Презентация по математике. Итоговое повторение
Оценка 4.7

Презентация по математике. Итоговое повторение

Оценка 4.7
pptx
16.11.2021
Презентация по математике. Итоговое повторение
Итоговое повторение.pptx

Итоговое повторение Аверьянова

Итоговое повторение Аверьянова

Итоговое повторение

Аверьянова Светлана Евгеньевна.
Преподаватель математики ГАОУ ВО НГГТИ.
Колледж НГГТИ

1

Решение: Используя свойства степени ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 ( 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ) ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 𝒎𝒎…

Решение: Используя свойства степени ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 ( 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ) ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 𝒎𝒎…

Решение:
Используя свойства степени ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 ( 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 ) ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 𝒎𝒎 ( 𝒂 𝒏 ) 𝒎 = 𝒂 𝒎𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎𝒏 𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒂 𝒎𝒏 , a-n = 𝟏 𝒂 𝒏 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏 , преобразуем выражение:
91,5 -810,5 – (0,5)-2 = ( 𝟑 𝟐 ) 𝟏.𝟓 - ( 𝟗 𝟐 ) 𝟎,𝟓 – ( 𝟏 𝟐 ) −𝟐 = 𝟑 𝟑 - 𝟗 𝟏 - 𝟐 𝟐 = 27 – 9 – 4 = 14.
Ответ: 14

Вычислите: 91,5 - 810,5 – (0,5)-2

2

Вычислите: 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔…

Вычислите: 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔…

Вычислите: 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔

Решение:
Используя основное логарифмическое тождеством 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = b, свойством
p∙ log 𝟐 x = log 𝟐 x 𝒑 , преобразуем выражение:
𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟖𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟖 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 =(𝟐𝟐 =(𝟐 𝟑 𝟑𝟑 =(𝟐 𝟑 ) =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 =(𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 log 𝟐 𝟔 = 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟐𝟐 𝟐 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 𝟔 log 𝟐 log log 𝟐 𝟐𝟐 log 𝟐 log 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 log 𝟐 𝟔 𝟐 log 𝟐 𝟔 = 6.
Ответ: 6

3

Решите неравенство: Log2(1-2x) < 0

Решите неравенство: Log2(1-2x) < 0

Решите неравенство: Log2(1-2x) < 0

Решение:
1. Найдем область определения неравенства, так как D(log)=R+, то:
1 - 2х > 0, -2х > -1, х < 0,5, х ϵ (-∞; 0,5)
2. Учитывая, что 0=log220, получим:
log2(1-2x) < log220,
log2(1-2x) < log21.
Функция у = log2t – возрастающая, так как 2 ˃ 1, поэтому:
1 – 2х < 1,
-2х < 1 - 1,
-2х < 0,
х > 0.
3. Учитывая область определения, получим:
х < 0,5 и х > 0.
Ответ: х ϵ (0; 0,5)


4

Решите неравенство: Log9(4-3x) > 0,5

Решите неравенство: Log9(4-3x) > 0,5

Решите неравенство: Log9(4-3x) > 0,5

Решение:
1. Найдем область определения неравенства, так как D(log)=R+, то:
4 - 3х ˃ 0, -3х ˃ -4, х ˂ 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 , х ϵ (-∞; 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 )
2. Учитывая, что 0,5 =log990,5, получим:
log9(4 - 3x) ˃ log990.5,
log9(4 - 3x) ˃ log93.
Функция у = log9t – возрастающая, так как 9 ˃ 1, поэтому:
4 – 3х ˃ 3,
-3х ˃ 3 - 4,
-3х ˃ -1,
х ˂ 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 .
3. Учитывая область определения, получим:
х ˂ 1 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 и х ˂ 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 .
Ответ: х ϵ (-∞; 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 )

5

Решите уравнение: 2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7 ∙ 2 х 2…

Решите уравнение: 2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7 ∙ 2 х 2…

Решите уравнение: 2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48

Решение:
Используя свойства степени 𝒂 𝒏+𝒎 = 𝒂 𝒏 ∙ 𝒂 𝒎 , преобразуем уравнение:
2 х+𝟑 2 2 х+𝟑 х+𝟑𝟑 2 х+𝟑 + 2 х+1 2 2 х+1 х+1 2 х+1 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙ 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 + 2 х 2 2 х х 2 х ∙ 𝟐 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 - 7∙ 2 х 2 2 х х 2 х = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙( 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 - 7) = 48,
2 х 2 2 х х 2 х ∙𝟑𝟑 = 48,
2 х 2 2 х х 2 х = 48 : 3,
2 х 2 2 х х 2 х = 16,
2 х 2 2 х х 2 х = 2 4 2 2 4 4 2 4 ,
Х = 4.
Ответ: 4

