Презентация "Усеченный конус"

Усеченный конус.

Здравствуй.

Приглашаю тебя на урок
по теме «Тела вращения».
Этот урок посвящен усеченным конусам.


Я приготовила тебе задания, которые помогут
тебе расширить свои знания о конусах,
их значении в науке и жизни человека.

Надеюсь, что на уроке не только любители математики найдут для себя интересные вопросы.

Птицы – метеорологи.

Фламинго из песка строят гнезда в виде усеченного конуса и в верхнем основании делают углубление, в которое откладывают яйца.
Высота гнезда зависит от того, каким будет лето: сухим или дождливым.
Если лето ожидается дождливым, то гнезда строятся высокими, чтобы их не могла затопить вода.
Если засушливым, то более низкими.

Немного теории

Усеченный конус получен вращением
прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD

Сечения

Осевое -
равнобедренная трапеция

Параллельное основаниям –
круг

Если поверхность усечённого конуса разрезать по образующей и окружностям оснований и развернуть так, чтобы боковая поверхность с основаниями лежали в одной плоскости, то на плоскости получим фигуру, называемую развёрткой усечённого конуса.

Рассмотрим задачи ЕГЭ.

Периметр осевого сечения усеченного конуса равен 180, радиусы оснований равны 20 и 30. Найдите длину образующей усеченного конуса.

2. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если площади оснований 16𝜋𝜋 и 36𝜋𝜋, а площадь осевого сечения 50.

3. Найдите боковую поверхность усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом  60°, а площадь осевого сечения равна  S.

4. Образующая усечённого конуса равна  2а  и наклонена к основанию под углом  60°. Радиус одного основания в два раза больше радиуса второго основания. Найдите каждый из радиусов.


Проверь успешность выполнения задач.

Периметр осевого сечения усеченного конуса равен 180, радиусы оснований равны 20 и 30. Найдите длину образующей усеченного конуса.

Решение:
R = 30, r = 20, P = 180
Осевое сечение – равнобокая трапеция ABCD .
P = AB + ВC + CD + AD.
BC = 2r, AD = 2R, AB = CD.
P = 2R + 2r + 2 AB =2∙(𝑅𝑅+𝑟𝑟+𝐴𝐴𝐵𝐵)

180 = 2∙ 30+20+𝐴𝐵 30+20+𝐴𝐴𝐵𝐵 30+20+𝐴𝐵
90 = 50 + AB
AB = 40.
AB – образующая конуса.

Ответ: 40.

Проверь успешность выполнения задач.

Решение:
𝑆 верх. осн. 𝑆𝑆 𝑆 верх. осн. верх. осн. 𝑆 верх. осн. = 16𝜋𝜋, 𝑆 ниж.осн. 𝑆𝑆 𝑆 ниж.осн. ниж.осн. 𝑆 ниж.осн. = 36𝜋𝜋,
𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝑆 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 50
В основании конуса – круг,
значит 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн =𝜋𝜋 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 .
16𝜋𝜋 = 𝜋𝜋 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 36𝜋𝜋 = 𝜋𝜋 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2
16 = 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 36 = 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2
r = 4 R = 6

Ответ: 52 + 10 𝟐𝟗 𝟐𝟗 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟐𝟗 ) 𝛑𝛑

Тогда ВС = 2r = 8 AD = 2R = 12.

Осевое сечение – равнобокая трапеция ABCD, 𝑆 𝑆𝑆 𝑆 𝑆 = 𝐴𝐷+𝐵𝐶 2 𝐴𝐴𝐷𝐷+𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐷+𝐵𝐶 2 2 𝐴𝐷+𝐵𝐶 2 ∙ℎ

50 = 8+12 2 8+12 8+12 2 2 8+12 2 ∙ℎ, и ℎ=5
𝑆 б.п. 𝑆𝑆 𝑆 б.п. б.п. 𝑆 б.п. = π(R + r)L. Образующую L найдем из ∆XCD, проведя из вершины С отрезок СХ, параллельный высоте конуса. ХD =R – r =6 – 4 = 2. По теореме Пифагора получим
L = 5 2 + 2 2 5 2 + 2 2 5 2 5 5 2 2 5 2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 + 2 2 = 29 29 29 29 . 𝑆 б.п. 𝑆𝑆 𝑆 б.п. б.п. 𝑆 б.п. = π(4 + 6) 29 29 29 29 = 10 29 29 29 29 π
𝑆 п.п. 𝑆𝑆 𝑆 п.п. п.п. 𝑆 п.п. = 𝑆 осн 1 𝑆𝑆 𝑆 осн 1 осн 1 𝑆 осн 1 + 𝑆 осн 2 𝑆𝑆 𝑆 осн 2 осн 2 𝑆 осн 2 + 𝑆 б.п. 𝑆𝑆 𝑆 б.п. б.п. 𝑆 б.п. = 16𝝅𝝅 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝝅𝝅 +10 29 29 29 29 π = (52 + 10 29 29 29 29 ) π.

Проверь успешность выполнения задач.

Ответ:

Пусть дан усечённый конус  с площадью осевого сечения ADCB равной  S  и  ∠ ABO = 60°. Найти боковую поверхность  Sx  усечённого конуса.В равнобедренной трапеции  ВАDС  из вершины  А  на основание  СВ  опустим  АМ ⊥ СВ. Обозначим  АВ = L, ОВ = R, О1А = r. В прямоугольном  ∆ АМВ  из условия  ∠ МАВ = 30°, поэтому

По условию задачи площадь осевого сечения(R + r)H = S, или

Учитывая, что боковая поверхность усечённого конуса
Sx = πL(R + r), находим

Проверь успешность выполнения задач.

l

Учитывая, что АО1 = 2ВО,

опустим из точки  В  на плоскость нижнего основания перпендикуляр ВК ⊥ АО1  
Тогда
ВО = КО1 = АК.
З  ∆ АВК  АК = АВ cos∠ ВАК
АК = 2а cos 60° = а.

