Презентация к уроку геометрии "Метод параллельного проектирования" (10 класс)

Метод параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Геометрия,
10 класс.

Итак, мы приступили к изучению стереометрии – геометрии в пространстве. Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А.

А

А

Выберем в пространстве произвольную плоскость  (её мы будем называть плоскостью проекций)

и любую прямую a (она задает направление

параллельного проектирования).

А

Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а.

А’

Точка А’ пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость . Точку А ещё называют прообразом, а точку А’ – образом. Если А, то А’ совпадает с А.

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом(прообраз) в пространстве тень(образ) от солнечных лучей(направление параллельного проектирования) на Земле(плоскость проекций).

Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему).

А

Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.

А

B

C

А’

B’

C’

Примечание 3. Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным(прямоугольным) проектированием.

А

B

C

А’

B’

C’

Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны (||(АВС)), то получающееся при этом изображение…

А

B

C

А’

B’

C’

…правильно – равно прообразу!

Параллельное проектирование обладает свойствами:
1) параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

A

D

C

B

A’

D’

C’

B’

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

Параллельное проектирование обладает свойствами:
параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

A

D

C

B

A’

D’

C’

B’

Если, например, АВ=2CD, то А’В’=2C’D’ или

М

М’

Параллельное проектирование обладает свойствами:
параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

A

B

A’

B’

3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение – см. примечание 4).

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

C

C’

Итак, построим изображение куба:

Далее разберем примеры изображения некоторых плоских фигур…

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Произвольный треугольник

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Равносторонний треугольник

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Произвольный параллелограмм

Прямоугольник

Произвольный параллелограмм

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Квадрат

Произвольный параллелограмм

Трапеция

Произвольная трапеция

Произвольный параллелограмм

Ромб

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Равнобокая трапеция

Произвольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Произвольная трапеция

Круг (окружность)

Овал (эллипс)

A

B

C

D

E

F

O

Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника.

F

A

B

C

D

E

Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

K

N

Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K;

O

N

K

2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D.

A

B

C

D

E

Попробуйте самостоятельно построить изображение правильного пятиугольника.
Подсказка: разбейте фигуру на две части – равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и ,конечно же, свойствами параллельного проектирования.

A

C

D

E

Решение. Просмотрите ход построения…

B