6

Решите уравнение: 5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1…

Решите уравнение: 5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1…

Решите уравнение: 5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1 х−1 5 х−1 = 31

Решение:
Используя свойства степени 𝒂 𝒏+𝒎 = 𝒂 𝒏 ∙ 𝒂 𝒎 , 𝒂 −𝒏 = 𝟏 𝒂 𝒏 , преобразуем уравнение:
5 х+𝟏 5 5 х+𝟏 х+𝟏𝟏 5 х+𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х−1 5 5 х−1 х−1 5 х−1 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙ 𝟓 𝟏 𝟓𝟓 𝟓 𝟏 𝟏𝟏 𝟓 𝟏 + 5 х 5 5 х х 5 х + 5 х 5 5 х х 5 х ∙ 𝟓 −𝟏 𝟓𝟓 𝟓 −𝟏 −𝟏𝟏 𝟓 −𝟏 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙( 𝟓 𝟏 𝟓𝟓 𝟓 𝟏 𝟏𝟏 𝟓 𝟏 + 1+ 1 5 1 1 5 5 1 5 ) = 31,
5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31, 5 х 5 5 х х 5 х ∙( 𝟓 𝟓𝟓 𝟓 𝟓 + 1+ 1 5 1 1 5 5 1 5 ) = 31, 5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31, 5 х ∙( 𝟓 + 1+ 1 5 ) = 31,
5 х 5 5 х х 5 х ∙6 1 5 1 1 5 5 1 5 = 31,
5 х 5 5 х х 5 х = 31: 31 5 31 31 5 5 31 5 ,
5 х 5 5 х х 5 х = 31 1 31 31 1 1 31 1 5 31 5 5 31 31 5 31 ,
5 х 5 5 х х 5 х = 5
Х = 1.
Ответ: 1

7

Условие: Найдите 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙,𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, если 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙=− 15 17 15 15 17 17 15 17 , 𝝅𝝅<𝒙𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝝅 𝟐

Условие: Найдите 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙,𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, если 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙=− 15 17 15 15 17 17 15 17 , 𝝅𝝅<𝒙𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝝅 𝟐

Условие: Найдите 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙,𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙, если 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙=− 15 17 15 15 17 17 15 17 , 𝝅𝝅<𝒙𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝝅 𝟐

Решение:
Используя основное тригонометрические тождества 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x= 1,
𝒕𝒈𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒄𝒕𝒈𝒙= 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 , найдем значения функций:
1. 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x= 1,
𝒄𝒐𝒔 𝟐 x = 1 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 1 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟏− (− 𝟏𝟓 𝟏𝟕 ) 𝟐 ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟔𝟒 𝟐𝟖𝟗 ,
𝒄𝒐𝒔 x = ± 𝟖 𝟏𝟕 ,
Так как 𝝅<𝒙< 𝟑𝝅 𝟐 , то 𝒄𝒐𝒔 x = − 𝟖 𝟏𝟕 ,

2. 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 = − 15 17 15 15 17 17 15 17 : (− 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 )= − 15 17 15 15 17 17 15 17 ∙ (− 𝟏𝟕 𝟖 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟕 𝟖 )= 𝟏𝟓 𝟖 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟓 𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟓 𝟖 = 1 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖
3. 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 : (− 15 17 15 15 17 17 15 17 )= − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 ∙(− 17 15 17 17 15 15 17 15 ) = 𝟖 𝟏𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟓 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖 𝟏𝟓

Ответ: 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x = − 𝟖 𝟏𝟕 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟖 𝟏𝟕 , 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 1 𝟕 𝟖 𝟕𝟕 𝟕 𝟖 𝟖𝟖 𝟕 𝟖 , 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈𝒙𝒙= 𝟖 𝟏𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟏𝟓 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖 𝟏𝟓 .

