Презентация по математике "Сочетания" (11 класс, математика)

«Сочетания. Решение «Сочетания. Решение комбинаторных задач» комбинаторных задач»

Цели урока: Цели урока: образовательная образовательная • обучать решению задач по комбинаторике обучать решению задач по комбинаторике развивающая развивающая • развивать логическое мышление развивать логическое мышление • расширять математический кругозор расширять математический кругозор • развивать навыки научно-исследовательской развивать навыки научно-исследовательской деятельности деятельности воспитательная воспитательная • воспитывать культуру письма, речи воспитывать культуру письма, речи • развивать умения работать в группе развивать умения работать в группе • формировать чувство ответственности за принятое формировать чувство ответственности за принятое решение решение

Задачи урока: Задачи урока: • дать определение сочетания, основные формулы дать определение сочетания, основные формулы • показать способы решения задач показать способы решения задач • отработать умения решать комбинаторные задачи отработать умения решать комбинаторные задачи • проверить понимание материала, изученного на уроках проверить понимание материала, изученного на уроках

из данных nn элементов по Объяснение нового материала Объяснение нового материала Сочетанием из данных Сочетанием любую группу из kk этих элементов ( любую группу из Например, из трех элементов xx11, , xx22, , xx33 можно составить можно составить Например, из трех элементов следующие сочетания по два элемента: следующие сочетания по два элемента: называют элементов по k k называют этих элементов (11≤≤ kk≤≤ n)n). . xx11, , xx22,;,;           xx11, , xx33  ; ;              xx22, , xx33 Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по 2 Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по 2 нет. нет. Приведем сочетания из четырех элементов по 3: xx11, , xx22, , xx33  ,,xx44 Приведем сочетания из четырех элементов по 3: xx11, , xx22, , xx33;; xx11, , xx33, , xx44;;  x x11, , xx22, , xx44;;   xx22, , xx33, , xx44.. Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов. Если в данном расположением (порядком) элементов. Если в данном сочетании переставить каким-либо образом его элементы, сочетании переставить каким-либо образом его элементы, то оно (как сочетание) не изменится. то оно (как сочетание) не изменится.

k nC элементов по k k обозначают обозначают Combination – сочетание) и читают: «цэ из – сочетание) и читают: «цэ из Число сочетаний из nn элементов по Число сочетаний из (от фр. Combination (от фр. эн по ка». эн по ка». Вычисляя число размещений, мы получили пары, Вычисляя число размещений, мы получили пары, отличающиеся порядком элементов, например xx11,,   отличающиеся порядком элементов, например xx22  и и xx22, , xx11 . Из двух элементов можно составить . Из двух элементов можно составить две перестановки, т. е. PP22 упорядоченных пар, упорядоченных пар, две перестановки, т. е. C 2 nA поэтому так как число размещений поэтому так как число размещений равно количеству групп - , умноженному на равно количеству групп - , умноженному на число перестановок внутри группы PP22 число перестановок внутри группы 2 n  CP 2 2 n 2 nС

.k n k A n  CP k Для любого kk количество размещений из количество размещений из nn Для любого элементов по kk можно вычислить по формуле можно вычислить по формуле элементов по (1)(1) Действительно, из nn элементов можно составить групп элементов можно составить групп Действительно, из k nA элементов, а в каждой группе можно выполнить PPk k по по kk элементов, а в каждой группе можно выполнить перестановок. Таким образом, число всех размещений перестановок. Таким образом, число всех размещений равно произведению числа групп и числа перестановок и числа перестановок равно произведению числа групп внутри этих групп PPkk , т. е. справедлива формула (1). , т. е. справедлива формула (1). внутри этих групп , Следовательно, Следовательно k A  k n С n P k (2)(2) kn  ... k ( ! ( nn  )1 )1

• Пример. Пример. Сколькими различными Сколькими различными способами из семи участников способами из семи участников математического кружка можно составить математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в команду из двух человек для участия в олимпиаде? олимпиаде? Так как порядок, в котором будут выбраны Так как порядок, в котором будут выбраны двадва человека, безразличен, то число человека, безразличен, то число равновозможных случаев составить команду равновозможных случаев составить команду равно равно С 2 7  .21  67 !2

Докажем справедливость формул Докажем справедливость формул      kn n k n C C C k n  C k n   1 C k n  1  1 (3)             (4)    (5)

Докажем формулу (3) Докажем формулу (3) nn (  C k n  nn (  )1 )1 ( ! kn  ... k kn knk  ... )! ( (!  )1 )(1 kn  )!   ! n  knk (! , что и требовалось доказать. )!

Доказать формулу (4) самостоятельно Доказать формулу (4) самостоятельно C k n C  kn n

Проверяем Проверяем C k n  n !  knk (!  )! n ! ( kkn )!  !  kn n C

Замечание. Выше числа определялись для Замечание. • Иногда удобно рассматривать число Иногда удобно рассматривать число по определению по определению равное 1: равное 1: Выше числа определялись для kk≥1≥1 0 nC .1 0 nC  С k n • При При kk=0 формула (2) не имеет смысла, но формула (3) =0 формула (2) не имеет смысла, но формула (3) имеет смысл. В самом деле, так как считается, что имеет смысл. В самом деле, так как считается, что 0! = 1, то 0! = 1, то )!0 • Но тогда при Но тогда при kk = 0 имеют смысл также и формулы (4) и = 0 имеют смысл также и формулы (4) и (5): (5): ! n  !1 n ! n  !0! n (! nnn ! n  1! n ! n  n  1 C  .1 ! n  C k n (!0  0 n , C 0 n  C  10 n  Cn 1 1 n  1   )!  • Поэтому в дальнейшем при использовании чисел Поэтому в дальнейшем при использовании чисел будем пользоваться формулой (3), считая, что 00≤k≤n≤k≤n.. будем пользоваться формулой (3), считая, что k nC

Проверка усвоения материала Проверка усвоения материала 1. Повторяем «факториал» 1. Повторяем «факториал» • 1. Вычислите: 1. Вычислите: а) 6! + 7!; б)б) а) 6! + 7!; • 22. . Сократите дробь . Сократите дробь . 3. Решите уравнение если nn є є NN:: 3. Решите уравнение если • (2(2nn – 3)! = 23(2 – 3)! = 23(2nn – 4)!. – 4)!. Найдите: Найдите: 2. Упражнения на использование формулы (3) 2. Упражнения на использование формулы (3) • а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .