Презентация по математике на тему"Арифметическая прогрессия"

Устная работа Последовательность (хn) задана формулой: хn =n2. Какой номер имеет член этой 225=х15, 100=х10 последовательности, если он равен 144? 225? 100? 144=122 =х12 Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? 48 и 168 не являются членами последовательности, 49 – является.

Устная работа О последовательности (un) известно, что u1=2, un+1=3un+1 . Как называется такой способ задания последовательности? Рекуррентный способ. последовательности. u1=2 Найдите первые четыре члена этой u2=3u1+1 =7 u3=3u2+1 =22 u4=3u3+1

Устная работа О последовательности (an) известно, что an=(n-1)(n+4) последовательности? Найдите n, если an=150 ? Как называется такой способ задания Формулой n-ого члена. Заметим, что в формуле n-ого члена множители отличаются друг от друга на 5. 150=(n-1)(n+4) 150=10·15 n=11

Что такое ПРОГРЕССИЯ? Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).  Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.  Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Что общего в последовательностях? 22, 2, 6, 10, 14, 18, …. 26-4, 11, 8, 5, 2, -1, …. -7 5, 5 5, 5, 5, 5, 5, …. Найдите для каждой последовательности следующие два члена.

Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. (an) - арифметическая прогрессия, если an+1 = an+d , где d-некоторое число.

Разность арифметической прогрессии Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии. d=an+1-an an- 1 + d an + d an+ 1 + d a3 a1 + d a2 + d + d + d

Свойства прогрессии 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. d=4, an+1>an d=-3, an+10), то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей. В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

Задача На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался. a1=50, d=3 1 числа: 50 т 2 числа: +1 машина (+3 т) 3 числа: +2 машины(+3·2 т) …………………………………… … 30 числа:+29 машин(+3·29 т) a30=a1+29d a30=137

Формула n-ого члена a1 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d …………………….. an=an-1+d=a1+ (n-1)d an=a1+d (n-1)

Пример 1. Последовательность (cn)-арифметическая прогрессия. Найдите c81, если c1=20 и d=3. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с81=с1+d(81-1), c81=20+3·80, c81=260. Ответ: 260.

Задача. В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13… Можно ли восстановить утраченные числа?  Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d и т.д. Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2. Искомая последовательность 3, 5, 7, 9, 13, 15, … Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

Пусть an – искомый член последовательности. Характеристическое свойство арифметической прогрессии an-an-1=an+1-an, 2an=an-1+an+1, an=(an-1+an+1):2 Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

№577 б Последовательность (cn)- арифметическая прогрессия. Найдите c21, если c1=5,8 и d=- 1,5. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с21=с1+d(21-1), c21=5,8+(-1,5)·20, c21=-24,2. Ответ: -24,2.

Задача. Числовая последовательность задана формулой an=3+5n, n=1,2,3,… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность? Решение: Поскольку an+1=3+5(n+1)=3+5n+5=an+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы an+1=an+5 разность этой прогрессии равна 5.

Интересный факт Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой an=kn+b, где k и b – некоторые числа. an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d) Последовательность(an), заданная формулой вида an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии. Дано: a7=1, a7=a4-a2. Найти: a1. Решение:По условию a7=a4-a2, то есть Задача. a7=2d, но a7=1, поэтому d=0,5. a7=a1+6d, a1=a7-6d, a1=1-6·0,5, a1=-2

Домашнее задание: пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а. Творческое задание: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k

Основные формулы: Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии an+1=an+d Разность прогрессии d=an+1- an Формула n-ого члена an=a1+d(n-1) Характеристическое свойство