Приложения 1. Теория. материал.

1.Изучение нового материала.

Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.

Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+I), из узла – знак (–I).

Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток.

Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из закона сохранения заряда.

Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми являются только (N – 1) уравнения, N-е будет следствием из них.

Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.

Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи.

Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.

Составление системы уравнений

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.

По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать (N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.

Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.
При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:

1.       Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура. Произведение I_i×R_iсчитается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрицательным (–I_i×R_i), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают.
   ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если против.
3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.

Теоретические сведения «Законы сохранения»

Формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов для каждого узла равна нулю.  

I₁ + I₂ + … + I_n= 0

Формулировка 2 правила Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме произведений сил токов и сопротивлений каждого из участков этого контура.

∑E=∑I•R

Применим новые правила для расчета на практике. Рассмотрим первое правило для расчета уже рассмотренной выше схемы №1.

Выразим из первого соотношения I₃ = I₁+ I_4,

Из второго соотношения I₂+ I₄ = I_3. Как, по-другому, можно сформулировать первое правило?

Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла.

Далее разберемся со вторым правилом. Для того, чтобы показать справедливость правил во всех случаях, сменим схему. Рассмотрим схему №2.

Сначала нам нужно выбрать замкнутый контур- простейшую последовательную цепь. Чтобы учесть знаки ЭДС  и сил токов, выберем произвольно направление обхода контура. Например, для контура абвга выберем направление по часовой стрелке и имеем следующее:  E₁=I₂•R₂+ I₁•R₁

    А  теперь попробуем выяснить, каким образом немецкому физику Густаву Кирхгофу удалось получить эти правила, какими законами он руководствовался?

     Для многих физических величин действуют законы сохранения:

•              В замкнутой системе, векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

•              В замкнутой системе энергия остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

•              В замкнутой системе момент импульса остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

•              Алгебраическая сумма зарядов замкнутой системы остается неизменной

•              Сумма массовых чисел до начала ядерной реакции равна сумме массовых чисел по окончании ядерной реакции.

 Как вы думаете, какие законы лежат в основе правил, сформулированных Кирхгофом?

 Первое правило вытекает из закона сохранения заряда, а второе правило вытекает из закона сохранения энергии с учетом закона Ома для полной цепи.

Пример №1
Определить силу токов, текущих в ветвях, если ε₁ = 1 В, ε ₂ = 2 В, ε ₃ = 3 В, r₁ = 1 Ом, r₂ = 0,5 Ом, r₃ =  Ом, R₄ = 1 Ом, R₅ =  Ом.

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях (см. рис.). Если направление выбрано неверно, то в окончательном решении величина этого тока получиться отрицательной, а если верно – то положительной.

Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: т. А и т. С.

Для узла А:

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа, оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, ACDA,ABCDA.

Рассмотрим контур ABCA: e₁ и e₂; r₁, r₂, R₄; I₁ и I₂.

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направление ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными. Следовательно: (если выбрать направление обхода против часовой стрелки)

Для контура ACDA: (направление обхода против часовой стрелки):

Система уравнений (1 – 3) являются замкнутой, решая эту систему находим:

; ; .

Токи I₁ и I₂ получились отрицательными, это значит, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I₃ положителен, следовательно, его направление выбрано правильно.

Ответ:; ; .

4. Решение задач.

Задача 1.

Определить общее сопротивление цепи.

Задача 2.

Чему равна длина железного  провода, имеющего площадь поперечного сечения 0,8мм², если при прохождении по нему тока 1 А напряжение на его концах равно 12 В?

Задача 3.

Определите силу тока, проходящего через реостат, изготовленный из никелиновой проволоки длиной 25 м и площадью поперечного сечения 0,5 мм², если напряжение на зажимах реостата равно 45 В.

Задача №4. В схеме представленной на рисунке e₁ = 2,1 В, e₂ = 1,9 В, R₁ = 45 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Задача №5. Три источника тока с ЭДС e₁ = 11 В, e₂ = 4 В и e₃ = 6 В и три реостата с сопротивлениями R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 20 Ом соединены как показано на схеме. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.