8

Решите уравнение: (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 ( 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x)…

Решите уравнение: (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 ( 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x)…

Решите уравнение: (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅] − 1=𝟎𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎𝟎;𝟐𝟐𝝅𝝅] − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅] − 1=𝟎, принадлежащие отрезку [𝟎;𝟐𝝅]

Решение:
Используя формулу (𝒂+𝒃) 𝟐 (𝒂𝒂+𝒃𝒃) (𝒂+𝒃) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒂+𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 +𝟐𝟐 𝒂𝒃 𝒂𝒂𝒃𝒃 𝒂𝒃 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 , получим:
(𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 (𝒔𝒊𝒏 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x) (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒔𝒊𝒏 x + 𝒄𝒐𝒔 x) 𝟐 − 1=𝟎, − 1=𝟎𝟎, − 1=𝟎, − 1=𝟎,
𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x +𝟐 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 x − 1=𝟎,
Используя основное тригонометрическое тождество 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 x + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 x = 1, получим:
1+𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x − 1=𝟎, − 1=𝟎𝟎, − 1=𝟎, − 1=𝟎, ⇒ 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎. 𝟐𝟐sin 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎. 𝒙𝒙 cos 𝒙=𝟎. cos cos 𝒙=𝟎. 𝒙𝒙=𝟎𝟎. cos 𝒙=𝟎. 𝟐sin 𝒙 cos 𝒙=𝟎.
Используя формулу 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 x 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 x = 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 2x, = 𝒔𝒊𝒏 2x, получим:
𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 2x=𝟎𝟎,
2x=𝝅𝝅𝒌𝒌, 𝒌𝒌∈𝒁𝒁,
x= 𝝅𝒌 𝟐 𝝅𝝅𝒌𝒌 𝝅𝒌 𝟐 𝟐𝟐 𝝅𝒌 𝟐 , 𝒌𝒌∈𝒁𝒁, выберем решения, принадлежащие отрезку [𝟎𝟎;𝟐𝟐𝝅𝝅]:
0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ; 2𝜋𝜋.
Ответ: 0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ; 2𝜋𝜋.

9

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Укажите:
А) Область определения;
Б) промежутки возрастания и убывания;
В) При каких значениях 𝑥 𝑓 𝑥 =0; 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0; 𝑥 𝑓 𝑥 =0; 𝑥 𝑓 𝑥 =0;
Г) наибольшее и наименьшее значения функции;
Д) При каких значениях 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2. 𝑥𝑥 −4< 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <2. 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2. 𝑥 −4< 𝑓 𝑥 <2.
Решение:
А) 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷𝐷 𝑓 𝑓𝑓 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝑥𝑥 ∈ −2,5;6 −2,5;6 −2,5;6 ; 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −2,5;6 ;
Б) 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 , 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↗при 𝑥𝑥∈ −2,5;0,5 −2,5;0,5 −2,5;0,5 , 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 , 𝑓 𝑥 ↗при 𝑥∈ −2,5;0,5 ,
𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↘при 𝑥𝑥∈(0,5;6);
В) 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5; 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, при 𝑥𝑥=−1.8,𝑥𝑥=1,5; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=−1.8,𝑥=1,5;
Г) min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) min [−2,5; 6] min min [−2,5; 6] [−2,5; 6] min [−2,5; 6] min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) min [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) =f 6 6 6 =−5,5, max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) max [−2,5; 6] max max [−2,5; 6] [−2,5; 6] max [−2,5; 6] max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) max [−2,5; 6] 𝑓(𝑥) =f 0,5 0,5 0,5 =3,5;
Д) −4< 𝑓 𝑥 <2. −4< 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <2. −4< 𝑓 𝑥 <2. −4< 𝑓 𝑥 <2. при 𝑥𝑥 ∈ −2,4;−1.4 −2,4;−1.4 −2,4;−1.4 ∪ 0,8;5,3 0,8;5,3 0,8;5,3 .

