Презентация на тему "Задачи о креджитах"

ТВОРЧЕСКАЯ  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ  РАБОТА  ЗАДАЧИ О КРЕДИТАХ. Подготовила ученица 11А класса Мельникова Татьяна Владимировна    Руководитель: учитель математики Пастухова Н.А.

ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ  Разобрать «банковскую» задачу;  Помочь одноклассникам  в нахождении различных  способов решения  задач о кредитах, предлагаемых на  ЕГЭ. Задачи исследовательской работы  Ознакомиться с разными  схемами выплаты кредита  банку со стороны заемщика;   Познакомиться с видами «экономических» задач;  Рассмотреть разные способы решения этих задач. Актуальность исследовательской работы  Жизнь современного человека тесно связана с  экономическими отношениями и с операциями в банке;  «Экономические» задачи есть в заданиях ЕГЭ.

ЗАДАЧИ О КРЕДИТАХ.  Для решения таких задач необходимо уметь работать с двумя  математическими моделями, лежащими в основе наиболее  распространенных схем выплат по банковскому кредиту, –  дифференцированной и аннуитетной.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПЛАТЕЖ  Дифференцированный платеж – эти платежи характеризуются тем,     что задолженности по кредиту выплачивается равномерно, начиная с  самых первых выплат. Кредит выплачивается равными долями, процент  взимается с оставшейся суммы кредита.  В задачах говорится, что в определенное число каждого месяца долг  должен быть на одну и ту же величину меньше долга на это же число  предыдущего месяца. Пусть k– взятый кредит; n – время, на которое берется кредит; r – процент,  который начисляется; p=0,01r;  = х – ежемесячная выплата по кредиту без  процентов; Выплаты: В 1ый месяц ­  + 0,01*r*k =  + p*k; Во 2ый месяц ­  + *p; …………………………………. В n – 1 месяц ­  + *p; В n месяц ­  + *p; S – все выплаты за срок кредитования. S = *n + p*k*(1 +  +  + … +  +) =  = k + .    S = k +  – все выплаты за n.

Различают задачи на дифференцированные кредиты по  типам нахождения неизвестной величины:  1. суммы взятого кредита ­ k;  2. суммы всего платежа ­ S;  3. процентной ставки ­ r,  4. срока кредита­ n;  5. ежемесячной (ежегодного платежа) – х.        ЗАДАЧА №1.    n = 8 месяцев;  r = 3%;  p = 0,03;    ­ ? % Используя формулу нахождения всех выплат за срок  кредитования, получаем: S = k +  = k +  = = k + 0,135*k = 1,135*k   = =1,135. Значит, отношение равно 113,5% Ответ: 113,5 %

ЗАДАЧА №2. (НАХОЖДЕНИЕ  СУММЫ ВЗЯТОГО КРЕДИТА K) n = 24 месяца; r = 1%; p = 0,01; x =  =  – выплата без процентов; k = 24*x;    Долги банку: В 1ый месяц – x + 24*x*p; ……………………………. В 13ый месяц – х + 12*x*p; …………………………….. В 24ый месяц – х + *x*p. S – сумма выплат за последние 12 месяцев. S = 12*x + x*p*(12 + 11 +… +1) = 12,78*x;  S = 1597,5;  12,78*x = 1597,5;  x =  =  =  = 125;  k = 125*24 = 3000 тыс. Ответ: 3000000 рублей.

ЗАДАНИЕ №3. (НАХОЖДЕНИЕ  ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ – R) n = 9 месяцев;     p = 0,01*r; S = 1,25*k;  r = ? %; Используя формулу нахождения  всех выплат за срок кредитования, получаем: S = k +  = k + 5*p*k = k*(1 + 5*p) – все выплаты за 9 месяцев. k*(1 + 5*p) = 1,25*k; 1 + 5*p = 1,25;  5*p = 0,25;  p = 0,05;  r = 5% Ответ: 5%

АННУИТЕТНЫЙ ПЛАТЕЖ  Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши, растянутые     на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности,  начисленный процент, дополнительные комиссии и сборы банка (при наличии). При  этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты,  а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция  меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на  проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым. k – сумма кредита,; r% ­ проценты; x – транш. Через год размер долга равен k∙(1+r/100) ­ x.  Обозначим: b =1+r/100, тогда K∙b ­ x.  Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом: (kb­x)∙b­x;  через три года: ((kb­x)∙b­x)∙b­x;  Через n лет: kb ­x(b + b Общие формулы, связывающие сумму кредита k , коэффициент b=1+0,01 r,  где r% —  процентная ставка за период, величину текущего долга kn и постоянную выплату х: n­1+bn­2+b³+b²+b+1). ⁿ ⁿ ;     ;   ;

