Портфолио проекта
1. Паспорт
1. Параллелограмм Вариньона
2. Доманова Алена Игоревна
3. 8 класс
4. МБОУ «Гимназия №13 имени Э.А. Быкова»
5. Математика
6. 2 месяца
7. Сократить время на решение задач по геометрии
Цель- изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике. Задачи –изучить понятие «параллелограмм Вариньона», «бимедианы», теоретический материал, научиться применять его на практике.
8. Исследовательский
9. Мультимедиа
10. Мультимедийная презентация, практические советы по решению задач
11. Практическая значимость- расширение кругозора, повышение образовательной культуры учащегося.
12. Методы исследования - изучение доступной литературы по теме, её анализ. Экспериментальная часть.
13. Интерес каждого
2. Описание работы над проектом
1) Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
2) Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника; разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
Показать решение олимпиадных заданий с помощью теоремы Вариньона.
3) Се¬ре¬ди¬ны сто¬рон про¬из¬воль¬но¬го (в том числе не¬вы¬пук¬ло¬го или даже про¬стран¬ствен¬но¬го) че¬ты¬рех¬уголь¬ни¬ка яв¬ля¬ют¬ся вер¬ши¬на¬ми па¬рал-ле¬ло¬грам¬ма — па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма Ва¬ри¬ньо¬на. Сто¬ро¬ны этого па¬рал¬ле¬ло-грам¬ма па¬рал¬лель¬ны со¬от¬вет¬ству¬ю¬щим диа¬го¬на¬лям че¬ты¬рех¬уголь¬ни¬ка.
Пе¬ри¬метр па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма Ва¬ри¬ньо¬на равен сумме длин диа¬го¬на¬лей ис¬ход¬но¬го че¬ты¬рех¬уголь¬ни¬ка, а пло¬щадь па¬рал¬ле¬ло¬грам¬ма Ва¬ри¬ньо¬на равна по¬ло¬ви¬не пло¬ща¬ди ис¬ход¬но¬го че¬ты¬рех¬уголь¬ни¬ка.
Если ис¬ход¬ный па¬рал¬ле¬ло¬грамм — пря¬мо¬уголь¬ник, то па¬рал¬ле¬ло-грамм Ва¬ри¬ньо¬на — ромб. Если ис¬ход¬ный па¬рал¬ле¬ло¬грамм — ромб, то па¬рал¬ле¬ло¬грамм Ва¬ри¬ньо¬на — пря¬мо¬уголь¬ник. Если ис¬ход¬ный па¬рал¬ле-ло¬грамм — квад¬рат, то па¬рал¬ле¬ло¬грамм Ва¬ри¬ньо¬на — квад¬рат.
Список использованных источников и литературы
1. 1. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50
3. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
4. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2015.
5. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение
парвар11.ppt
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Параллелограмм
Вариньона
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Цельизучить теорему Вариньона и
научиться применять ее на
практике
Задачи:
1.Изучить теоретический материал: понятия
«параллелограмм Вариньона», бимедианы
четырехугольника; разобрать доказательство теоремы
Вариньона и следствия из нее.
2.Сравнить количество времени, необходимое для
решения задач традиционным способом и, используя
теорему Вариньона.
3.Показать решение олимпиадных заданий с помощью
теоремы Вариньона.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Пьер Вариньон (1654 – 1722)
Французский механик
и математик.
Написал учебник по
элементарной геометрии
(издан в 1731 году).
Первым доказал, что
середины сторон выпуклого
четырехугольника являются
вершинами параллелограмма.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Теорема Вариньона
Четырехугольник, образованный путем последовательного
соединения середин сторон выпуклого четырехугольника,
является параллелограммом, и его площадь равна
половине площади данного четырехугольника.
Дано:
ABCD – выпуклый
четырехугольник,
AK=KB, BL=LC, CM= MD,
AN=ND
Доказать:
1)KLMN – параллелограмм;
2)SKLMN =SABCD /2
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Доказательство:
Рассмотрим ABC. KL средняя линия ABC (по
определению) => KL║AC. MN – средняя линия ADC,
MN║AC. Т.к. KL║AC и MN║AC => KL║NM и KL=MN=AC/2.
