Презентация по алгебре "Сумма n-первых членов геометрической прогрессии" (9 класс)

Формула Формула суммы n n суммы первых членов первых членов геометрическо геометрическо й прогрессии й прогрессии

Математические Математические знания могут знания могут применяться умело с применяться умело с пользой лишь в том пользой лишь в том случае, если они случае, если они усвоены творчески. усвоены творчески. А.Н. Колмогоров А.Н. Колмогоров

Ход урока  Организационный момент.  Проверка домашнего задания (5 мин. выборочно).  Устная работа (5 мин.).  Проверочный тест (5 мин.).  Историческая справка (5 мин.).  Изучение новой темы (10 мин.).  Исторические задачи (5 мин.).  Задачи на закрепление новой темы (5 мин.).  Домашнее задание (2 мин.).  Рефлексия (2 мин.).  Выставление оценок (5 мин.).

Устно • 1. Сравните числовые последовательности • 1). 1, 2, 4,; ­8 … • 2). 1; ­2; 4; ­8 … • 3). 1; ­2; ­4; ­8 … • 4). 1, 2, 4, 8 … • Найдите закономерности. . • Какие из приведенных последовательностей  являются геометрической прогрессией?  • 2. Сравните числовые последовательности • 1). 2.,3;  3,5; 4,7; 5,9 … • 2). ­8; 1; ­2; 4 … • 3). 3; ­9; 27; 81 … • 4). 3; 5; 7; 9 … • Есть ли здесь арифметическая прогрессия? • Есть ли среди них геометрическая прогрессия? • 3. Является ли число 1/4геометрической  прогрессией 8; 4; 2 ..? Если да, то укажите  номер.     .

Тест  Вариант 1  1. Дописать пропущенное: «Числовая последовательность b1, b2, b3, .... bn, ....  Называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных и выполняется  равенство .   2  Написать формулу n ­ члена геометрической прогрессии.  3. Является ли геометрической прогрессией последовательность; 5, 25, 125,  и  где b1 ≠ 0, g ≠ 0 » почему?      Назовите следующий член прогрессии.  4.(bn) ­ геометрическая прогрессия, b1 = 16, g = 1/2. Найдите b2, b3, b4.  5.(bn) ­ геометрическая прогрессия, b6 = 1/27, g = 1/3, Найдите b1.  Вариант 2  1. Дописать пропущенное: «Знаменателем геометрической прогрессии bп называется число g, которое вычисляется по формуле....... » .  2. Дописать пропущенное: «Если все члены геометрической прогрессии  положительны, то каждый ее член, начиная со второго равен  ………….………..двух  соседних с ним членов».  3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9, и почему?  Назовите следующий член прогрессии.  4.(bn) ­ геометрическая прогрессия, b1 = 1, g = 2. Найдите b2, b3, b4  5.(bn) — геометрическая прогрессия. b5=1/64, g = 1/2: Найдите b1

Ответы теста  I – вариант  1. Числовая последовательность b1, b2, b3… bn… называется геометрической прогрессией,   если для всех натуральных чисел  n выполняется равенство:  bn­1 = b1*q    где b1= 0, q≠0  2. Формула n­го числа геометрической прогрессии b вычисляется b n = b1 *qⁿ­_1                             3. Является ли геометрической прогрессией последовательность и  почему?       5, 25, 125…  Назовите следующий член прогрессии.  Да , 625  4. b1 = 16, q = 1/2.    Найти b2, b3, b4 геометрической прогрессии.  b1 = 16, b2= 16*1/2 = 8, b3=  b2 *1/2 = 8=4, b4 = 4 *1/2= 2  5. bn ­ геометрической прогрессии b6=1/27 , q = 1/3.   Найти b1   bn= b1 qn­1, b1 = bn /qn­1, b1= 1/27*(1/3)5= 1/27*3= 32 =9  II – вариант  1. Знаменателем геометрической прогрессии bn называется число qкоторое вычисляется по формуле:   q =b2 / b1  = bn­1 / bn  2. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то каждый ее член, начиная со второго равен  среднему геометрическому двух соседних с ним членов.  3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9 … и почему? Назовите следующий  член последовательности.  Да. 4,5  4. bn геометрической прогрессии, где b1 = 1, q = 2  Найти: b2 , b3 , b4 .  b2 = 1 * 2= 2 ; b3 = 2 * 2= 4 ; b4 = 4 * 2= 8  5. Найдите b1 геометрической прогрессии bn, если  b5 =1/64 ;  q = 1/2   b1 = b5 /q4  ; b1  =1/64:(1/2)4 = 1/ 26 * 24 = 1/4

