принцип двойственности для исчисления высказываний

принцип двойственности для исчисления высказываний ­ 1) Д. п. в математической логике ­ теорема о взаимозаменяемости в определенном смысле  логич. операцийв формулах формальных логических и логико­предметных языков. Пусть А­  формула языка логикивысказываний или логики предикатов, не содержащая знака импликац ; формула А* наз. двойственнойформуле А, если она может быть получена из Азамено ии  й в Акаждого вхождения символов  двойственными им операциями, т. е. соотв етственно символами   В частности, если формулы А и В эквивалентны, то эквивалентны идвойственн о  ые им формулы А* и В*. Д. п. справедлив для классич. систем, при этом эквивалентность ии стинность формул в его формулировке могут пониматься как в терминах интерпретаций, та к и в смыслевыводимости в соответствующем классич. исчислении. При конструктивном по нимании формул Д. п.перестает действовать. Так, напр., в языке логики высказываний импл икация  конструктивно верна и даже выводима в Гейтинга формаль ной системе, однако обратная импликациядвойственных формул   к онструктивно неверна (напр., нереализуема по Клини ­Роузу).  Д. п. гласит, что если   истинно, то истинн С Д. п. тесно связана следующая теорема: если F*( А 1,..., А n) ­ формула, двойственная проп озициональнойили предикатной формуле F(A1,. . ., А п), построенной без употребления импли кации из элементарныхвысказываний А 1,. . ., А п, то формула  F(A1,..., А п )эквивалентна фо рмуле   вклассич. исчислении высказываний или предикатов, соотве тственно. Лит.:[1] Новиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959;  [2] К лини С. К., Введение вметаматематику, пер. с англ., М., 1957. Ф. А. Кабаков. 2) Д. п. в геометрии ­ принцип, формулируемый в нек­рых разделах геометрии и заключающ ийся в том, что,заменяя в любом верном предложении все I входящие в него понятия на двойственные им, получают верное (двойственное первому) пр едложение.Справедливость Д. п. в проективной геометрии вытекает из того, что каждой акс иоме проективной геометриисоответствует двойственное предложение, являющееся либо ак сиомой, либо теоремой. В проективной геометрии на плоскости двойственными являются понятия: точка прямаяточка, инцидентная прямой алгебраичес кая пинияпорядка пкасательная прямая  к линии прямая, инцидентная точке алгебраический п учок прямыхкласса пхарактеристическая точ ка пучка Если считать отношением инцидентности между точкой и линией второго порядка принадле жность точкилинии второго порядка, а отношением инцидентности прямой с линией второго  порядка ­ касание прямой клинии второго порядка, то понятием, двойственным линии второ го порядка, является линия     порядка.Примером пары двойственных утверждений мо гут служить Брианшона теорема и Паскаля теорема. Впроективной геометрии в простран стве двойственны понятия точки и плоскости; понятие прямой само себедвойственно.     второго     Д. п. имеет место и в эллиптич. геометрии, где, кроме понятий проективной геометрии двой ственнымиявляются понятия отрезка и угла. Так. напр., в эллиптич. геометрии справедливы  следующие двадвойственных утверждения: два треугольника равны, если три стороны од ногосоответственно равны трем сторонам др угого два треугольника равны, если три угла од ногосоответственно равны трем углам др угого Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971. А. С, Пархоменко. 3) Д. п. в проективной геометрии состоит в том, что любой теореме относительно подпростр анств Sa, Sb, . .  .проективного пространства ПД их пересечений и сумм соответствует теорема относитель ноподпространств Sn_ а_1 Sn­b­1,... их сумм и пересечений. Д. п. определяется двойственным ха рактером аксиомпроективной геометрии и вытекающих из них теорем. Для проективного пр остранства П n (Х)над телом КД. п.справедлив тогда и только тогда, когда Кдопускает инве рсный автоморфизм. В общем случае имеет местодвойственность между проективными прос транствами П п (Х). и П п( К*), тела Ки K* к­рых инверсноизоморфны: таковы, напр., левое  r (К)над К(см. Проективнаяалгебра, Корр и правое проективные пространства Р п еляция), причем соответствие между ними, т. е. соответствие между Sk и Sn­k­1 определяется выбором пары координатных систем в П п (К). и П n( К*). Д. п. можно обосновать также с по мощью дуальныхотображений линейных пространств q п+1 (К). над телом, к­рые используютс я для интерпретации проективныхпространств. l (К). и Р п М. И. Вопцеховский. 4) Д. <п. в частично упорядоченных множествах: если верна какая­ либо теорема о частично упорядоченныхмножествах, сформулированная в общелогич. терминах и терминах порядка, то верна и двойственная ейтеорема. Для получения теоремы, двой ственной к данной, все высказывания и понятия, относящиеся кпорядку, заменяются на двой ственные (т. е. все знаки порядка < заменяются на >, и обратно), а общелогич.термины остаю тся без изменений. Из справедливости нек­рого утверждения для конкретного частичноупор ядоченного множества (или для конкретного класса частично упорядоченных множеств) еще  не вытекаетсправедливость двойственного утверждения для этого множества. Так, частично  упорядоченное множествоможет иметь наименьший элемент, но не иметь наибольшего, оно  может удовлетворять условиюминимальности, но не удовлетворять условию максимальност и. Справедливость Д. п. вытекает из того, чтоотношение, обратное к частичному порядку, са мо является частичным порядком. Иногда под Д. п. понимаютименно это утверждение.