Презентация Готовимся к ОГЭ. Теория вероятностей. Ключевые задачи. (9 класса , математика)

Готовимся к ОГЭ ТЕОРИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ключевые задачи Лобачева Т.В.,  учитель математики ГБОУ СОШ с. Озерки

Элементы  логики,  комбинаторики,  статистики  и  теории  вероятностей  постепенно  возвращаются  в  школьную  программу  и  становятся  обязательным  компонентом  школьного  образования,  усиливающим  его  прикладное  и  практическое значение. Этот материал необходим, прежде  всего,  для  формирования  функциональной  грамотности  –  умений  воспринимать  и  анализировать  информацию,  представленную  понимать  вероятностный  характер  многих  реальных  зависимостей,  производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение  основ  комбинаторики  позволит  учащемуся  осуществлять  рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов,  в  том  числе  в  простейших  прикладных  задачах.  Данный  материал  составлен  с  помощью  различных  источников,  которые указаны в списке литературы. различных  формах,  в

Краткие методические рекомендации     Задание  9 ОГЭ по математике – это простейшая задача на  вычисление вероятности.  Для решения таких задач достаточно уметь находить отношение числа  благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу  всех равновозможных исходов.                                        Типичные ошибки:  1.Задание выполнено неверно вследствие незнания теории.  2.Задание выполнено по содержанию правильно,       но в вычислениях допущены арифметические ошибки (в действиях  с        отношениями и/или процентами). 3.Основное затруднение учащихся при решении задач по теории        вероятностей заключается в том, что они не могут полностью       осознать и воспринять математическую модель задачи. Для успешного обучения школьников материал по теории вероятностей                    необходимо представить в структурированном виде.

2 БЛОКА КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ  Блок 1. Формула классической вероятности.  Опыты с равновозможными исходами (задачи,  в которых можно непосредственно выписать  или хотя бы пересчитать равновозможные  элементарные события)  Блок 2. Простейшие правила и формулы для  вычисления вероятностей (формула  вероятности противоположного события,  формулы сложения и умножения  вероятностей, формула полной вероятности,  формула Бернулли)

БЛОК 1

ЗАДАЧА 1. ВАСЯ, ПЕТЯ, КОЛЯ И  ЛЕША БРОСИЛИ  ЖРЕБИЙ – КОМУ НАЧИНАТЬ ИГРУ. НАЙДИТЕ  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО НАЧИНАТЬ ИГРУ  ДОЛЖЕН БУДЕТ ПЕТЯ.

ЗАДАЧА 2.  ИГРАЛЬНЫЙ КУБИК (КОСТЬ) БРОСИЛИ  ОДИН РАЗ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО  ВЫПАЛО ЧИСЛО ОЧКОВ, БОЛЬШЕЕ ЧЕМ 3?

ЗАДАЧА 3. В СЛУЧАЙНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ  СИММЕТРИЧНУЮ МОНЕТУ БРОСИЛИ ТРИ РАЗА.  КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОРЕЛ ВЫПАЛ  РОВНО ДВА РАЗА? Решение.  1. Случайный эксперимент – бросание монеты.  Элементарные исходы – тройки, составленные  из букв О и Р(О – орел , Р – решка) Все элементарные события равновозможны  (монета симметричная) 2. Выпишем их все: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО,  РОР, РРО, РРР  Всего исходов 8. Значит N=8.  3. Событию А={орел выпал ровно два раза},  благоприятствуют элементарные события ООР,  ОРО, РОО, поэтому N(A)=3.  4. Тогда Р(А)=3/8=0,375      Ответ: 0,375

ЗАДАЧА 4.  В СЛУЧАЙНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ  СИММЕТРИЧНУЮ МОНЕТУ БРОСАЮТ ДВАЖДЫ.  НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОРЕЛ  ВЫПАДЕТ РОВНО ОДИН РАЗ.  Решение.  1. Случайный эксперимент – бросание монеты.  Элементарные исходы – пары, составленные из  букв О и Р (О – орел , Р – решка). Все  элементарные события равновозможны (монета  симметричная) 2. Выпишем элементарные исходы:  ОО, ОР, РО, РР. Значит N=4.  3. Событию А={выпал ровно один орел}  благоприятствуют элементарные события ОР и  РО. Поэтому N(A)=2.  4. Тогда Р(А)=2/4=0,5.    Ответ. 0,5

ЗАДАЧА 5. В СЛУЧАЙНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ  БРОСАЮТ ДВА ИГРАЛЬНЫХ КУБИКА. НАЙДИТЕ  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО В СУММЕ ВЫПАДЕТ 8  ОЧКОВ. РЕЗУЛЬТАТ ОКРУГЛИТЕ ДО СОТЫХ

ЗАДАЧА 6.  МОНЕТА БРОШЕНА ТРИ РАЗА.  КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ЧТО ОРЕЛ ВЫПАЛ РОВНО ДВА  РАЗА?

