Презентация урока "Положительные и отрицательные числа" 6 класс

ГОУ ДПО «Ленинградский областной институт развития образования» Факультет основного общего и среднего общего образования Кафедра математики, информатики и ИКТ. ПРОЕКТНОЕ ЗАДАНИЕ Разработка урока на тему: «Положительные и отрицательные числа» КПК: 7.3.1.1. «Вопросы обучения математике в условиях ФГОС» Выполнил:   Миронова Ольга Сергеевна Учитель математики МОУ КСОШ Киришский район Руководитель: Санкт – Петербург  2016 Содержание: Теоретическая часть Введение…………………………………………………… I. I.1. Историческое возникновение отрицательных чисел………… I.2. Отрицательные числа в Египте, Древней Азии, Европе…….. I.3. Современное истолкование Отрицательных чисел…………... II. Практическая часть Разработка урока………………………………………………………….        Приложение………………………………………………………………...        Заключение………………………………………………………………..        Список литературы……………………………………………………… Введение  Мир чисел очень  загадочен  и  интересен. Числа  очень важны в нашем мире.  Я хочу  узнать  как можно больше о происхождении чисел, об их значении в  нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?         В этом году на уроках математики мы начали изучать тему  «Положительные и отрицательные числа». У меня возник  вопрос, когда  возникли отрицательные числа, в какой стране,  какие ученые занимались  этим вопросом.  В Википедии я прочитала, что отрицательное число —  элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель  расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В  результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел,  состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и  нуля. Главной целью и результатом воспитательного воздействия на личность является самовоспитание –   сознательная   целенаправленная   деятельность человека   по   совершенствованию   своих   положительных   качеств   и преодолению   отрицательных.   Самовоспитание   представляет   собой относительно   самостоятельный   процесс,   движущими   силами   которого выступают   противоречия:   а)   между   требованиями,   предъявляемыми   к учащимся, и их реальным поведением; б) между желанием изменить себя и неумением работать над собой из­за недостаточной требовательности к себе, слабости силы воли, незнания методики самовоспитания. В самовоспитании как процессе работы над собой прослеживается ряд этапов. 1. Мотивационный. На   этом   этапе   у   учащегося   должна   возникнуть потребность в работе над собой. Важно понимание значимости прилагаемых усилий. Необходимо рассматривать формирование мотивов самовоспитания как   непрерывно   реализуемую   педагогическую   задачу.   Эффективность самовоспитания в определенной степени зависит от того, насколько ученики осознают   перспективы   своего   роста   и   испытывают   при   этом   радость   от достигнутого успеха. 2. Программный. На   этом   этапе   определяются   программа самовоспитания, последовательность работы по самосовершенствованию. 3. Поисковый. Дети стремятся попробовать себя в той или иной области, убедиться в правильности своих действий. 4. Рефлексивный .   На   этом   этапе   происходит   оценка   саморазвития, проектируются новые задачи и пути их решения. Таким   образом,   самовоспитание   требует   познания   человеком   самого себя, адекватной самооценки и волевых усилий, направленных на изменение определенных черт личности. Однако следует помнить, что оно не может изменить черты, данные человеку от природы. Эффективность стимулирования самовоспитания учащихся обусловлена тем, насколько они осознают перспективы своего роста и испытывают при этом радость успеха. Но не следует забывать и о том, что работа над собой сопряжена   с   немалыми   трудностями,   требует   большого   психического напряжения, физических сил и нервной энергии. Из­за недостаточной психологической и практической подготовленности к работе над собой и отсутствия опыта в этом многие учащиеся не ощущают заметных   успехов   в   самовоспитании,   нередко   переживают   срывы   и испытывают   неудачи,   которые,   повторяясь,   приобретают   устойчивый характер.   В   итоге   ситуация   ожидания   радости   успеха   сменяется разочарованием, что ведет к пассивности, утрате интереса к самовоспитанию, его   эпизодичности   или   даже   к   бездействию.   Может   наблюдаться   и неправильное   с   педагогической   точки   зрения   поведение.   Не   имея возможности самореализации в социально одобряемой деятельности, ученик находит более легкие, чаще всего асоциальные, пути самоутверждения. Субъектом   самовоспитания   является   сам   ребенок,   а   субъектами стимулирования этого процесса могут быть все участники воспитательного процесса   –   педагоги,   родители,   товарищи   и   т. д.   Для   педагога   задача стимулирования   самовоспитания   детей   должна   входить   в   комплекс   задач проводимой им воспитательной работы. Практика   убеждает:   чем   полнее   и   лучше   включены   учащиеся   в разнообразную   деятельность,   чем   чаще   они   берут   на   себя   инициативу   ее планирования, подготовки и осуществления, подведения итогов, контроля, коррекции   –   тем   выше   эффективность   самовоспитания.   Если   ученик выступает в роли активного организатора и участника деятельности, то в результате   формируется   активная,   деятельная   личность.   И   напротив,   при неправильной организации деятельности, когда ребенок остается пассивным исполнителем   или   безразличным   участником,   у   него   формируются соответствующие качества. Эффективность   стимулирования   самовоспитания   зависит   и   от разнообразия используемых средств и методов, и от адекватности реакции на них учащихся. Практика показывает, что наилучший результат достигается там,   где   педагоги   применяют   хорошо   продуманную   систему   средств   и методов стимулирования самовоспитания. Главной целью и результатом воспитательного воздействия на личность является самовоспитание –   сознательная   целенаправленная   деятельность человека   по   совершенствованию   своих   положительных   качеств   и преодолению   отрицательных.   Самовоспитание   представляет   собой относительно   самостоятельный   процесс,   движущими   силами   которого выступают   противоречия:   а)   между   требованиями,   предъявляемыми   к учащимся, и их реальным поведением; б) между желанием изменить себя и неумением работать над собой из­за недостаточной требовательности к себе, слабости силы воли, незнания методики самовоспитания. В   ходе   обучения   воспитывающее   влияние   на   учащихся   оказывают содержание   изучаемого   материала,   формы   и   методы   учебной   работы, личность учителя, его отношение к ученикам, учебному предмету и всему миру, а также обстановка в классе и школе. Совместная   деятельность   школьников   становится   продуктивной,   если она   осуществляется   при   условии   включения   каждого   ученика   в   решение задач в начале процесса усвоения нового предметного содержания, а также при активном его сотрудничестве с учителем и другими учениками. Личностно­развивающие возможности совместной учебной деятельности школьников повышаются при следующих условиях: 1) в ней должны быть воплощены   отношения   ответственной   зависимости;   2)   она   должна   быть социально   ценной,   значимой   и   интересной   для   детей;   3)   социальная   роль ребенка в процессе совместной деятельности и функционирования должна меняться (например, роль старшего – на роль подчиненного и наоборот); 4) совместная   деятельность   должна   быть   эмоционально   насыщена коллективными   переживаниями,  состраданием   к   неудачам   других   детей   и «сорадованием» их успехам. В   результате   организации   на   уроке   совместной   продуктивной деятельности   возрастают   и   объем   усваиваемого   материала,   и   глубина   его понимания, на формирование понятий, умений и навыков тратится меньше времени,   чем   при   фронтальном   обучении.   Уменьшаются   некоторые дисциплинарные трудности (сокращается число учеников, не работающих на уроке,   не   выполняющих   домашние   задания).   Дети   получают   большее удовольствие   от   процесса   учения,   комфортнее   чувствуют   себя   в   школе. Снижается школьная тревожность, развиваются познавательная активность и творческая   самостоятельность   учащихся.   Возрастает   сплоченность   класса, взаимоотношения   между   детьми   становятся   теплее,   человечнее,   ученики начинают лучше понимать друг друга и самих себя. Растет самокритичность детей, поскольку, приобретая опыт совместной работы со сверстниками, они более точно оценивают свои возможности, лучше контролируют себя. Дети, помогавшие в учении товарищам, начинают с большим уважением относиться к   труду   учителя.   Они   приобретают   навыки,   необходимые   для   жизни   в обществе (ответственность, такт, умение строить свое поведение с учетом позиции   других людей,  коллективистские  мотивы  поведения).  Учитель же получает   возможность   реально   осуществлять   дифференцированный   и индивидуальный подход к воспитанникам (учитывать их способности, темп работы, взаимные склонности при делении класса на группы, давать группам задания,   дифференцированные   по   трудности,   уделять   больше   внимания «слабым»).   Воспитательная   работа   учителя   становится   необходимым условием   группового   обучения,   так   как   группы   в   своем   становлении проходят стадию конфликтных отношений. Теоретическая часть I. I.1. История возникновения отрицательных чисел          В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь   об   их   происхождении.   Без   знания   прошлого   нельзя   понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и   теперь.   Во   всех   разделах   современной   математики   приходится рассматривать   разные   величины   и   пользоваться   числами.   Число   — абстракция,   используемая   для   количественной   характеристики   объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось   и   обогащалось   и   превратилось   в   важнейшее   математическое понятие.                Существует большое количество определений понятию «число».  Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое  он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского  (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем  каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество,  сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик  Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель  дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с  помощью единиц».     В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий  английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет:  «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько  абстрактное отношение  какой­нибудь величины к другой величине такого же  рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и  иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное –  кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с  единицей».                                                                              Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в  определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального  мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную  классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду  то, что во всем мире обычно именуют функциями. Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5  классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не  всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных  чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое  целое число (за исключением деления на нуль).  Появились дробные числа.  Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше  уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня  оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали  отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие­либо реальные  явления. I.2. Отрицательные числа в Египте, Древней Азии, Европе     Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными  и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте.  Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже  использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве  используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ  Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания,  потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а  только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он  рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время  Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам  отрицательное», и даже формулирует правило знаков:  «Отрицательное,  умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное,  умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно  формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).  (–) (–) = (+), (–) (+) = (–).                   Отрицательные числа в Древней Азии        Положительные количества в китайской математике называли «чен»,  отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» ­ красным,  «фу» ­ черным. Такой способ изображения использовался в Китае до  середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение  отрицательных  чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа,  перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые,  стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию  его с точки зрения торговых расчетов.    Если купец имеет 5000 р.  и закупает товара на 3000 р.,  у него остается  5000 ­ 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р.,  то он  остается в долгу на 2000 р.  В соответствии с этим считали, что здесь  совершается вычитание 3000 ­ 5000, результатом же является число 2000 с  точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 ­ 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 ­  3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь  правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было  объяснить правила умножения или деления.      В V­VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко  распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа  систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.  Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.:  Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними.  В  его произведении  мы читаем: « имущество и имущество есть имущество,  сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится  имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».       Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество),  а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с  пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.      Отрицательные числа в Европе     Не одобряли их долго и европейские математики,  потому что  истолкование «имущество­долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом  деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой  реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на  долг? (Г.И. Глейзер, История математики в школе   IV­VI классы. Москва,  Просвещение, 1981)      Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике  отрицательные числа.   В Европе к идее отрицательного количества  достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи  Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в  конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного  трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях».  Символика  Шюке приближается к современной (Математический  энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988) 1.3.  Современное истолкование отрицательных чисел.      В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем   по­новому.     Сам   Штифель   писал:   «Нуль   находится   между    истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе   IV­VI классы. Москва,  Просвещение, 1981) После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в  которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после  Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.      Знаменитый французский математик  Рене  Декарт в «Геометрии» (1637  год) описывает геометрическое истолкование положительных и  отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси  точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево.  Геометрическое истолкование положительных и отрицательных  чисел  привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел,  способствовало их признанию.       Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р.  Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер,  переоткрывший сочинение Диофанта.    Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне  допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего­ либо.  Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со  знаками « + » и « ­ » применил немецкий математик  Видман.      Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые  другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками  на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем  математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о  точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля,  чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав  гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и  Р. Декарта.         История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем­то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования. Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э.  Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять   отрицательные   числа   и   считали   их   «долгами»,   при этом положительные называли   «имуществом».   которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.   Отрицательные числа    Первое упоминание отрицательных чисел мы находим  в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань. Далее,  в V­VI веках   отрицательные  числа   стали   использоваться   достаточно широко   в   Китае   и   Индии.   Правда,   в   Китае   к   ним,   все­таки   относились осторожно,   старались   их   применение   свести   к   минимуму,   а   в   Индии, напротив,   они   использовались   очень   широко.   Там   с   ними   производились вычисления и отрицательные числа не казались чем­то непонятным.   Той   записи, Известны индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (VII­VIII века), которые в своих   учениях   оставили   подробные   объяснения   работе   с   отрицательными числами.      А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа   не   использовали   вовсе.   А   если   при   вычислении   получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми»   и   «абсурдными».   