Презентация "Теорема о трех перпендикулярах"

Расстояние от точки до плоскости

«Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

А С В D Задача 1: Дано: А = 300, 

А
С
В
D

Задача 1:
Дано: А = 300,  АВС = 600
DВ ( АВС)
Доказать, что СD АС.



А С В D Задача 1: Решение. 1

А
С
В
D

Задача 1:
Решение.
1.С = 900 ⇒ ACСB,
2. DВ( АВС) ⇒ DВAC, AC∈(ABC);
3. ACСB, DВAC, DВ∩СB=C, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC(DBC).
4. СD∈(DBC) ⇒СD АС.



M D C A B Задача 2: ABCD - параллелограмм,

M
D
C
A
B
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ  (АВС), МС СD.
Определите вид параллелограмма АВСD.

M D C A B Задача 2: Решение. 1

M
D
C
A
B

Задача 2:
Решение.
1.ВМ (АВС), ВМВС ;
2.МССD, BC∈(MBC)⇒
⇒CDBC, C = 90 0 90 90 0 0 90 0 ,A= C= 90 0 90 90 0 0 90 0 ;
3. B=D=90 0 B=D=90 B=D=90 0 0 B=D=90 0 ⇒
⇒ АВСD- прямоугольник.

Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?
Перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»
Да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

5. Как называются отрезки АМ, АН?

АМ – наклонная к прямой а;
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

АМ – наклонная, проведенная из точки

АМ – наклонная, проведенная
из точки А к плоскости α,
М – основание наклонной.
НМ – проекция наклонной на плоскость α.

Изучение нового материала.
Рассмотрим плоскость α и точку А, не принадлежащую ей.
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α,
Н – основание перпендикуляра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:
АН – катет; АМ – гипотенуза,
Поэтому АН < АМ.

Вывод: Перпендикуляр,
проведенный из данной
точки к плоскости, меньше
любой наклонной, проведенной
из этой же точки
к этой плоскости.
Его длина будет называться расстоянием
от точки А до плоскости α.

Расстояние от лампочки до земли…

Расстояние от лампочки до земли…

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
(Доказательство приведено в задаче
№ 144.
Изучить самостоятельно дома)
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости.
АА1 и ММ1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β
АА1 || ММ1 => АА1 = ММ1.

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми, MN.

Назовите все наклонные к плоскости α

Назовите все наклонные к плоскости α.
Назовите проекции этих наклонных на плоскость α.
Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α?
Подведем итог:

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями

α || β.
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.
Закончите предложение.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.
α
β

A Теорема о трех перпендикулярах:

A

Теорема о трех перпендикулярах:
H
М
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

а МH АH

A H М а AM- наклонная, HM-проекция

A

H
М
а
AM- наклонная, HM-проекция

Дано:AH

аМH. Доказать: аМА.
Доказательство.
1. Так как АН α, то АН а.
2. аМН, МН пересекается с АН и они лежат в одной плоскости (АНМ).

3. Значит, а(АНМ) и аАМ,
АМ принадлежит
(АНМ) (по признаку
перпендикулярности
прямой и
плоскости).

О каких трех перпендикулярах идет речь в теореме?
а НМ АМ

α

A Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:

A

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:
H
М
а
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость. (Доказательство разобрать самостоятельно дома: задача 153, стр.45).

а AH МH

Применение знаний в стандартной ситуации

Применение знаний в стандартной ситуации A
Решение задач.
Задача №139 (устно).
Из некоторой точки
проведены две наклонные.
Докажите, что:
а) если наклонные равны,
то равны и их проекции;
б) если проекции наклонных Bb
равны, то равны наклонные;
в) если наклонные не равны,
то большая наклонная имеет
большую проекцию.
B
B1
H
C

B B1 H C А Дано: AH ⊥α, 𝑨𝑨𝑩𝑩, 𝑨𝑨𝑪𝑪−наклонные; а)

B
B1
H
C
А
Дано: AH⊥α, 𝑨𝑨𝑩𝑩, 𝑨𝑨𝑪𝑪−наклонные;
а) АВ=АС; б)ВН=НС; в) АВ1>AC.
Доказать: а) ВН=НС; б) АВ=АС;
в)В1Н>CH.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники
АВН и АСН, АН-…
а) АВ=АС… ⇒треугольники…,
Значит, ВН=… ;
б) эти треугольники равны,
но уже по двум… ⇒ АВ=АС;
в) АВ1>AC . По теореме
Пифагора В1Н= 𝑨𝑩𝟏 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑩𝟏 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑩𝟏 𝟐 𝑨𝑨𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑨𝑩𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑩𝟏 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑨𝑯𝑯 𝑨𝑯 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑩𝟏 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 ;
HC= 𝑨𝑪 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑪 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑨𝑯𝑯 𝑨𝑯 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 ; 𝑩𝟏𝑨 𝟐 𝑩𝑩𝟏𝟏𝑨𝑨 𝑩𝟏𝑨 𝟐 𝟐𝟐 𝑩𝟏𝑨 𝟐 > 𝑪𝑨 𝟐 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨 𝟐 𝟐𝟐 𝑪𝑨 𝟐 ⇒ 𝑨𝑩𝟏 𝟐 𝑨𝑨𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑨𝑩𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑩𝟏 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑨𝑯𝑯 𝑨𝑯 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑯 𝟐 > 𝑨𝑪 𝟐 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑪 𝟐 − 𝑨𝑯 𝟐 𝑨𝑨𝑯𝑯 𝑨𝑯 𝟐 𝟐𝟐 𝑨𝑯 𝟐 ⇒ ⇒ В1Н>CH.

Задача№145 Дано: ∆АВС , <С = 90º,

Задача№145

Дано: ∆АВС, <С = 90º,
AD ┴ (АВС).
Доказать: а) ∆CBD –
прямоугольный;
б) найти BD,
если BC=a, DC=b.

A
D
B
C

Задача№145 Решение. а) АС-проекция

Задача№145

Решение.
а) АС-проекция CD, BC⊥AC ⇒ BC⊥CD (ТТП) 𝐃𝐃 ⇒ ∆CBD – прямоугольный
б) <С = 90º,
BD= 𝑩𝑪 𝟐 + 𝑪𝑫 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 + 𝑪𝑫 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 𝟐 𝟐𝟐 𝑩𝑪 𝟐 + 𝑪𝑫 𝟐 𝑪𝑪𝑫𝑫 𝑪𝑫 𝟐 𝟐𝟐 𝑪𝑫 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 + 𝑪𝑫 𝟐 =
А = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 .
В
С Ответ: 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 .

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

28.02.2021