ЗАДАЧА 7. В СОРЕВНОВАНИЯХ ПО ТОЛКАНИЮ ЯДРА  УЧАСТВУЮТ 4 СПОРТСМЕНА ИЗ ФИНЛЯНДИИ, 7  СПОРТСМЕНОВ ИЗ ДАНИИ, 9 СПОРТСМЕНОВ ИЗ ШВЕЦИИ, 5 –  ИЗ НОРВЕГИИ. ПОРЯДОК, В КОТОРОМ ВЫСТУПАЮТ  СПОРТСМЕНЫ, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЖРЕБИЕМ. НАЙДИТЕ  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СПОРТСМЕН, КОТОРЫЙ  ВЫСТУПАЕТ ПОСЛЕДНИМ, ОКАЖЕТСЯ ИЗ ШВЕЦИИ.  Решение.  1. Случайный эксперимент – бросание жребия Элементарный исход – спортсмен, который  выступает последним. Последним может  оказаться любой.  2. Всего спортсменов 4+7+9+5=25, то есть N=25. 3.Событию А={последний из Швеции}  благоприятствуют только девять исходов,  поэтому N(A)=9. 4.  Тогда Р(А)=9/25=0,36.  Ответ. 0,36.

ЗАДАЧА 8. В СРЕДНЕМ ИЗ 1000 АККУМУЛЯТОРОВ,  ПОСТУПИВШИХ В ПРОДАЖУ, 6 НЕИСПРАВНЫ. НАЙДИТЕ  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОДИН КУПЛЕННЫЙ  АККУМУЛЯТОР ОКАЖЕТСЯ ИСПРАВНЫМ.

ЗАДАЧА 9 ФАБРИКА ВЫПУСКАЕТ СУМКИ. В СРЕДНЕМ НА 170 КАЧЕСТВЕННЫХ СУМОК ПРИХОДИТСЯ ШЕСТЬ СУМОК СО СКРЫТЫМИ ДЕФЕКТАМИ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО КУПЛЕННАЯ СУМКА ОКАЖЕТСЯ КАЧЕСТВЕННОЙ. РЕЗУЛЬТАТ ОКРУГЛИТЕ ДО СОТЫХ Решение: 1.Элементарный исход – случайно выбранная  сумка. Имеется 170 «хороших» и 6 «плохих» сумок, т.е.  всего элементарных событий N= 176. Событию А={сумка качественная}  благоприятствуют 170 исходов. То есть  N(А)=170.  ≈  0,97. 3. Р(А)=170:176  Ответ: 0,97. Примечание. Обратите внимание на разницу формулировок: А) 5 «плохих» из 50.  Всего  ­ 50 Б) на каждые 50 «хороших» приходится 5 «плохих». Всего ­ 55

ЗАДАЧА 10. В ЧЕМПИОНАТЕ МИРА УЧАСТВУЮТ 16  КОМАНД. С ПОМОЩЬЮ ЖРЕБИЯ ИХ НУЖНО РАЗДЕЛИТЬ  НА ЧЕТЫРЕ КОМАНДЫ В КАЖДОЙ. В ЯЩИКЕ  ВПЕРЕМЕШКУ ЛЕЖАТ КАРТОЧКИ С НОМЕРАМИ ГРУПП:  1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4. КАПИТАНЫ КОМАНД ТЯНУТ ПО  ОДНОЙ КАРТОЧКЕ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО  КОМАНДА РОССИИ ОКАЖЕТСЯ ВО ВТОРОЙ ГРУППЕ? Решение. 1.Элементарный исход – карточка,  выбранная капитаном российской команды, значит  N= 16. Событию А={команда России во второй группе}  благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то  есть N(А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/16=0,25.  Ответ. 0,25  Примечание . Задачу можно решить короче, если иначе определить  элементарные события. Пусть элементарным событием будет не  карточка, а номер карточки. Эл. события равновозможны, поскольку  карточек с разными номерами поровну . Тогда N= 4, а N(А) = 1. Здесь  важно, что в новом эксперименте эл. события  остались  равновозможными.  Антипример: Число выпавших орлов при двукратном подбрасывании  монеты. События 0,1,2 не будут равновозможными (задача 4)

