Презентация "Применение производной при решении задач ЕГЭ" (11 класс)

Повторить и обобщить теоретические знания по темам: «Геометрический смысл производной», «Применение производной к исследованию функций»
Рассмотреть все типы задач №7,№12, встречающиеся на ЕГЭ по математике
Проверить свои знания при самостоятельном решении задач
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в группах, подведения итогов.

Основные этапы урока

Организационная деятельность.

Актуализация знаний учащихся.

Самостоятельная работа.

Анализ работы с текстами и заданиями.

Работа в группах.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Итог урока.

Зачем нужна производная?
2. Где мы встречаемся с производной и используем её?
3. Можно ли без неё обойтись в математике и не только?

Математики о производной.

Производная - часть математической науки, одно из её звеньев.
Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.
Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет!
Чойнжуров А.Б.. учитель математики.

Физики о производной.

С производной в курсе физики мы встречаемся в 10-11 классах.
В теме «Кинематика»:
скорость- есть первая производная от перемещения.
В теме «Механические и электро-магнитные колебания»
применяется производная от функции sinx и cosx.

Мой совет:
«Лучше изучайте математику, чтобы легче изучать другие науки.
Дерзайте!»

Базарова Л.Б. учитель физики.

Вывод:

Определение производной

Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения
приращения функции ∆ f(x) к приращению аргумента ∆х при ∆х→0

Задание 1
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной
функции f(x)  в точке

.

Решение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки B(5; 3) и A(-3; 2). Известно, что значение производной в точке 

равно угловому коэффициенту касательной.

Ответ: 0,125

Задание 2
На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к графику в точке с абсциссой ​

Найдите значение производной функции f(x) в точке 

.

Решение
Значением производной функции в точке является угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке
и равно тангенсу угла наклона касательной к оси Ox.
Построим прямоугольный треугольник ABC и по рисунку найдем тангенс угла BAC, смежного с углом наклона касательной к оси Ox.

Тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

На рисунке видно, что противолежащий катет BC = 4, а прилежащий AC = 8

значит:

Ответ: 0,5

Задание 3
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

1. f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

Задание 4
На рисунке изображён график y= f​ ′​​(x) — производной функции  f(x). Найдите абсциссу точки, в которой

касательная к графику функции y= f(x) параллельна прямой  y=3x+2 или совпадает с ней.

Пусть 

— абсцисса точки, в которой касательная к графику функции y =f(x)

 параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней. Тогда значение производной y=f )

'(x) в точке 

 равно 3, так как угловой коэффициент касательной y=3x+2 равен 3.

Но из графика видно, что 

= 3 в единственной точке 

​​= −1.

 y= f​ ′​​(x)

Действительно, прямая y=3 пересекает график функции  y= f​′​​(x) в единственной точке (-1; 3), абсцисса которой равна −1.

Задание5
Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума

Задания для групп.
Задание 1.
  На рисунке изображен график у=f′(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у=f(x) параллельна прямой у = 2х–2 или совпадает с ней.

Задание 2.
 На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6;9].

Задание 3.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание 4 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.


IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

На рисунке изображен график у=f′(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у=f(x) параллельна прямой у = 2х–2 или совпадает с ней.

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей
1 группа – Нахождение абсциссы точки, в которой касательная к графику у=f(x) параллельна прямой

Задание 1.
 Решение:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Так как касательная параллельна прямой у = 2х–2 или совпадает с ней, она имеет такой же угловой коэффициент равный 2 и значит f′(x0) = 2.
Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2.
Графически это точка пересечения графика производной с прямой f′(x0) = 2

Искомая точка x0 = 5
Ответ: 5

Задание 2.
 На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6;9].

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Задание 2.
Решение:
Дан график производной, если он расположен выше оси ОХ,
то производная имеет знак «+» и функция возрастает,
если ниже оси ОХ то производная имеет знак «-» и функция убывает.
На отрезке [−6;9] одна точка максимума и равна 7

Ответ: 1

2 группа – Применение производной для нахождения точек экстремума функции

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Задание 3.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Задание 3

Решение:

Производная функции положительна на интервале возрастания

целых точек , в которых производная положительна


Ответ: 4

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Задание 4
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.


IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Задание 4

решение:

Ответ: - 0,2

IY этап Работа с заданиями. Защита своих идей

Физическая пауза.

1.Наклон головы вперёд-назад.
2.Наклон головы влево- вправо.
3.Описать головой полукруг.
4.Руки вперёд, кисти «замком», повороты сцепленными руками влево- вправо.
5.Руки вниз, поднимаем и опускаем плечи.

Работа в группах

Найти наименьшее и наибольшее значение функции
на отрезке [-4;6]

Пример:Найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на отрезках [-4;6] 

а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45
2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 =>
х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6]
3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5):
Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82;
у(5)=-174.
Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82.

Решение.

а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45
2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 =>
х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6]
3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5):
Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82;
у(5)=-174.
Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82.

Проект предложений

ЗАДАНИЕ ГРУППАМ ( домашнее задание)
Каждой группе разработать рекомендации
к системе подготовки решения
заданий типа 7, 12.
Доказать преимущества вашей методики.

Проект предложений

Знать определения, основные теоремы , алгоритмы.
Внимательно прочитать условие задачи
Решить 3-4 задачи каждого типа.
Выделить задачи –исключения.
5. Создать собственный алгоритм для решения задач.

Рефлексия

Заполнение оценочного листа.
Оценочный лист учащегося:
Фамилия ____________________________________
Имя ________________________________________

Задания ( решить прототипы заданий 7, 12,)
Используя полученные на уроке ВЫВОДЫ.

«Если бы мне пришлось начать вновь своё обучение, то я последовал бы совету Платона
и принялся бы сперва за математику, как науку,
требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного» ( Г. Галилей).