10

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Условие: Функция y=f(x) задана рисунком

Укажите:
А) Область определения;
Б) нули функции;
В) промежутки возрастания и убывания;
Г) наибольшее и наименьшее значения функции;
Д) При каких значениях 𝑥 𝑓 𝑥 <−2. 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <−2. 𝑥 𝑓 𝑥 <−2. 𝑥 𝑓 𝑥 <−2.
Решение:
А) 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷𝐷 𝑓 𝑓𝑓 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝑥𝑥 ∈ −3,5;4,5 −3,5;4,5 −3,5;4,5 ; 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ; 𝐷 𝑓 : 𝑥 ∈ −3,5;4,5 ;
Б) 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =0, при 𝑥𝑥=1.2,𝑥𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6; 𝑓 𝑥 =0, при 𝑥=1.2,𝑥=3,6;
В) 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↗при 𝑥𝑥∈ −3,5;−1 −3,5;−1 −3,5;−1 ∪(2,5;4,5), 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ↘при 𝑥𝑥∈(−1;2,5);
Г) min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) min [−3,5;4,5] min min [−3,5;4,5] [−3,5;4,5] min [−3,5;4,5] min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) min [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) =f 2,5 2,5 2,5 =−2,5, max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) max [−3,5;4,5] max max [−3,5;4,5] [−3,5;4,5] max [−3,5;4,5] max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) max [−3,5;4,5] 𝑓(𝑥) =f 4,5 4,5 4,5 =6;
Д) 𝑓 𝑥 <−2. 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 <−2. 𝑓 𝑥 <−2. 𝑓 𝑥 <−2. при 𝑥𝑥 ∈ 1,8;3.1 1,8;3.1 1,8;3.1 .

11

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 4x3 – x2 + 2, которая принимает отрицательное значение при х=1

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 4x3 – x2 + 2, которая принимает отрицательное значение при х=1

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 4x3 – x2 + 2, которая принимает отрицательное значение при х=1.

Решение:
Так как функция целая, то D(f)=R, множество всех перообразных имеет вид:
F(x) = 𝟒𝒙 𝟒 𝟒 - 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x + C = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x + C.
По условию задачи F(1) <𝟎, значит:
F(1) = 1 - 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 + 2∙𝟏𝟏+С <𝟎𝟎 ⇒ 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 +С < 0,
С <−𝟐 𝟐 𝟑 , значит С ∈(−∞;−𝟐 𝟐 𝟑 )
Приведем пример:
F(x) = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x - 5.
Ответ: F(x) = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝟑 + 2x - 5.


12

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x5 – x2

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x5 – x2

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x5 – x2.

Решение:
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(х), для которой F'(х) = f(x)
Так как функция целая, то D(f)=R, множество всех перообразных имеет вид:
F(x) = 𝒙 𝟔 𝟔 - 𝒙 𝟑 𝟑 + C.
Ответ: F(x) = 𝒙 𝟔 𝟔 - 𝒙 𝟑 𝟑 + C.

13

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см. сплавлены в один куб. Определите площадь поверхности этого куба.

14

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см

Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см. сплавлены в один куб. Определите площадь поверхности этого куба.

Решение:
1. Пусть объем одного куба 𝒗 𝟏 𝒗𝒗 𝒗 𝟏 𝟏𝟏 𝒗 𝟏 = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 = 64 ( см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 ).
Так как их три, то 𝒗 𝟐 𝒗𝒗 𝒗 𝟐 𝟐𝟐 𝒗 𝟐 = 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 = 364 (см 𝟑 (см (см 𝟑 𝟑𝟑 (см 𝟑 ), где 𝒗 𝟐 𝒗𝒗 𝒗 𝟐 𝟐𝟐 𝒗 𝟐 - объем большого куба.
2. Пусть b - ребро большого куба, тогда:
b = 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 𝟑𝟑∙𝟔𝟔𝟒𝟒 𝟑 𝟑∙𝟔𝟒 = 4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 (см)
3. Пусть 𝑺 пов 𝑺𝑺 𝑺 пов пов 𝑺 пов - площадь поверхности большего куба, 𝑺 кв 𝑺𝑺 𝑺 кв кв 𝑺 кв - площадь поверхности меньшего куба, тогда
𝑺 пов 𝑺𝑺 𝑺 пов пов 𝑺 пов = 6∙ 𝑺 кв 𝑺𝑺 𝑺 кв кв 𝑺 кв = 6∙ b 𝟐 b b 𝟐 𝟐𝟐 b 𝟐 = 6 (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 (4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 ) (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 𝟐𝟐 (4 𝟑 𝟑 ) 𝟐 = 6∙𝟏𝟏𝟔𝟔∙ 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 ( см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 ) = 9𝟔𝟔 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 ( см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 )
Ответ: 9𝟔𝟔 𝟑 𝟗 𝟑𝟑 𝟑 𝟗 𝟗𝟗 𝟑 𝟗 см 𝟐 см см 𝟐 𝟐𝟐 см 𝟐 .