НАЗАД, В ИСТОРИЮ! НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.  На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э) Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.). Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Англия XVIII Англия XVIII веквек В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая

Древняя Греция Древняя Греция Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их  ( nn суммы:   321 2 nn (   642  ...... ...... 2 n n )1 )1

Древний Египет Древний Египет Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом 1 равна меры» 8 a  S n ( n  )1  d 2    S   ba 2  n    Формула, которой пользовались египтяне:

Германия Германия Нашел моментально Нашел моментально сумму всех сумму всех натуральных чисел от натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще 1 до 100, будучи еще учеником начальной учеником начальной школы. школы. КАРЛ ГАУСС КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855) (1777 – 1855) Решение Решение 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …… + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма в задаче№1. (bn). Пусть дана Обозначим сумму n первых ее членов через Sn: Sn = b1 + b2 + b3 +………+bn-1 + bn. (1) Умножим обе части этого равенства на q: геометрическая прогрессия Sn ·q = b1· q + b2 ·q + d3· q +…..+bn· q Учитывая, что b1· q = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn, получим: Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+bn + dn· q (2) Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : Sn·q – Sn = (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn) = bn·q – b1  Sn(q – 1) = bn·q – b1   Sn = (bn·q – b1) / (q – 1)

18 446 744 073 709 551 615 -Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о

Вывод Вывод Если бы царю удалось Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. бы рассчитаться.   Такое количество зерен пшеницы можно Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. до настоящего времени.

задачи из старинных рукописей   Задача 1  Некто продавал коня и попросил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошено слишком большая цена, «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах, А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь - полушку ( 1 полушка – 1/2 копейки), за второй гвоздь - 2 полушки, за третий гвоздь -4 и т.д., за каждый гвоздь в 2 раза больше чем за предыдущий. Купец, думая, что заплатит на много меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец?  Задача 2  В нашем селе Филинском необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человека. Первоначальной информацией владеют 2 человека. Всего не территории Филинского сельсовета проживают 2730 человек. Через какое время каждый житель Филинского будет информирован? Образует ли данная последовательность геометрическую прогрессию.  .  Задача 3  Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку, Сета издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два зерна, за третью - четыре зерна и т.д.. Оказалось, что царь не был в состояние выполнить это «скромное» желание Сеты.

Самостоятельная работа Каждое задание имеет определенный  «вес» в баллах. Постарайтесь набрать  наибольшее количество баллов. Дополнительное задание – на  дополнительную оценку Задания на карточках

Самостоятельная работа   1 вариант  1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии ­2; ­4; ­8;… (3 балла)  2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=81,  q=1/3. (3 балла) балла)  3. Геометрическая прогрессия задана формулой n­го члена bn=5n­1. Найти S5. (4   4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой  клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления,  если первоначально их было 1 млн. ?  Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.   2 вариант  1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=32, q=­  2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; Ѕ ;… (3 балла)  3. Геометрическая прогрессия задана формулой n­го члена bn=3n. Вычислить S5. (4  2. (3 балла) балла)  4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория  – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после  шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

Сравни результаты 1 вариант 2 вариант 1) S7=­ 254 2) S6=121 3) S5=781 4) 31 000 000 кл. 1) S7=1376 2) S5=3 3) S5=363 4) 63 000 инф.

Домашнее задание  а).  выучить формулы.   Задача 1  Некто продавал коня и попросил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошено слишком большая цена, «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах, А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь - полушку ( 1 полушка – 1/2 копейки), за второй гвоздь - 2 полушки, за третий гвоздь -4 и т.д., за каждый гвоздь в 2 раза больше чем за предыдущий. Купец, думая, что заплатит на много меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец?  Задача 2  В нашем селе Филинском необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человека. Первоначальной информацией владеют 2 человека. Всего не территории Филинского сельсовета проживают 2730 человек. Через какое время каждый житель Филинского будет информирован? Образует ли данная последовательность геометрическую прогрессию.  г). Придумать задачу на применение формулы суммы геометрической прогрессии.  Задачи на следующий урок:  Можно ли вывести формулу суммы n­ первых членов геометрической прогрессии,  зная b, bn, q, но не зная n? Как можно применить данные формулы для решения  различных задач, связанных с геометрической прогрессией?

Ваше настроение

Спасибо!