ЗАДАЧА 11. НАУЧНАЯ  КОНФЕРЕНЦИЯ  ПРОВОДИТСЯ  В  5   ДНЕЙ.  ВСЕГО    ЗАПЛАНИРОВАНО  75  ДОКЛАДОВ –  ПЕРВЫЕ ТРИ ДНЯ ПО 17 ДОКЛАДОВ, ОСТАЛЬНЫЕ  РАСПРЕДЕЛЕНЫ ПОРОВНУ МЕЖДУ ЧЕТВЕРТЫМ И  ПЯТЫМ  ДНЯМИ.  ПОРЯДОК  ДОКЛАДОВ  ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЖЕРЕБЬЁВКОЙ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ,  ЧТО  ДОКЛАД  ПРОФЕССОРА  ПРЕОБРАЖЕНСКОГО   ОКАЖЕТСЯ  ЗАПЛАНИРОВАННЫМ  НА  ПОСЛЕДНИЙ   ДЕНЬ  КОНФЕРЕНЦИИ?

БЛОК 2  СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

ЗАДАЧА 12. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО НОВАЯ ШАРИКОВАЯ  РУЧКА ПИШЕТ ПЛОХО (ИЛИ НЕ ПИШЕТ), РАВНА 0,1.  ПОКУПАТЕЛЬ В МАГАЗИНЕ ВЫБИРАЕТ ОДНУ ТАКУЮ  РУЧКУ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ЭТА РУЧКА  ПИШЕТ ХОРОШО. Решение.  1.Определим событие А ={выбранная ручка  пишет хорошо}  2. Известна вероятность противоположного  события: Р(Ā) = 0,1 3. Используем формулу вероятности  противоположного события:  Р(А) = 1 – Р(Ā) = 1 – 0,1 =0,9  Ответ. 0,9

ЗАДАЧА 13. НА ЭКЗАМЕНЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ШКОЛЬНИКУ  ДОСТАЕТСЯ ОДИН ВОПРОС ИЗ СПИСКА  ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО,  ЧТО ЭТО ВОПРОС НА ТЕМУ: «ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ»,  РАВНА 0,2. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ЭТО ВОПРОС НА  ТЕМУ «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ», РАВНА 0,15. ВОПРОСОВ,  КОТОРЫЕ ОДНОВРЕМЕННО ОТНОСЯТСЯ К ЭТИМ ДВУМ  ТЕМАМ, НЕТ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО НА  ЭКЗАМЕНЕ ШКОЛЬНИКУ ДОСТАНЕТСЯ ВОПРОС ПО  Решение. ОДНОЙ ИЗ ЭТИХ ДВУХ ТЕМ.  1.Определим события:  А={вопрос на тему «Вписанная окружность}     В={вопрос на тему «Параллелограмм»}  2. События А и В несовместны, так как по условию в  списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам  одновременно.  3. Событие С={вопрос по одной из этих двух тем}  является их объединением:  4. Применим формулу сложения вероятностей  несовместных событий: Р(С)=Р(А) +Р(В)=0,2+0,15=0,35 Ответ. 0,35

ЗАДАЧА 14 В ТОРГОВОМ ЦЕНТРЕ ДВА ОДИНАКОВЫХ  АВТОМАТА ПРОДАЮТ КОФЕ. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО К  КОНЦУ ДНЯ В АВТОМАТЕ ЗАКОНЧИТСЯ КОФЕ, РАВНА 0,3.  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО КОФЕ ЗАКОНЧИТСЯ В ОБОИХ  АВТОМАТАХ, РАВНА 0,12. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО,  ЧТО К КОНЦУ ДНЯ КОФЕ ОСТАНЕТСЯ В ОБОИХ  АВТОМАТАХ. Решение. 1.Определим события:  А={кофе закончится в первом автомате}  В= {кофе закончится во втором автомате}  Событие {кофе закончится в обоих автоматах} является  их пересечением, А В.∩ По условию задачи Р(А)=Р(В)=0,3 и Р(А В)=0,12.  По формуле сложения вероятностей найдем вероятность  события:  АUВ={кофе закончится хотя бы в одном автомате}  АUВ=Р(А) + Р(В) – Р(А В) =0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события  {кофе останется в обоих автоматах } равна 1 – 0,48=0,52.  Ответ. 0,52  ∩ ∩

