Презентация по алгебре "Комбинаторика"

К о м б и н а т о р и к а

Содержание: 1. Правило произведения 2. Перестановки 3. Размещения 4. Об авторе 5. Электронные ресурсы

Комбинаторика – это раздел математики, в котором  изучаются вопросы о том, сколько  различных комбинаций, подчиненных тем  или иным условиям, можно составить из  заданных объектов. Правило  произведения Если существует m вариантов выбора  первого элемента и для каждого из них  имеется  n вариантов выбора второго  элемента, то всего существует    m • n  различных пар с выбранными таким  образом первым и вторым элементами.

Задача  1    Сколько различных двузначных чисел можно  записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m = 3,  n = 4;  m • n = 12  Ответ: 12 Задача  2    Сколько различных трехзначных чисел  можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m=3, n=4, k=4;  mnk=3 • 4 • 4 =48 Ответ: 48 Задача  3 Решение: abcdf = Сколько различных пятибуквенных слов  можно записать с помощью букв «и» и  «л»?              a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2;    2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  = 32 Ответ: 32 Л   и   л   и   и

У п р а ж н е н и я : № 1 Сколько различных двузначных чисел с разными  цифрами можно записать, используя цифры: 1вариант: 1)   1, 2 и 3;   3)   5, 6, 7 и 8;  5)   0, 2, 4 и 6; 2 вариант: 2)  4, 5, и 6;  4)   6, 7, 8 и 9;  6)   0, 3, 5 и 7?    Ответ:  1), 2)  6;       3), 4)   12;        5), 6)  9.                                                    № 2 Сколько различных трехзначных чисел можно  записать с помощью цифр: 1 вариант:       1)  2 и 3;               3)  0 и 2;   2 вариант:       2)  8 и 9;               4)   0 и 5? Ответ:  1), 2)   8;        3),4)   4.                                                         Упражнения:

С.Р. № 3 Сколько различных трехзначных чисел, не  имеющих одинаковых цифр, можно записать с  помощью цифр:   1 вариант:    1)  3, 4 и 5;     3)  5, 6, 7 и 8;    2 вариант:    2)  7, 8, и 9;    4)  1, 2, 3 и 4? Ответ:     1),2)   6;                              3),4)   24.  № 4 Сколько различных четырехбуквенных «слов»  можно записать с помощью букв:   1 вариант:    1)  «м» и «а»;   3)  «к», «а» и «о»;   2 вариант:    2)  «п» и «а»;    4)  «ш», «а» и «л». Ответ:  1), 2)    16;      3), 4)    81.

№ 5 Путешественник может попасть из пункта  А в пункт С, проехав через пункт В. Между  пунктами А и В имеются три различные  дороги, а между пунктами В и С  ­ четыре  различные дороги. Сколько существует  различных маршрутов между пунктами А и  С? Решение: А В С m = 3, n = 4;   mn = 3•4 = 12 Ответ:  12

№ 6 С. Р. Чтобы попасть из города М в город К,  нужно проехать через город N. Между  городами М и N имеются четыре  автодороги, а из города N в город К  можно попасть либо поездом, либо  самолетом. Сколько существует  различных способов добраться из города  М в город К?  Ответ: 8 Дополнительно Д/З: § 60, №№ 1051, 1055.

7. 8. 9. Сколькими способами могут распределиться  золотая и серебряная медали на чемпионате по  футболу, если в нем принимают участие: 1)  32 команды;  2)  16 команд? 1) 992         2) 240 Сколькими способами можно составить  расписание 5 уроков на один день из 5  различных предметов? 120 Сколькими способами могут занять очередь в  школьный буфет: 1)  6 учащихся;  2)  5 учащихся? 1) 720         2) 120 Дополнительно

11. В классе 18 учащихся. Из их числа нужно  выбрать физорга, культорга и казначея.  Сколькими способами это можно сделать,  если один ученик может занимать не более  одной должности?  4896 12. В классе 20 учащихся. Необходимо назначить  по одному дежурному в столовую, вестибюль  и спортивный зал. Сколькими способами это  можно сделать?  6840 13. Сколько существует пятизначных чисел, в  которых все цифры, стоящие на нечетных  местах, различны?  64800