15

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

16

Дано:
АВС – треугольник, <С = 90°, АС = ВС, АВ = 8 см., МСАВС, МС = 3 см.,
NA = NB.
Найти: MN - ?

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом

Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

Дано:
АВС – треугольник, <С = 90°, АС = ВС, АВ = 8 см., МСАВС, МС = 3 см., NA = NB.
Найти: MN - ?
Решение:
1. Рассмотрим АВС – прямоугольный треугольник (по условию), АВ = 8 см. По теореме Пифагора:
АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 = АС 2 АС АС 2 2 АС 2 + ВС 2 + ВС + ВС 2 2 + ВС 2 = 2∙ ВС 2 ВС ВС 2 2 ВС 2 ВС 2 ВС ВС 2 2 ВС 2 = АВ 2 2 АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 АВ 2 2 2 АВ 2 2
ВС ВС ВС ВС = АВ 2 2 АВ 2 2 АВ 2 2 АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 АВ 2 2 2 АВ 2 2 АВ 2 2 = 8 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 8 8 2 2 8 2 8 2 2 2 8 2 2 8 2 2 = 𝟖 𝟐 𝟖𝟖 𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 (см)
2. Рассмотрим ВMС – прямоугольный треугольник (по условию), так как МСАВС (по условию). По теореме Пифагора:
BM = CM 2 + BC 2 CM 2 + BC 2 CM 2 CM CM 2 2 CM 2 + BC 2 BC BC 2 2 BC 2 CM 2 + BC 2 = 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 3 3 2 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 ( 𝟖 𝟐 𝟖𝟖 𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 ) ( 𝟖 𝟐 ) 2 2 ( 𝟖 𝟐 ) 2 3 2 + ( 𝟖 𝟐 ) 2 = 9 + 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝟔𝟒 𝟐 𝟐𝟐 𝟔𝟒 𝟐 9 + 𝟔𝟒 𝟐 = 9 + 32 9 + 32 9 + 32 9 + 32 = 41 41 41 41 (см)

3. Рассмотрим MNB – прямоугольный треугольник по Теореме о трех перпендикулярах (<N = 90°). По теореме Пифагора:
NM = MB 2 − B𝑁 2 MB 2 − B𝑁 2 MB 2 MB MB 2 2 MB 2 − B𝑁 2 B𝑁𝑁 B𝑁 2 2 B𝑁 2 MB 2 − B𝑁 2 = ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 ( 41 41 41 41 ) ( 41 ) 2 2 ( 41 ) 2 − 4 ( 41 ) 2 − 4 2 2 ( 41 ) 2 − 4 2 ( 41 ) 2 − 4 2 = 41 − 16 41 − 16 41 − 16 41 − 16 = 25 25 25 25 = 5 (см)
Ответ: 5 см см см см .

17

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см., двугранный угол при основании 300. Найдите объем пирамиды.

18

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SO = 8 см., <SMO = 30°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см., двугранный угол при основании 300. Найдите объем пирамиды.

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SO = 8 см., <SMO = 30°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?
Решение:
1. Рассмотрим SOM – прямоугольный треугольник (по условию):
OM = 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 𝑆𝑆𝑂𝑂 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 𝑡𝑔30 0 𝑡𝑡𝑔𝑔30 𝑡𝑔30 0 0 𝑡𝑔30 0 𝑆𝑂 𝑡𝑔30 0 = 8 1 3 8 8 1 3 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 8 1 3 = 8∙ 3 3 3 3 (см)
2. Рассмотрим основание пирамиды ABCD – квадрат (по условию), где OM = r – радиус вписанной окружности.
r = 1 2 1 1 2 2 1 2 AD AD = 2r = 28 3 3 3 3 = 16 3 3 3 3 (см)
S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 = AD 2 AD AD 2 2 AD 2 = (16 3 ) 2 (16 3 3 3 3 ) (16 3 ) 2 2 (16 3 ) 2 = 2563 = 768( см 2 см см 2 2 см 2 )

3. Рассмотрим пирамиду SАВСD, где H = SO = = 8 см.
V пир V V пир пир V пир = 1 3 1 1 3 3 1 3 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 H = 1 3 1 1 3 3 1 3 7688 = 2048( см 3 см см 3 3 см 3 )

Ответ: 2048 см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 .

