Презентация по теме "Правило умножения вероятностей и дерево случайного опытв"

Правило умножения вероятностей
последовательно рассматриваемых событий.

Например, пусть событие В случается с вероятностью x = 0,3, и при условии, что В наступило, событие А имеет вероятность y = 0,7. Тогда событие A  B имеет вероятность xy = 0,21.

30% всех домов в поселке — двухэтажные; 70% двухэтажных домов в поселке выкрашено в зеленый цвет; это значит, что 0,7•0,3•100% = 21% всех домов — это двухэтажные дома зеленого цвета.

Правило умножения записывается так:
P(A  B) = P(B)•P(A|B).

Правило умножения становится наглядным с помощью дерева случайного опыта.
В дереве элементарные события изображаются цепочками, идущими от начальной вершины S (start) к конечным вершинам.
Чтобы найти вероятность элементарного события, то есть цепочки, нужно умножить условные вероятности вдоль этой цепочки.

Найдем вероятность события A  M.

Формула Байеса
Если совместить на одном рисунке цепочки SAB и SBA, ведущие от начала эксперимента S, мысленно упорядочивая события А и В двумя способами, то обе эти цепочки разными путями приведут нас к одному и тому же
событию A  B. Обычно никакого «порядка событий» нет. Мы скорее говорим об удобном порядке рассмотрения событий. Какое из них считать первым — условность. В разных задачах удобно по-разному.

В некотором случайном опыте могут наблюдаться события A и B, причем P(A) = 0,75, P(B) = 0,8, а вероятность совместного наступления этих событий P(A  B) = 0,5.
Найдите: а) вероятность события A при условии, что наступило событие B;
б) вероятность события B при условии, что наступило событие A.

Тест по истории сдали 85% учащихся школы, а тест по английскому языку — 70% учащихся. Известно, что тест по английскому языку сдали 77% тех, кто сдал тест по истории. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик из тех, кто сдал тест по английскому, также сдал тест по истории.

Тест по обществознанию сдали 90% учащихся школы, а тест по химии сдали 75% учащихся. При этом известно, что тест по химии сдали 63% тех, кто сдал тест по обществознанию. Найдите вероятность того, что ученик, случайно выбранный из тех, кто сдал тест по химии, также сдал тест по обществознанию.

Рассеянный ученый проводил исследование и в некотором случайном эксперименте у него получились следующие вероятности: P(N) = 0,44, P(M) = 0,8, P(N|M) = 0,65.
Не ошибся ли он?

Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А, В, С, D или Е).







Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой еще не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк:
а) через выход А;
б) через выход Е?

Пусть известно, что выходы D и С ведут к пруду. Найдите вероятность того, что велосипедист выедет из парка к пруду.

Правило сложения.
Чтобы найти вероятность события с помощью дерева, нужно сложить вероятности всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вершины.

На рисунке изображено дерево опыта. Найдите:
а) P(K); б) P(b|K);
в) P(A|K); г) P(b);
д) P(A).

В группе 3 мальчика и 5 девочек. Случайным образом выбирают двух человек. Какова вероятность того, что будут выбраны один мальчик и одна девочка?

Автоматическая линия изготавливает зарядные устройства для телефонов. Известно, что 3% готовых устройств неисправны. Из этих неисправных устройств 98% обнаруживаются при контроле качества продукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных устройств. Устройства, которые не забракованы, упаковываются и поступают в продажу.

Найдите вероятность того, что случайно выбранное сошедшее с автоматической линии зарядное устройство поступит в продажу.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух фермерских хозяйствах. 95% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 80% яиц. Найдите вероятность того, что случайное яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Игральную кость последовательно бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не станет больше или равна 4. Найдите вероятность, что будет сделано ровно два броска