒 𝟐 = 𝟐 ±𝟖 𝟐 ,
х 𝟏 = -3 ϵ (−∞; −2)∪(4; + ∞),
х 𝟐 х х 𝟐 𝟐𝟐 х 𝟐 = 5 ϵ (−∞; −2)∪(4; + ∞).
Ответ: -3; 5.

Решите уравнение log2 (х2 - 4х + 4) = 4

Решите уравнение log2 (х2 - 4х + 4) = 4.

Решение:
1. Найдем область определения уравнения, так как D(log)=R+, то:
х2 - 4х + 4 ˃ 0,
х2 - 4х + 4 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−4) 𝟐 – 4∙1∙4 = 16 - 16 = 𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟒 ± 𝟎 𝟐 = 𝟒 ±𝟎 𝟐 ,
х 𝟏 = х 𝟐 = 2, x ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞)
2. Учитывая, что 4 = log224, получим:
log2(х2 - 4х + 4) = log224.

3. Решим полученное уравнение:
х2 - 4х + 4 = 24,
х2 - 4х + 4 - 16 = 0,
х2 - 4х – 12 = 0,
D = b 𝟐 - 4ac = (−4) 𝟐 – 4∙1∙(-12) =16 + 48 = 64 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟒 ± 𝟔𝟒 𝟐 = 𝟒 ±𝟖 𝟐 ,
х 𝟏 = -2 ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞),
х 𝟐 х х 𝟐 𝟐𝟐 х 𝟐 = 6 ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞).
Ответ: -2; 6.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -х3 + 3х2 + 4 на отрезке [-3; 3]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -х3 + 3х2 + 4 на отрезке [-3; 3].

Решение:
1. Найдем производную функции: y ′ = (-х3 + 3х2 + 4)′ = -3 х2 + 3∙2х + 0 = - х2 + 6х.
2. Найдем критические точки:
y ′ = 0,
-3х2 + 6х = 0,
-3х (х – 2) = 0,
х 𝟏 = 0 ∈ [-3; 3], х 𝟐 = 2 ∈ [-3; 3].
3. Найдем значения функции на концах интервала и в критических точках х 𝟏 = 0, х 𝟐 = 2:
Y(-3) = -(-3)3 + 3(-3)2 + 4 = 27 + 27 + 4 = 58,
Y(0) = -03 + 3∙02 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4,
Y(2) = -23 + 3∙𝟐2 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8,
Y(3) = -33 + 3∙32 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4.

4. Выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 =у 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 =𝟒𝟒,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у −𝟑 −𝟑𝟑 −𝟑 =𝟓𝟓𝟖𝟖.

Ответ:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 =у 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 =𝟒𝟒,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у −𝟑 −𝟑𝟑 −𝟑 =𝟓𝟓𝟖𝟖.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2х3 + 3х2 – 12х – 1 на отрезке [-1; 2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2х3 + 3х2 – 12х – 1 на отрезке [-1; 2].
Решение:
1. Найдем производную функции: y ′ = (2х3 + 3х2 – 12х - 1)′ = 6х2 + 3∙2х – 12 - 0 = 6х2 + 6х - 12.
2. Найдем критические точки:
y ′ = 0,
6х2 + 6х – 12 = 0,
х2 + х – 2 = 0,
𝒙 𝟏;𝟐 = −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 = −𝟏± 𝟏 𝟐 −𝟒∙𝟏∙(−𝟐) 𝟐∙𝟏 = −𝟏± 𝟏+𝟖 𝟐 = −𝟏± 𝟗 𝟐 = −𝟏±𝟑 𝟐 ;
х 𝟏 х х 𝟏 𝟏𝟏 х 𝟏 = −𝟏+𝟑 𝟐 −𝟏𝟏+𝟑𝟑 −𝟏+𝟑 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏+𝟑 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 = 1 ∈ [-1; 2],
х 𝟐 = −𝟏−𝟑 𝟐𝟐 = −𝟒 𝟐 = -2 ∉ [-1; 2].
3. Найдем значения функции на концах интервала и в критической точке х 𝟏 = 1:
Y(-1) = 2(-1)3 + 3(-1)2 – 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12,
Y(1) = 2∙13 + 3∙𝟏2 - 12∙1 − 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = - 8,
Y(2) = 2∙𝟐3 + 3∙𝟐2 - 12∙2 − 1 = 16 + 12 – 24 - 1 = 3.
4. Выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 =−𝟖𝟖,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 =𝟏𝟏𝟐𝟐.

Ответ: 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 =−𝟖𝟖,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 =𝟏𝟏𝟐𝟐.