19

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см., двугранный угол при основании 450. Найдите объем пирамиды.

20

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SN = 16 см.,
<SNO = 45°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см

В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см., двугранный угол при основании 450. Найдите объем пирамиды.

Дано:
SАВСD – пирамида, ABCD – квадрат, SN = 16 см.,
<SNO = 45°.
Найти: V пир V V пир пир V пир - ?
Решение:
1. Рассмотрим треугольник SON – прямоугольный (по условию), равнобедренный, т.к. <SNO = 45° (по условию), значит: SO = SN. По Теореме Пифагора: SN 2 SN SN 2 2 SN 2 = SO 2 SO SO 2 2 SO 2 + ON 2 ON ON 2 2 ON 2 = 2 SO 2 SO SO 2 2 SO 2 →2 SN 2 SN SN 2 2 SN 2 = 16 2 16 16 2 2 16 2 = 256, значит
2 SO 2 SO SO 2 2 SO 2 = 256 SO 2 SO SO 2 2 SO 2 = 128 SO = 128 128 128 128 = 8 2 2 2 2 (см)
Так как SO = SN, то ON = 8 2 2 2 2 (см)
2. Рассмотрим основание пирамиды ABCD – квадрат (по условию), где AD = 2ON = 2 8 2 2 2 2 = 16 2 2 2 2 (см)
S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 = AD 2 AD AD 2 2 AD 2 = (16 2 ) 2 (16 2 2 2 2 ) (16 2 ) 2 2 (16 2 ) 2 = 2562 = 512( см 2 см см 2 2 см 2 )

3. Рассмотрим пирамиду SАВСD, где H = SO = = 8 2 2 2 2 см.
V пир V V пир пир V пир = 1 3 1 1 3 3 1 3 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 S S 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 S 𝐴𝐵𝐶𝐷 H = 1 3 1 1 3 3 1 3 5128 2 2 2 2 = 4096 2 3 4096 2 2 2 2 4096 2 3 3 4096 2 3 ( см 3 см см 3 3 см 3 )

Ответ: 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟗𝟗𝟔𝟔 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟑 см 𝟑 см см 𝟑 𝟑𝟑 см 𝟑 .

21

Решите уравнение log7 (х2 - 2х – 8) = 1

Решите уравнение log7 (х2 - 2х – 8) = 1

Решите уравнение log7 (х2 - 2х – 8) = 1.

Решение:
1. Найдем область определения уравнения, так как D(log)=R+, то:
х2 - 2х – 8 ˃ 0,
х2 - 2х – 8 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−2) 𝟐 – 4∙1∙(-8) = 4 + 32 = 36 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟐 ± 𝟑𝟔 𝟐 = 𝟐 ±𝟔 𝟐 ,
х 𝟏 = -2, х 𝟐 = 4, x ϵ (-∞; -2)∪(4; + ∞)
2. Учитывая, что 1 = log771, получим:
log7(х2 - 2х – 8) = log77.

3. Решим полученное уравнение:
х2 - 2х – 8 = 7,
х2 - 2х – 8 - 7 = 0,
х2 - 2х – 15 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−2) 𝟐 – 4∙1∙(-15) = 4 + 60 = 64 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟐 ± 𝟔𝟒 𝟐 = 𝟐 ±𝟖 𝟐 ,
х 𝟏 = -3 ϵ (−∞; −2)∪(4; + ∞),
х 𝟐 х х 𝟐 𝟐𝟐 х 𝟐 = 5 ϵ (−∞; −2)∪(4; + ∞).
Ответ: -3; 5.

22

Решите уравнение log2 (х2 - 4х + 4) = 4

Решите уравнение log2 (х2 - 4х + 4) = 4

Решите уравнение log2 (х2 - 4х + 4) = 4.

Решение:
1. Найдем область определения уравнения, так как D(log)=R+, то:
х2 - 4х + 4 ˃ 0,
х2 - 4х + 4 = 0,
D = b 𝟐 -4ac = (−4) 𝟐 – 4∙1∙4 = 16 - 16 = 𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟒 ± 𝟎 𝟐 = 𝟒 ±𝟎 𝟐 ,
х 𝟏 = х 𝟐 = 2, x ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞)
2. Учитывая, что 4 = log224, получим:
log2(х2 - 4х + 4) = log224.