ЗАДАЧА 15 БИАТЛОНИСТ ПЯТЬ РАЗ СТРЕЛЯЕТ ПО  МИШЕНЯМ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В МИШЕНЬ  ПРИ ОДНОМ ВЫСТРЕЛЕ РАВНА 0,8. НАЙДИТЕ  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО БИАТЛОНИСТ ПЕРВЫЕ ТРИ  РАЗА ПОПАЛ В МИШЕНИ, А ПОСЛЕДНИЕ ДВА РАЗА  ПРОМАХНУЛСЯ. РЕЗУЛЬТАТ ОКРУГЛИТЕ ДО СОТЫХ.  РЕШЕНИЕ.  1.РЕЗУЛЬТАТ КАЖДОГО СЛЕДУЮЩЕГО ВЫСТРЕЛА НЕ  ЗАВИСИТ ОТ ПРЕДЫДУЩИХ. ПОЭТОМУ СОБЫТИЯ  «ПОПАЛ ПРИ ПЕРВОМ ВЫСТРЕЛЕ», «ПОПАЛ ПРИ ВТОРОМ  ВЫСТРЕЛЕ» И Т.Д. НЕЗАВИСИМЫ.  2. ВЕРОЯТНОСТЬ КАЖДОГО ПОПАДАНИЯ РАВНА 0,8.  ЗНАЧИТ ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОМАХА РАВНА 1 – 0,8 = 0,2.  3. ПО ФОРМУЛЕ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ А={ПОПАЛ, ПОПАЛ, ПОПАЛ,  ПРОМАХНУЛСЯ, ПРОМАХНУЛСЯ} ИМЕЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ  Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2 = 0,02048 ≈ 0,02  ОТВЕТ. 0,02

ЗАДАЧА 16 В МАГАЗИНЕ СТОЯТ ДВА ПЛАТЕЖНЫХ  АВТОМАТА. КАЖДЫЙ ИЗ НИХ МОЖЕТ БЫТЬ  НЕИСПРАВЕН С ВЕРОЯТНОСТЬЮ 0,05 НЕЗАВИСИМО ОТ  ДРУГОГО АВТОМАТА. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО,  ЧТО ХОТЯ БЫ ОДИН АВТОМАТ ИСПРАВЕН. Решение.В этой задаче также предполагается  независимость работы автоматов. Определим  событие А={хотя бы один автомат исправен}  1.Найдем вероятность противоположного  события: Ā ={оба автомата неисправны }  2. Для этого используем формулу умножения  вероятностей независимых событий :  Р(Ā)=0,05*0,05=0,0025 3.Значит вероятность события А={хотя бы один  автомат исправен} равна:  Р(А)=1 – 0,0025=0,9975.  Ответ. 0,9975

ЗАДАЧА 17 АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ ИЗГОТАВЛИВАЕТ  БАТАРЕЙКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ГОТОВАЯ  БАТАРЕЙКА НЕИСПРАВНА, РАВНА 0,02. ПЕРЕД  УПАКОВКОЙ КАЖДАЯ БАТАРЕЙКА ПРОХОДИТ СИСТЕМУ  КОНТРОЛЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СИСТЕМА  ЗАБРАКУЕТ НЕИСПРАВНУЮ БАТАРЕЙКУ, РАВНА 0,99.  ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СИСТЕМА ПО ОШИБКЕ  ЗАБРАКУЕТ ИСПРАВНУЮ БАТАРЕЙКУ, РАВНА 0,01.  НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СЛУЧАЙНО  Решение. Ситуация, при которой батарейка  ВЫБРАННАЯ ИЗ УПАКОВКИ БАТАРЕЙКА БУДЕТ  будет забракована, может сложиться в  ЗАБРАКОВАНА. результате событий: A – «батарейка  действительно неисправна и забракована  справедливо» или В – «батарейка исправна, но  по ошибке забракована». Это несовместные  события, вероятность их суммы равна сумме  вероятностей этих событий. Имеем:  P (A+B) =  P(A) + P(B) = 0,020,99 + (1 – 0,02)0,01 =  0,020,99 + 0,980,01= 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.  Ответ: 0,0296.

ИСТОЧНИКИ  Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу  ОГЭ» https://oge.sdamgia.ru  ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные задания:20  вариантов/А.В. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Е.А.  Кукса. Под редакцией И.В. Ященко.­М.: БИНОМ.  Лаборатория знаний, 2018. – 287с.  ЯщенкоИ.В, Шестаков С.А. ОГЭ по математике от А до Я.  Модульный курс. Задачи с практическим содержанием.­М.:  МЦНМО,2018.­106с.  Математика, Задача В10, Теория вероятностей, Рабочая  тетрадь, ВысоцкийИ.Р., Семенов А.Л., Ященко И.В  http://mathgia.ru  http:// www.schoolmathematics.ru   http://metodisty.ru/m/groups/view/matematika_v_shkole