Тогда АК = КО1 = ВО = а,  АО1 = 2а.

ОТВЕТ:  а, 2а. 

Время подвести итоги

Время подвести итоги

1. Что является осевым сечением усеченного конуса?
а) трапеция; б)прямоугольник; в)треугольник;
г) круг д) квадрат.

2. Усеченный конус может быть получен вращением на 360° ...
а) прямоугольной трапеции; б) квадрата;
в) прямоугольника; г) прямоугольного треугольника.

3. Длины радиусов оснований и образующей усеченного конуса равны соответственно 7, 15 и 17. Вычислите его высоту.

4. Площадь осевого сечения усеченного конуса с радиусами оснований 4 и 10 равна 112. Найдите длину образующей конуса.

Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 4, а площадь 36. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Критерии оценки: 5 правильных ответов - «5», 4 правильных ответа – «4», 3 правильных ответа – «3».

Время подвести итоги

1. Что является осевым сечением усеченного конуса?
а) трапеция; б)прямоугольник; в)треугольник;
г) круг д) квадрат.

2. Усеченный конус может быть получен вращением на 360° ...
а) прямоугольной трапеции; б) квадрата;
в) прямоугольника; г) прямоугольного треугольника.

3. Длины радиусов оснований и образующей усеченного конуса равны соответственно 7, 15 и 17. Вычислите его высоту. Ответ: 15

4. Площадь осевого сечения усеченного конуса с радиусами оснований 4 и 10 равна 112. Найдите длину образующей конуса. Ответ:10

Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 4, а площадь 36. Вычислите площадь полной поверхности конуса. Ответ: 2π(6 10 10 10 10 +10)
Критерии оценки: 5 правильных ответов - «5», 4 правильных ответа – «4», 3 правильных ответа – «3».

3. Длины радиусов оснований и образующей усеченного конуса равны соответственно 7, 15 и 17. Вычислите его высоту. Ответ: 15
РЕШЕНИЕ:
В равнобедренной трапеции  ВАDС  из вершины  А  на основание  СВ  опустим  АМ ⊥ СВ. Обозначим  АВ = L, ОВ = R, О1А = r.  АВ = 17, ОВ = 15, О1А = 7, АМ =О1О.В прямоугольном  ∆ АМВ  АМ = АВ 2 − ВМ 2 АВ 2 − ВМ 2 АВ 2 АВ АВ 2 2 АВ 2 − ВМ 2 ВМ ВМ 2 2 ВМ 2 АВ 2 − ВМ 2 =
= 17 2 − (15−7) 2 17 2 − (15−7) 2 17 2 17 17 2 2 17 2 − (15−7) 2 (15−7) (15−7) 2 2 (15−7) 2 17 2 − (15−7) 2 = 15


4. Площадь осевого сечения усеченного конуса с радиусами оснований 4 и 10 равна 112. Найдите длину образующей конуса. Ответ:10
РЕШЕНИЕ:В равнобедренной трапеции  ВАDС  из вершины  А  на основание  СВ  опустим  АМ ⊥ СВ. Обозначим  АВ = L, ОВ = R, О1А = r. S = 112, О1А = 4, ОВ = 10, АМ = Н

1) S = (R + r)H 2) По теореме Пифагора
112 = (4 + 10)Н для треугольника АВМ получим
Н=8 АВ = АМ 2 + ВМ 2 АМ 2 + ВМ 2 АМ 2 АМ АМ 2 2 АМ 2 + ВМ 2 ВМ ВМ 2 2 ВМ 2 АМ 2 + ВМ 2 = 8 2 + (10−4) 2 8 2 + (10−4) 2 8 2 8 8 2 2 8 2 + (10−4) 2 (10−4) (10−4) 2 2 (10−4) 2 8 2 + (10−4) 2 =10

Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 4, а площадь 36. Вычислите площадь полной поверхности конуса. Ответ: 2π(6 10 10 10 10 +10)
РЕШЕНИЕ:
AC ⊥𝐵𝐵𝐷𝐷.
1) Дополнительное построение: АР ∥ 𝐵𝐵𝐷𝐷.
Диагонали равнобокой трапеции равны, следовательно треугольник САР прямоугольный равнобедренный. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, опущенная на гипотенузу, равна ее половине. По свойству равнобедренного треугольника эта медиана является и высотой треугольника, а также высотой трапеции ADCB.
2) Пусть одно основание трапеции равно а, а другое 4, высота трапеции Н, тогда S = а+4 2 а+4 а+4 2 2 а+4 2 ∙Н,
Н = СР 2 СР СР 2 2 СР 2 = а+4 2 а+4 а+4 2 2 а+4 2 . Значит 36 = ( а+4 2 ) 2 а+4 2 а+4 а+4 2 2 а+4 2 ) а+4 2 ) 2 2 а+4 2 ) 2 ; а=8. Следовательно Н = 8+4 2 8+4 8+4 2 2 8+4 2 = 6.

С

D

A

B

P

3) r =О1А = 2, R =ОВ = 4, По теореме Пифагора АВ = L = 40 40 40 40 = 2 10. 10. 10. 10.
4) S = 𝜋𝜋( 𝑅+𝑟 𝑅𝑅+𝑟𝑟 𝑅+𝑟 𝐿𝐿+ 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 + 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 ) .

До встречи на следующем уроке.