3. Решим полученное уравнение:
х2 - 4х + 4 = 24,
х2 - 4х + 4 - 16 = 0,
х2 - 4х – 12 = 0,
D = b 𝟐 - 4ac = (−4) 𝟐 – 4∙1∙(-12) =16 + 48 = 64 >𝟎,
X 𝟏;𝟐 = −𝒃 ± 𝑫 𝟐𝒂 = 𝟒 ± 𝟔𝟒 𝟐 = 𝟒 ±𝟖 𝟐 ,
х 𝟏 = -2 ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞),
х 𝟐 х х 𝟐 𝟐𝟐 х 𝟐 = 6 ϵ (-∞; 2)∪(2; + ∞).
Ответ: -2; 6.

23

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -х3 + 3х2 + 4 на отрезке [-3; 3]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -х3 + 3х2 + 4 на отрезке [-3; 3]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = -х3 + 3х2 + 4 на отрезке [-3; 3].

Решение:
1. Найдем производную функции: y ′ = (-х3 + 3х2 + 4)′ = -3 х2 + 3∙2х + 0 = - х2 + 6х.
2. Найдем критические точки:
y ′ = 0,
-3х2 + 6х = 0,
-3х (х – 2) = 0,
х 𝟏 = 0 ∈ [-3; 3], х 𝟐 = 2 ∈ [-3; 3].
3. Найдем значения функции на концах интервала и в критических точках х 𝟏 = 0, х 𝟐 = 2:
Y(-3) = -(-3)3 + 3(-3)2 + 4 = 27 + 27 + 4 = 58,
Y(0) = -03 + 3∙02 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4,
Y(2) = -23 + 3∙𝟐2 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8,
Y(3) = -33 + 3∙32 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4.

4. Выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 =у 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 =𝟒𝟒,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у −𝟑 −𝟑𝟑 −𝟑 =𝟓𝟓𝟖𝟖.

Ответ:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 =у 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 =𝟒𝟒,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] [−𝟑𝟑;𝟑𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟑;𝟑] у(𝒙) =у −𝟑 −𝟑𝟑 −𝟑 =𝟓𝟓𝟖𝟖.

24

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2х3 + 3х2 – 12х – 1 на отрезке [-1; 2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2х3 + 3х2 – 12х – 1 на отрезке [-1; 2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2х3 + 3х2 – 12х – 1 на отрезке [-1; 2].

Решение:
1. Найдем производную функции: y ′ = (2х3 + 3х2 – 12х - 1)′ = 6х2 + 3∙2х – 12 - 0 = 6х2 + 6х - 12.
2. Найдем критические точки:
y ′ = 0,
6х2 + 6х – 12 = 0,
х2 + х – 2 = 0,
𝒙 𝟏;𝟐 = −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 = −𝟏± 𝟏 𝟐 −𝟒∙𝟏∙(−𝟐) 𝟐∙𝟏 = −𝟏± 𝟏+𝟖 𝟐 = −𝟏± 𝟗 𝟐 = −𝟏±𝟑 𝟐 ;
х 𝟏 х х 𝟏 𝟏𝟏 х 𝟏 = −𝟏+𝟑 𝟐 −𝟏𝟏+𝟑𝟑 −𝟏+𝟑 𝟐 𝟐𝟐 −𝟏+𝟑 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 = 1 ∈ [-1; 2],
х 𝟐 = −𝟏−𝟑 𝟐𝟐 = −𝟒 𝟐 = -2 ∉ [-1; 2].
3. Найдем значения функции на концах интервала и в критической точке х 𝟏 = 1:
Y(-1) = 2(-1)3 + 3(-1)2 – 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12,
Y(1) = 2∙13 + 3∙𝟏2 - 12∙1 − 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = - 8,
Y(2) = 2∙𝟐3 + 3∙𝟐2 - 12∙2 − 1 = 16 + 12 – 24 - 1 = 3.

4. Выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 =−𝟖𝟖,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 =𝟏𝟏𝟐𝟐.

Ответ: 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒊𝒏 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 =−𝟖𝟖,
𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] [−𝟏𝟏;𝟐𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) у(𝒙𝒙) 𝒎𝒂𝒙 [−𝟏;𝟐] у(𝒙) =у −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 =𝟏𝟏𝟐𝟐.

25

Скачать файл