ЗАДАЧА №1. (НАХОЖДЕНИЕ ВЫПЛАТЫ Х)  k = 4290000 рублей; r = 14,5 %; p = 0,145 %; n = 2 года; х ­ ?    I способ. (прямые вычисления) 31 декабря 2015 года: долг k = 4290000 рублей; 31 декабря 2016 года: начисленные проценты: 4290000 * 1,145 = 4912050; После выплаты транша Дмитрий будет должен банку: 4912050 – х; 31 декабря 2017 года: начисленные проценты: (4912050 – х) * 1,145 = 5624297,25 – 1,145 * х; После выплаты транша: 5624297,25 – 1,145 * х – х = 5624297,25 – 2,145 * х; Известно, что за два года Дмитрий выплатит долг полностью, то получаем: 5624297,25 – 2,145 * х = 0;  х =  = 2622050 рублей. II способ.    b = 1 + 0,01 * r; 31 декабря 2015 года: долг k; 31 декабря 2016 года: долг k * b – x = k1; 31 декабря 2017 года: k2 = k1 * b – x = (k * b – x) * b – x =  = k *  – x * b – x = k *  – x * (b + 1); k2 = 0; k *  – x * (b + 1) = 0; x = ; Подставим значения нашей задачи: х =  = 2622050 рублей.

ЗАДАЧА №2. (НАХОЖДЕНИЕ  ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ R)  к – взятый кредит; x – ежегодный транш;    х1 = 328050 рублей, для n = 4 года; х2 = 587250 рублей, для n = 2 года; r ­ ?  %, b=1 + 0,01*r; Формула расчета долга, который будет по прошествии n лет:  kn = k * bn – x*; Рассмотрим первый случай, когда Олег выплатит всё за 4 года: k4 = k * b4 – 328050* = 0; Рассмотрим второй случай, когда Олег выплатит всё за 2 года: k2 = k * b2 – 587250* = 0; 259200 *  – 328050 = 0;  =  =  =  = ; b =  = 1,125; b = 1 + 0,01 * r; 1,125 = 1 + 0,01 * r; 0,125 = 0,01 * r; r = 12,5 % Ответ: 12,5%.

ЗАДАЧА №3. (НАХОЖДЕНИЕ  СУММЫ ВЗЯТОГО КРЕДИТА  K) к – взятый кредит; x = 2 928 200 – ежегодный транш; r =10     %, b = 1 + 0,01*10 = 1,1; n = 4 года; k ­ ? Формула расчета долга, который будет по прошествии n лет: kn = k * bn – x*; Так как за 4 года Михаил выплатил долг полностью, то:  k * 1,14 – 2928200* = 0;  1,4641 * k = 2928200 * ; 1,4641 * k = 2928200 * 4,641;  k =  = 9282000 рублей. Ответ: 9 282 000 рублей.

ЗАДАЧА №4    По первому варианту:   n=5, k= 1325535рублей, b=1,2; k5 = k * b5 – x*;  K5 = 0;  1325535 * 1,25 – x*=0;  x= 443232.  S1=5*x = 2216160рублей – все выплаты за период кредитования. По второму варианту:  n=5, k= 1325535рублей, p=0,2 S2 = k +    S2 = 1325535 +  = 2120856(рублей) S1 ­ S2 = 2216160 – 2120856 = 95304 (рублей). Ответ: дифференцированный платеж выгоднее на 95304 рубля.

МИКРОЗАЙМ  Микрозайм – это небольшой кредит, который  предоставляется на короткий промежуток времени без  необходимости подтверждения платежеспособности. Задача на микрозаймы.  k = 20000 рублей; n = 2 месяца; r = 2%; Ежедневные выплаты должны составлять: 20000*0,02 = 400 рублей; Всего дней в марте и в апреле: 31 + 30 = 61 день; Тогда с учетом процентов выплаты составят: 20000 + 400*61 = 20000 + 24400 = 44400  рублей. Ответ: 44400 рублей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается  равномерно, начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический  остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.   Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в  первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится —  выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно  небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.   Графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых  (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата кредита).    График погашения кредита дифференцированными платежами           График погашения кредита аннуитетными платежами.                                               • Умение решать задачи  о кредитах позволяет человеку  принять правильное решение в ситуациях, связанных с  кредитованием.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ЛИТЕРАТУРА  И ИСТОЧНИКИ.  Встречи с финансовой математикой/ Гущин Д. Д. – Издательский дом  «Учительская газета», 2016.  «Экономические» задачи повышенного уровня сложности в ЕГЭ/ Кулабуков  С. Ю. – «Легион», 2015.  О методике обучения решению задач ЕГЭ с социально – экономическим  содержанием/ Монгуш А. С., Танова О. М. – «Вестник. Педагогические  науки», 2015.  Методика работы с сюжетными задачами: учебно – методическое пособие/   Н А. Малахова,  В. В. Орлова, В. П. Радченко, В. Е. Ярмолюк; под ред. к. п.  н., доц. Радченко, к.п.н. В. В. Орлова – С. Петербург «Образование», 1992.  ЕГЭ. Математика профильный уровень: 36 вариантов/ под ред. И. В.  Ященко – «Экзамен», 2018.   Задание с экономическим содержанием в ЕГЭ по математике. Учебно –  методическое пособие/ под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова –  «Легион», 2014.  https://egemaximum.ru/zadanie­17­t­r­220­a­larina /   http://решуегэ.рф