Никаких   действий   с   ними   не   совершали,   а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты. Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году.          Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами». А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля.       С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными.   А   то,   что   не   все   действия   с   ними   можно   совершать   не считал чем ­то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать. А   в XIX веке   Уильман   Гамильтон   и   Герман   Грассман   создали   полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности. О.С. Миронова Учитель математики МОУ «КСОШ№1 им. С .Н. Ульянова» г Кириши ( Ленинградская область) УРОК МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ «ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА» (6 КЛАСС)  Цели урока:  1. Деятельностная: формирование универсальных учебных действий при  изучении координат на прямой.  2. Предметно­дидактическая: формирование знаний о координатной  прямой и практическое применение знаний по теме в области географии.  Планируемые результаты урока:  Предметные:  •  знают определение координатной прямой;  •  применяют знания при работе с прямой;  • развивают умение применять тему при работе  с физической картой и  добывать при этом информацию. Метапредметные:  •  выявляют, формируют учебную проблему;  •  выполняют координатные построения (знаково­символическое  моделирование); •  работают с текстом •  работают в группах •  оценивают деятельность (самоконтроль/взаимоконтроль) Личностные:  •  осознают роль математики в познании окружающего мира • проявляют интерес к графикам, физическим картам. Тип урока:  •  по ведущей дидактической цели: изучение нового материала;  •  по способу организации: комбинированный  по ведущему методу обучения: репродуктивный.  Методы обучения:  •  основной: репродуктивный;  •  дополнительные: беседа, объяснение, самостоятельная работа, работа в  группах  Средства обучения:  • Математика Н. Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Шварцбург. – М.: Мнемозина, 2013 •  Презентация по теме «Положительные и отрицательные числа».  •  Раздаточные материалы с задачами.  •  Мультимедийная техника доска интерактивная  Ход урока (представлен в таблице). Этап урока Методы обучения 1. Организационн ый 2.Формировани е Новых знаний и  Навыков 2.1 Актуализация опорных знаний,   умений и навыков Репродуктивный Самостоятельна я работа Определение, Содержание деятельности учител я ученика Формирован ие УУД Оценка/ самооцен ка Объяснительно­ иллюстрированный Общеучебные, коммуникативные Выполнение   заданий   на местах   и   у   доски, обсуждают результаты работы   Совместное обсуждение, сравнение эталоном   с Отвечают   на   вопросы учителя. Приводят примеры использования координатной   прямой   в Общекоммуникативные Организует работу учашихся   по выполннию следующих заданий   по учебнику:   1. «Записать координаты точек № 897» 2. «Изобразить на координатной прямой   точки № 898»  Задает вопросы: Что такое координатная прямая? Положительн и ые отрицательны е числа Координаты точки Примеры   из жизни 1.Раздача дидактическог о   материала для   работы   в парах 2.Раздача дидактическог о   материала для индивидуальн ой работы  3.Учитель раздает карточки   и спрашивает: «Почему   в данном задании подчеркнуто слово к узлу?» Организует фиксироние нового материалава обозначение 2.2   Изучение нового материала 2.3 Закрепление изученного материала Работа в парах  Работа индивидуально 3.Завершающий 1 Предметные 2.Метопредметн ые жизненных   ситуациях,   на других уроках   1.Выполнение   заданий   на местах   в   парах   и   у   доски, обсуждают результаты работы 2.Выполняют   работу   на местах индивидуально    3 Выполняют работу  индивидуально в тетрадях Общекоммуникативные Общекоммуникативные Общекоммуникативные Совместное обсуждение Совместное обсуждение, сравнение эталоном   с Один   из   учеников выходит к доске и объясняет   свой ответ и сравнивает с эталоном Совместное обсуждение, сравнение эталоном   с Общекоммуникативные Совместное обсуждение •  знают определение  координатной прямой;  •  применяют знания при  работе с прямой;  • развивают умение  применять тему при работе   с физической картой и  добывать при этом  информацию. •  выявляют, формируют  учебную проблему;  •  выполняют координатные  построения (знаково­ символическое  моделирование);  •  работают с текстом •  работают в группах •  оценивают деятельность  (самоконтроль/взаимоконтр оль) 3.1Рефлексия учебной деятельности на уроке   Организует рефлексию, самооценку учебной деятельности Отвечают   на   вопросы. Рассказывают,   что   узнали, смогли выполнить. Осуществляют самооценку   Коммунокативные, личностные Совместное обсуждение ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Заключение В своем работе  я  исследовала историю возникновения отрицательных  чисел. В ходе исследования  я сделала вывод: 1. Современная наука встречается с величинами такой сложной  природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды  чисел. 2. При введении новых чисел большое значение имеют два  обстоятельства: а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к  противоречиям; б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или  усовершенствовать уже известные решения. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения  чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается  считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения  чисел до двенадцати уровней. Список литературы 1. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.    М.:    Филол. О­во «СЛОВО»: ОЛМА­ПРЕСС, 2005. 2.  Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. 3. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика         Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. 4. История математики в школе ,  IV­VI классы. Г.И. Глейзер,  Москва, Просвещение, 1981. 5. Википедия. Свободная энциклопедия. 6. Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия,  7. Математика Н. Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, 1988. С. И. Шварцбург. – М.: Мнемозина, 2013