Таким образом, KLMN параллелограмм. Этот параллелограмм
называется параллелограммом Вариньона данного
четырехугольника.
Средняя линия треугольника
отсекает от него треугольник,
площадь которого в четыре раза
меньше площади исходного
треугольника, т.е. SKBL = SABC/4,
SMDN=SADS/4.
Следовательно, S1+S3=SABCD /4.
Аналогично, S2+S4=SABCD/4.
S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4
= SABCD/2.
Ч.Т.Д.
Т.е., SKLMN = SABCD/2.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
[1]
Бимедианы четырехугольника
– это отрезки,
соединяющие
середины
противоположных
сторон
KM и LN
(диагонали
параллелограмма
Вариньона)
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Следствия из теоремы Вариньона
№1
Параллелограмм Вариньона
является ромбом тогда и
только тогда, когда
в исходном четырехугольнике:
1) диагонали равны AC=BD
2) бимедианы
перпендикулярны
KM LN
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
№2
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда
и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
1) диагонали перпендикулярны
AC BD
2) бимедианы равны
KM=LN
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
№3
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда,
когда в исходном четырехугольнике:
1) диагонали равны AC=BD и перпендикулярны AC BD;
2) бимедианы равны MK=NL и перпендикулярны MK NL
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Решение задач (из учебника)
• Докажите, что середины
сторон четырехугольника
являются вершинами
параллелограмма.
Дано: ABCD – четырехугольник
AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND
Доказать: KLMN – параллелограмм
Новое доказательство:
Доказательство:
Проведем АС и рассмотрим АВС
KL – средняя линия => KL IIAC,
KL= AC/ 2 .
Рассмотрим ADC, NM – средняя линия=>
KLMN –
параллелограмм
NM II AC, NM = AC/2
Вариньона
KL II AC, NM II AC=> KL II NM.
( по определению)
KL= AC/ 2, NM = AC/2=> KL=NM.
KLMN – параллелограмм
(противоположные стороны равны и
параллельны)
Ч.Т.Д.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
• Докажите, что четырехугольник
– ромб, если его вершинами
являются середины сторон
прямоугольника
Дано: ABCD – прямоугольник,
DE=EA, AL=LB, BM=MC, DH=HC
Доказать: ELMH – ромб
Новое доказательство:
Доказательство:
Проведем АС, рассмотрим АВС.
LM – средняя линия =>LM II AC, LM =AC/2.
ELMH – ромб
Рассмотрим ADC,
( по 1 следствию из теоремы
EH средняя линия , EH II AC, EH = AC/2.
Вариньона)
LM II EH, LM=EH=>
ELMH –параллелограмм.
Проведем BD. Так как BD=AC ( диагонали
прямоугольника равны), значит EL=LM=>
ELMH – ромб.
Ч.Т.Д.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Олимпиадные задачи
Докажите, что если диагонали
четырехугольника равны, то его площадь
равна произведению средних линий.
В
K
L
C
M
Дано:
ABCD – четырехугольник;
AC = BD
Доказать: SABCD= KM*LN
N
D
А
Доказательство:
KLMN – параллелограмм Вариньона. Так как AC= BD,
параллелограмм Вариньона является ромбом. SKLMN =KM*LN /2
(площадь ромба равна половине произведения его
диагоналей ).
SABCD = 2 SKLMN = KM * LN
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Докажите, что суммы площадей накрест лежащих
четырехугольников, образованных пересечением
бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD
равны.
Доказательство:
Воспользуемся
теоремой о средней
линии треугольника.
Получаем: SBKL +
SDMN = (SABC +
SADC)/4 = SABCD/4 =
(SABD + SCBD)/4 =
SAKN+SCLM
Ч.Т.Д.
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Заключение
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Геометрия полна приключений,
потому что за каждой задачей
скрывается приключение мысли.
Решить задачу – это значит
пережить приключение.
(В. Произволов)
Презентация по математике "Параллелограмм Вариньона" (8 класс)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
14.05.2017
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