Решение упражнения № 1: 1), 2) 3), 4) 5), 6) 3 4 3 Х Х Х 2 3 3 = 6 = 12 = 9

Задача  3 Сколько различных пятибуквенных слов  можно записать с помощью букв «и» и  «л»? Решение:   a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2;    abcdf = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  = 32 Л и л и и Ответ: 32

и к в о н а т с П е р е

Перестановками  из n элементов  называются соединения (комбинации),  которые состоят из одних и тех же n  элементов и отличаются одно от  другого только порядком их  расположения. Задача 1: Сколькими способами можно поставить  рядом на полке 4 различные книги? Решение: 4 Х 3 Х 2 Х 1 = 24 Ответ: 24

Число перестановок: Pn = n(n –1)(n – 2)321  (1) Произведение первых  n  натуральных чисел обозначают  n!   (читается «эн факториал») n! = 123(n –2)(n– 1)n Pn = n! (2) (3)

№ 1059     Найти значение:    1)  P5  = 5! = 5 4 3 2 1 = 120; 2)  P7 ;  3)  P9 ;  4)  P8 .  № 1060    Сколькими способами можно рассадить  четверых детей на четырех стульях в столовой?    № 1063     Сколько различных чисел, не содержащих  одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр  1,2,3,4,5 так, чтобы:                     1)  последней была цифра  3;                     3)  первой была цифра 5, а второй – цифра 1;                     5)  первыми были цифры 3 и 4,                          расположенные  в  любом  порядке?                      Решение: 1) 4 3 2 1 1 =  24

Решение: 3) 5) 1 2 1 1 3 3 2 2 1 1 =  6 =  12 Упражнения: №№  1064 ­ 1071 Д/З: § 61, № 1063  (четные) Упражнения:

Р а з м е щ е н и я

З а д а ч а 1.Сколько различных двузначных чисел  повторени можно записать с помощью цифр 1, 2,  е 3, 4 при условии, что в каждой записи  нет одинаковых цифр? Решение:  1 способ – решение перебором: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. 2 способ – по правилу произведения:  m = 4, n = 3;          mn = 12 Ответ: 12        Из задачи видно, что любые два соединения  отличаются либо составом элементов (12 и 24), либо  порядком их расположения (12 и 21). Такие соединения  называют размещениями.

Размещениями из m элементов по n  элементов (n ≤ m) называются  такие  соединения, каждое из которых содержит  n элементов, взятых из данных m разных  элементов, и которые отличаются одно от  другого либо самими элементами, либо  порядком их расположения.   Обозначение:  читают «А из эм по эн»:  = 12.  

n mΑ и м е П р = m(m – 1)(m – 2) • … • (m – (n – 1)) р ы :   = 4 • 3 =  12; = 4 • 3 • 2 =  24; = 5 • 4 • 3 =  60   = Задача 2. Сколькими способами можно обозначить данный  вектор, используя буквы  A, B, C, D, E, F? Решение:  = 6 • 5 = 30 Ответ: 30  способами (1) (2)

З а д а ч а  3 Решить уравнение:  = 56  Решение:  n ≥ 2  и  n  N.     По формуле (1) = n(n – 1) =  – n – 56 = 0,   – n,  т. е.   = 1  +  = – 56 • n = – 7    –  посторонний корень Ответ:  n = 8  – n = 56, т. е. = – 7 = 8

ЗАДАЧА 4 А 6 20 А  7 20 5 А 20  Вычислить: !20 !13 !20 !14   !15 !13 !15 !14 !20 !15 14(15  )1 225 15  14 14 Ответ:   225 Упражнения: № 1073 – № 1075  Д/З: § 62, № 1072, 1076

Голодникова Алевтина Александровна  – преподаватель математики СПб ГБ ПОУ  «Экономический колледж»  Эл. почта: alle­gol@yandex.ru Санкт­Петербург, 2014

Электронные ресурсы:  кубики:                 http://free­math.ru/load/prezentacii_egeh_po _matematike/verojatnost_i_kombinatornoe/38­1 ­0­173  лилии: http://ru.gde­fon.com/cvety?offset[0]=648 http://ru.gde­fon.com/cvety?offset[0]=666 http://ru.gde­fon.com/cvety?offset[0]=4590 шаблон: http://www.myshared.ru/slide/56405/ Санкт­Петербург, 2014